2022版高考数学一轮复习核心素养测评十八导数的存在性问题理北师大版.doc

核心素养测评十八 导数的存在性问题(30分钟60分)一、选择题(每题5分,共20分)1.假设存在正实数x使ex(x2-a)<1成立,那么实数a的取值范围是()A.(-1,+)B.(0,+)C.(-2,+)D.-1,+)【解析】选A.存在正实数x使ex(x2-a)<1成立,即a>x2-在区间(0,+)上有解,令f(x)=x2-,f(x)=2x+>0,所以f(x)在区间(0,+)上单调递增,所以f(x)>f(0)=-1,又a>x2-在区间(0,+)上有解,所以a(-1,+).2.(2022·莆田模拟)假设函数f(x)=x3-x2+2x没有极小值点,那么a的取值范围是()A.B.C.0D.0【解析】选C.f(x)=ax2-2x+2,要使得f(x)没有极小值,那么要求f(x)恒大于等于0,或者恒小于等于0,或者该导函数为一次函数,当该导函数为一次函数的时候,a=0,满足条件,当f(x)恒大于等于0的时候,那么,解得a,当f(x)恒小于等于0的时候,那么,此时a不存在,故a0.3.函数f(x)=e2x,g(x)=ln x+,对aR,b(0,+),f(a)=g(b),那么b-a的最小值为()A.-1B.1-C.2-1D.1+【解析】选D.设f(a)=g(b)=t,t(0,+),可得a=,b=,令h(t)=b-a=-,t(0,+),那么 h(t)=-,令h(t)=0,得t=,由于h(t)=-是增函数,所以t时,h(t)<0,t时,h(t)>0,因此h(t)在上单调递减,在上单调递增,从而h(t)的最小值为h=1+.4.(2022·重庆模拟)假设函数f(x)=ex在(0,1)内存在极值点,那么实数a的取值范围是()A.(-,0)B.(0,+)C.(-,-1 D.-1,0)【解析】选A.函数f(x)=ex,定义域为x|x0,f(x)=ex+xex-=,因为f(x)在(0,1)内存在极值点,那么f(x)=0的实数根在(0,1)内,即x3+x2-ax+a=0的实数根在区间(0,1)内,令g(x)=x3+x2-ax+a,可知,函数g(x)=x3+x2-ax+a在(0,1)内存在零点,讨论a:a=0时,g(x)=x2(x+1)在(0,1)上无零点.a>0时,在(0,1)上,g(x)=x3+x2+(1-x)a>0,无零点.a<0时,g(0)=a<0,g(1)=2>0,在(0,1)上有零点.所以实数a的取值范围是a<0.二、填空题(每题5分,共20分)5.(2022·赣州模拟)假设函数f(x)=aex-x-2a有两个零点,那么实数a的取值范围是_. 【解析】因为f(x)=aex-x-2a,所以f(x)=aex-1.当a0时,f(x)0恒成立,函数f(x)在R上单调递减,不可能有两个零点;当a>0时,令f(x)=0,得x=ln,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)的最小值为f=1-ln-2a=1+ln a-2a.令g(a)=1+ln a-2a(a>0),那么g(a)=-2.当a时,g(a)单调递增;当a时,g(a)单调递减,所以g(a)max=g=-ln 2<0,所以f(x)的最小值为f<0,函数f(x)=aex-x-2a有两个零点.综上所述,实数a的取值范围是(0,+).答案:(0,+)6.设f(x)与g(x)是定义在同一区间a,b上的两个函数,假设函数y=f(x)-g(x)在xa,b上有两个不同的零点,那么称f(x)和g(x)在a,b上是“关联函数,区间a,b称为“关联区间.假设f(x)=x-ln x与g(x)=-+m在1,3上是“关联函数,那么实数m的取值范围是_. 【解析】因为f(x)=x-ln x与g(x)=-+m在1,3上是“关联函数,令y=h(x)=f(x)-g(x),所以函数y=h(x)=f(x)-g(x)=x-ln x+-m在1,3上有两个不同的零点,即h(x)=0在1,3有两个不同的实数根,令x-ln x+-m=0,即m=x-ln x+.设F(x)=x-ln x+,即y=m与F(x)=x-ln x+有两个交点,那么F(x)=1-=.所以F(x)>0,得x>2;F(x)<0,得0<x<2,所以F(x)在1,2上递减,在2,3上递增,F(1)=3,F(2)=3-ln 2,F(3)=-ln 3.作出函数F(x)图像,如图.作直线y=m,平移可知当3-ln 2<m-ln 3时符合题意,所以实数m的取值范围是(3-ln 2,-ln 3.答案:(3-ln 2,-ln 37.设函数f(x)=x2-xln x+2,假设存在区间a,b,使f(x)在a,b上的值域为k(a+2),k(b+2),那么k的取值范围为_. 【解题指南】判断f(x)的单调性,得出f(x)=k(x+2)在上有两解,作出函数图像,利用导数的意义求出k的范围.【解析】f(x)=2x-ln x-1,设g(x)=f(x),那么g(x)=2-, 所以当x时,g(x)0,所以f(x)在)上单调递增,所以f(x)f=ln 2>0,所以f(x)在上单调递增,因为a,b,所以f(x)在a,b上单调递增,因为f(x)在a,b上的值域为k(a+2),k(b+2),所以,所以方程f(x)=k(x+2)在上有两解a,b.作出y=f(x)与直线y=k(x+2)的函数图像,那么两图像有两交点.假设直线y=k(x+2)过点,那么k=,假设直线y=k(x+2)与y=f(x)的图像相切,设切点为(x0, y0),那么,解得k=1.所以1<k.答案:8.(2022·上饶模拟)函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,假设x1,x2,使得f(x1)g(x2),那么实数a的取值范围是_. 