北京市昌平区新学道临川学校2022届高三数学上学期期末考试试题文.doc

北京市昌平区新学道临川学校2022届高三数学上学期期末考试试题 文一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.15分复数的虚部为AiBiCD25分设集合Mx|x22x0，Nx|x1，那么MNAx|x1Bx|2x1Cx|0x1Dx|2x035分tan3，那么cos2ABCD45分某校开设a，b，c，d共4门选修课，一位同学从中随机选取2门，那么a与b未同时被选中的概率为ABCD55分x0，使得，那么实数a的取值范围是Aa2Ba2Ca2Da265分某三棱锥的三视图如下图，那么该几何体的体积为ABC4D875分设向量，满足+3，1，1，那么|A2BC2D85分设an为等差数列，a122，Sn为其前n项和，假设S10S13，那么公差dA2B1C1D295分F是抛物线C：y22pxp0的焦点，抛物线C的准线与双曲线的两条渐近线交于A，B两点，假设ABF为等边三角形，那么的离心率eABCD105分函数fxex+ax1的图象与x轴相切，那么aA1B0CD1115分圆锥的顶点为S，O为底面中心，A，B，C为底面圆周上三点，AB为底面的直径，SAAB，M为SA的中点，C为弧AB的中点设直线MC与直线SO所成角为，那么tanABCD125分点P在圆x2+y24上，A2，0，B2，0，M为BP中点，那么sinBAM的最大值为ABCD二、填空题每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上135分假设x，y满足约束条件，那么x+2y的最大值为 145分函数，那么不等式fx1的解集为 155分Sn是数列an的前n项和，Sn2an，那么S5 165分假设函数fxsinx+0，0的图象关于点，0对称，且fx在0，上单调递减，那么 三、解答题：共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.一必考题：60分17如图，在梯形ABCD中，AD90°，M为AD上一点，AM2MD2，BMC60°1假设AMB60°，求BC；2设DCM，假设MB4MC，求tan18在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面CBB1C1是菱形，C1CB60°，平面ABC平面CBB1C1，M为BB1的中点，ACBC1证明：CC1平面A1C1M；2假设CACB2，求三棱锥C1A1CM的体积19近年来，我国工业经济开展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年从2022年到2022年的工业增加值万亿元，如表：年份2022202220222022202220222022202220222022年份序号x12345678910工业增加值y13.213.816.519.520.922.223.423.724.828依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值5.520.682.5211.52129.61根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值y万亿元与年份序号x的回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数yevx，其拟合指数R20.93；研究人员乙采用函数ymxn，其拟合指数R20.95；研究人员丙采用线性函数ybx+a，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好注：相关系数r与拟合指数R2满足关系R2r22根据1的判断结果及统计值，建立y关于x的回归方程系数精确到0.01；3预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关附：样本xi，yii1，2，n的相关系数，20椭圆，离心率，过点M1，1的动直线l与椭圆C相交于A，B两点当lx轴时，1求椭圆C的方程；2N为椭圆C的上顶点，证明kNA+kNB为定值21函数fx2alnx+x24x+3a01假设fx在定义域内单调递增，求a的取值范围；2假设fx有两个极值点x1，x2，证明：fx1+fx20二选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.22在极坐标系中，直线，圆C：4sin以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy1求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；2点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值23fx|x+1|+|x1|11解不等式fxx+1；2证明：3fxf2x 