551两角和与差的正弦余弦和正切公式导学案(1)-人教A版高中数学必修第一册.docx

第五章 三角函数5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1了解两角差的余弦公式的推导过程2掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式3会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等4熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法重点：了解两角差的余弦公式的推导过程难点：会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C()cos()_，R两角和的余弦公式C()cos()_，R1两角和与差的余弦公式2 两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S()sin()_，R两角差的正弦S()sin()_，R3两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T()tan()_，k(kZ) 且tan ·tan 1两角差的正切T()tan()_，k(kZ) 且tan ·tan 1问题探究.两角差的余弦公式 如果任意角，的正弦、余弦，能由此推出，的正弦、余弦吗？下面，我们来探究cos()与角，的正弦、 余弦之间的关系 不妨令2k，kZ 如图5.5.1，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A，以x轴非负半轴为始边作角， 它们的终边分别与单位圆相交于点A1cos，sin， P1cos，sin，P(cos()，sin()任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性连接A1P1，AP假设把扇形OAP,绕着点O旋转角，那么点A，P分别与点A1,P1重合根据圆的旋转对称性可知，AP与A1P1 重合，从而， 所以APA1P1根据两点间的距离公式，得cos-12+sin-2=(cos-cos)2+(sin-sin)2，化简得:cos-=coscos+sinsin当=2k kZ时，容易证明上式仍然成立所以，对于任意角，有cos-=coscos+sinsin此公式给出了任意角，的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作().典例解析例 利用公式cos-证明：cos2-= sin ; cos-= cos例 sin=45，(2,), cos=-513，是第三象限角，求cos-的值由公式 cos-出发 ， 你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？ 下面以公式 cos-为根底来推导其他公式 例如 ， 比拟cos- 与cos+ ，并注意到 与有cos+=cos- coscos-+sinsin-=coscos-sinsin于是得到了两角和的余弦公式 ， 简记作 C cos+=coscos-sinsin问题探究 上面得到了两角和与差的余弦公式 我们知道 ， 用诱导公式五 或六 可以实现正弦 、 余弦的互化 你能根据 ， 及诱导公式五 或六 ， 推导出用任意角 ， 的正弦 、 余弦表示 sin ， sin 的公式吗 ？通过推导 ， 可以得到 ：   sin+ sincos+cossin， S    sin- sincos-cossin ; S 你能根据正切函数与正弦函数 、 余弦函数的关系 ， 从 ( ± ) ， ( ± ) 出发 ， 推导出用任意角 ， 的正切表示   tan+ ，   tan- 的公式吗 ？通过推导 ， 可以得到 ：       tan+=   tan+tan   1-   tantan T( + )        tan-=   tan-tan   1+  tantan T( - ) 和 差 角公式中 ， ， 都是任意角 如果令 为某些特殊角 ， 就能得到许多有用的公式 你能从和 差 角公式出发推导出诱导公式吗 ？ 你还能得到哪些等式 公式 ( ) ， ( ) ， ( ) 给出了任意角 ， 的三角函数值与其和角 的三角函数值之间的关系 为方便起见 ， 我们把这三个公式都叫做 和角公式 类似地 ， ( ) ， ( ) ， ( )都叫做 差角公式 典例解析例3. sin=-35，是第四象限角，求sin4-,cos4+,tan-4的值 由以上解答可以看到 ， 在此题条件下有sin4-=cos4+ 那么对于任意角 ， 此等式成立吗 ？ 假设成立 ， 你会用几种方法予以证明? 例 利用和 差 角公式计算以下各式的值 ： sin72°cos42° cos72°sin42° ; cos20°cos70° sin20°sin70° ; 3 1+tan15°1-tan15° ;1 cos 65°cos 35°sin 65°sin 35°等于()Acos 100°Bsin 100° C D2.是锐角，sin ，那么cos等于()A B C D3锐角，满足cos ，cos()，那么cos 等于() A B C D4计算_.5，均为锐角，sin ，cos ，求.让我们回忆半节课的学习过程，看看主要的收获有哪些？知识上：两角和差公式 思想方法上：整体代换思想，转化思想。参考答案：一、 知识梳理1.cos cos sin sin cos cos sin sin 2.sin cos cos sin sin cos cos sin 3.二、 学习过程典例解析例证明: (1)cos2-= cos2cos+sin2sinsin=01×sin=sin(2)cos-= coscos+sinsinsin=(-1)×cos+o cos例解：由sin=45，(2,),得cos=-1-sin2=-1-(45)2=-35又由cos=-513，是第三象限角，得sin=-1-cos2=-1-(-513)2=-1213所以cos-=coscos+sinsin=(-35) ×(-513)+(45) ×(-1213)=-3365例3.解 ： 由 sin=-35，是第四象限角， 得cos=1-sin2=1-(-35)2=45所以  tan=   sincos = -3545 = - 34于是有sin4-=sin4cos-cos4sin=22×45-22×(-35)=7210;cos4+=cos4cos-sin4sin=22×45-22×(-35)=7210;  tan-4=   tan-tan41+  tantan4=   tan-11+  tan=   -34-11+(-34)=-7例 分析 ： 和 、 差角公式把 ± 的三角函数式转化成了 ， 的三角函数式 如果反过来 ， 从右到左使用公式 ， 就可以将上述三角函数式化简 解 ： 由公式 S ， 得sin72°cos42° cos72°sin42°=Sin(72° 42°)=sin30°=122 由公式 C + ， 得cos20°cos70° sin20°sin70°= cos(20°+70°)=cos90°=03 由公式 T + 及tan45°=1， 得1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°tan45°-tan15°=tan45°+15°=tan60°=3三、达标检测1 【解析】原式cos(65°35°)cos 30°.【答案】C2.【解析】因为是锐角，sin ，所以cos ，所以cos××.应选B【答案】B3【解析】因为，为锐角，cos ，cos()，所以sin ，sin().所以cos cos()cos()·cos sin()·sin ××.应选A【答案】A4【解析】tan 45°1.【答案】15【解】，均为锐角，sin ，cos ，sin ，cos .sin <sin ，<，<<0，sin()sin cos cos sin ××，.