【解析】当x1时,由f(x)=x+得,f(x)=,令f(x)>0,解得:x>2,令f(x)<0,解得:x<2,所以f(x)在上单调递减,在(2,3上单调递增, 所以f=8.5是函数的最大值, 当x22,3时,g(x)=2x+a为增函数, 所以g(3)=a+8是函数的最大值, 又因为x1,x22,3,使得f(x1)g(x2), 可得f(x)在x1的最大值不小于g(x)在x22,3的最大值, 即8.5a+8,解得:a.答案:a三、解答题(每题10分,共20分)9.(2022·黄冈模拟)函数f(x)=ex·(a+ln x),其中aR.(1)假设曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=-垂直,求a的值.(2)记f(x)的导函数为g(x).当a(0,ln 2)时,证明:g(x)存在极小值点x0,且f(x0)<0.【解析】(1)f(x)=ex·(a+ln x)+ex·=ex·,依题意,有f(1)=e·(a+1)=e,解得a=0.(2)令g(x)=ex·,所以g(x)=ex·+ex·=ex·.因为ex>0,所以g(x)与a+-+ln x同号.设h(x)=a+-+ln x,那么h(x)=.所以对任意x(0,+),有h(x)>0,故h(x)在(0,+)上单调递增.因为a(0,ln 2),所以h(1)=a+1>0,h=a+ln <0,故存在x0,使得h(x0)=0.g(x)与g(x)在区间上的情况如下:xx0(x0,1)g(x)-0+g(x)极小值所以g(x)在区间上单调递减,在区间(x0,1)上单调递增.所以假设a(0,ln 2),存在x0,使得x0是g(x)的极小值点.令h(x0)=0,得到a+ln x0=,所以f(x0)=·(a+ln x0)=·<0.【变式备选】1.函数f(x)=x2-3ln x.(1)求f(x)在(1,f(1)处的切线方程.(2)试判断f(x)在区间(1,e)上有没有零点?假设有,那么判断零点的个数.【解析】(1)由得f(x)=x-,有f(1)=-2,f(1)=,所以在(1,f(1)处的切线方程为y-=-2(x-1),化简得4x+2y-5=0.(2)由(1)知f(x)=,因为x>0,令f(x)=0,得x=,所以当x(0,)时,有f(x)<0,那么(0,)是函数f(x)的单调递减区间;当x(,+)时,有f(x)>0,那么(,+)是函数f(x)的单调递增区间.当x(1,e)时,函数f(x)在(1,)上单调递减,在(,e)上单调递增;又因为f(1)=,f(e)=e2-3>0,f()=(1-ln 3)<0,所以f(x)在区间(1,e)上有两个零点.2.(2022·淄博模拟)函数f(x)=ln x-ax+ab(a>0,bR).(1)假设存在正数a,使f(x)0恒成立,求实数b的最大值.(2)设a=1,假设g(x)=xex-2x-f(x)没有零点,求实数b的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=ln x-ax+ab,所以f(x)=-a=-,所以y=f(x)在上单调递增,在上单调递减.所以f(x)max=f=-ln a-1+ab.所以存在正数a,使ab1+ln a成立,即存在正数a,使得b成立.令h(x)=,x(0,+),因为h(x)=-,所以y=h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.所以h(x)max=h(1)=1,所以b1.故b的最大值为1.(2)因为a=1,所以f(x)=ln x-x+b.所以g(x)=xex-x-ln x-b.所以g(x)=(x+1).令x0(0,1),使得=.两边取自然对数,得x0=-ln x0,所以g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增.由题设可知,要使函数g(x) 没有零点,那么要g(x)min=g(x0)>0即可,g(x0)=x0·-x0+x0-b=1-b>0,所以b<1.10.(2022·石家庄模拟)设f(x)是函数f(x)的导函数,我们把满足f(x)=x的实数叫做函数y=f(x)的好点.函数f(x)=e2x-aex-x2.(1)假设0是函数f(x)的好点,求a.(2)假设函数f(x)不存在好点,求a的取值范围.【解析】(1) 因为f(x)=e2x-aex-x2,所以f(x)=e2x-aex-x,由f(x)=x,得e2x-aex-x=x,即e2x-aex-a2x=0.因为0是函数f(x)的好点,所以1-a=0,解得a=1.(2) 由(1)知f(x)=e2x-aex-x,由f(x)=x,得e2x-aex-x=x,即e2x-aex-a2x=0.设g(x)=e2x-aex-a2x,令g(x)=0,问题转化为讨论函数g(x)的零点问题.函数f(x)不存在好点,等价于g(x)没有零点,即g(x)>0恒成立,又由g(x)=2e2x-aex-a2=,假设a=0,那么g(x)=e2x>0,g(x)无零点,f(x)无好点.假设a>0,由g(x)=0,得x=ln a.当x(-,ln a)时,g(x)<0;当x(ln a,+)时,g(x)>0,所以g(x)在(-,ln a)上单调递减,在上单调递增.所以当x=ln a时,g(x)取最小值g(ln a)=-a2ln a.当且仅当-a2ln a>0,即0<a<1时,g(x)>0,所以g(x)无零点,f(x)无好点.假设a<0,由g(x)=0,得x=ln.当x时,g(x)<0;当x时,g(x)>0,所以g(x)在上单调递减,在上单调递增.所以当x=ln时,g(x)取最小值g=a2.当且仅当a2>0,即-2<a<0时,g(x)>0,所以g(x)无零点,f(x)无好点.综上,a的取值范围为.- 9 -