参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.15分复数的虚部为AiBiCD【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法那么化简复数为+i，从而得到他的虚部【解答】解：复数+i，故此复数的虚部为，应选：D【点评】此题主要考查复数的根本概念，两个复数代数形式的乘除法法那么的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于根底题25分设集合Mx|x22x0，Nx|x1，那么MNAx|x1Bx|2x1Cx|0x1Dx|2x0【分析】由一元二次不等式的解法得：M，由集合的交集的运算得：MN，得解【解答】解：由一元二次不等式的解法得：因为x22x0，解得0x2，即M，又Nx|x1，所以MN，应选：C【点评】此题考查了一元二次不等式的解法及集合的交集的运算，属简单题35分tan3，那么cos2ABCD【分析】直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果【解答】解：知tan3，那么cos2应选：D【点评】此题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于根底题型45分某校开设a，b，c，d共4门选修课，一位同学从中随机选取2门，那么a与b未同时被选中的概率为ABCD【分析】先求出根本领件总数n6，a与b未同时被选中的对立事件是a与b同时被选中，由此利用对立事件概率计算公式能求出a与b未同时被选中的概率【解答】解：某校开设a，b，c，d共4门选修课，一位同学从中随机选取2门，根本领件总数n6，a与b未同时被选中的对立事件是a与b同时被选中，a与b未同时被选中的概率为：p1应选：D【点评】此题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等根底知识，考查运算求解能力，是根底题55分x0，使得，那么实数a的取值范围是Aa2Ba2Ca2Da2【分析】问题转化为阿 ax+min，再用根本不等式求最小值【解答】解：x0，使得+xa0，等价于ax+min，x+22，当且仅当x1时取等故a2应选：B【点评】此题考查了根本不等式及其应用，属根底题65分某三棱锥的三视图如下图，那么该几何体的体积为ABC4D8【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可【解答】解：几何体的直观图如图：是正方体的一局部，几何体的体积为：应选：A【点评】此题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键75分设向量，满足+3，1，1，那么|A2BC2D【分析】配方变形得|，再代入可得【解答】解：|应选：B【点评】此题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属根底题，85分设an为等差数列，a122，Sn为其前n项和，假设S10S13，那么公差dA2B1C1D2【分析】根据等差数列的求和公式即可求出【解答】解：S10S13，a122，10×22+×d13×22+d，解得d2，应选：A【点评】此题主要考查了等差数列的求和公式的简单应用，属于根底试题95分F是抛物线C：y22pxp0的焦点，抛物线C的准线与双曲线的两条渐近线交于A，B两点，假设ABF为等边三角形，那么的离心率eABCD【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出a，b的关系式，结合离心率公式，计算可得所求值【解答】解：抛物线的焦点坐标为，0，准线方程为：x，准线方程与双曲线的渐近线方程y±x，联立解得y±，可得|AB|，ABF为等边三角形，可得p，即有，那么e应选：D【点评】此题考查抛物线的简单性质，双曲线方程和性质，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题105分函数fxex+ax1的图象与x轴相切，那么aA1B0CD1【分析】求出函数的导数，讨论a是否为1，求出极值点，利用极值为0，求出a的值即可【解答】解：fxex+ax1，fxex+a，假设fx的图象与x轴相切，y0是函数的切线方程，当a1时，x0是函数的极值点，并且f00，满足题意；a0不满足题意应选：A【点评】此题考查函数导数的应用，函数的极值的求法，考查分类讨论思想的应用考查计算能力115分圆锥的顶点为S，O为底面中心，A，B，C为底面圆周上三点，AB为底面的直径，SAAB，M为SA的中点，C为弧AB的中点设直线MC与直线SO所成角为，那么tanABCD【分析】先作图作出直线MC与直线SO所成角，再在直角三角形中求其正切值即可【解答】解：设圆的半径为R，那么有SO，EMR，过M作MEAO交AO于点E，易得EMC为直线MC与直线SO所成角，在RtCOE中，ECR，在RtMEC中，tanEMC，故直线MC与直线SO所成角为，那么tan，应选：C【点评】此题考查了作图能力及空间两异面直线所成的角，属中档题125分点P在圆x2+y24上，A2，0，B2，0，M为BP中点，那么sinBAM的最大值为ABCD【分析】设 P2cos，2sin，那么M1+cos，sin先求出AM的斜率的最大值，在得出sinNAM的最大值【解答】解：设 P2cos，2sin，那么M1+cos，sin，tanBAM，sinBAM，应选：C【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，属中档题二、填空题每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上135分假设x，y满足约束条件，那么x+2y的最大值为2【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由zx+2y，得yx+，平移直线yx+，由图象可知当直线yx+经过点A时，直线yx+的截距最大，此时z最大由，得A0，1，此时z的最大值为z0+2×12，故答案为：2【点评】此题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法145分函数，那么不等式fx1的解集为1，e1【分析】分段求解x的范围即可；【解答】解：函数，不等式fx1，即或解得：1x0或0xe1不等式fx1的解集为：1，e1故答案为：1，e1【点评】此题考查分段函数的运用，考查分段函数值对应的自变量，考查运算能力，属于中档题155分Sn是数列an的前n项和，Sn2an，那么S5【分析】n2时，由Sn2an，可得Sn2SnSn1，化为Sn2Sn12，利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：n2时，Sn2an，Sn2SnSn1，Sn2Sn12，n1时，a12a1，解得a11S121数列Sn2是等比数列，首项为1，公比为Sn2，S52故答案为：【点评】此题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题165分假设函数fxsinx+0，0的图象关于点，0对称，且fx在0，上单调递减，那么3【分析】由三角函数的对称性得：k，由单调性及集合的包含关系得：0，再观察求解即可【解答】解：令x+k，由函数fx的图象关于点，0对称，那么有x为方程x+k的一个根，即k，又令2k+x+2k，解得：，即函数的减区间为，又fx在0，上单调递减，所以0，所以0，即，即6k3，kZ又，即6，所以3，故答案为：3【点评】此题考查了三角函数的对称性、单调性及集合的包含关系，属中档题三、解答题：共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.一必考题：60分17如图，在梯形ABCD中，AD90°，M为AD上一点，AM2MD2，BMC60°1假设AMB60°，求BC；2设DCM，假设MB4MC，求tan【分析】1利用直角三角形的边角关系求得MB、MC的值，再利用余弦定理求得BC的值；2用DCM，利用直角三角形的边角关系求出MC、MB的值，由MB4MC列出关系式求得tan的值【解答】解：1由BMC60°，AMB60°，得CMD60°，在RtABM中，MB2AM4，在RtCDM中，MC2MD2；在MBC中，由余弦定理得，BC2BM2+MC22BMMCcosBMC16+42×12，所以BC2；2因为DCM，所以ABM60°，0°60°，在RtMCD中，MC，在RtMAB中，MB，由MB4MC，得，即2sin60°sin，化简得cos2sin，求得tan【点评】此题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是中档题18在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面CBB1C1是菱形，C1CB60°，平面ABC平面CBB1C1，M为BB1的中点，ACBC1证明：CC1平面A1C1M；2假设CACB2，求三棱锥C1A1CM的体积【分析】1在菱形BB1C1C中，由解三角形可得CC1C1M，再由面面垂直的性质可得AC平面CBB1C1，得到ACCC1，再由线面垂直的判定可得CC1平面A1C1M；2由1知，CC1平面A1C1M，CC1C1M，再由结合等积法求三棱锥C1A1CM的体积【解答】1证明：在菱形BB1C1C中，M为BB1 的中点，MB1C160°，设BC2a，那么MB1a，B1C12a，可得B1MC1M，那么CC1C1M；平面ABC平面CBB1C1，且平面ABC平面CBB1C1BC，ACBC，AC平面CBB1C1，那么ACCC1，那么CC1A1C1又A1C1C1MC1，CC1平面A1C1M；2解：由1知，CC1平面A1C1M，CC1C1M，CACB2，那么【点评】此题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题19近年来，我国工业经济开展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年从2022年到2022年的工业增加值万亿元，如表：年份2022202220222022202220222022202220222022年份序号x12345678910工业增加值y13.213.816.519.520.922.223.423.724.828依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值5.520.682.5211.52129.61根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值y万亿元与年份序号x的回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数yevx，其拟合指数R20.93；研究人员乙采用函数ymxn，其拟合指数R20.95；研究人员丙采用线性函数ybx+a，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好注：相关系数r与拟合指数R2满足关系R2r22根据1的判断结果及统计值，建立y关于x的回归方程系数精确到0.01；3预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关附：样本xi，yii1，2，n的相关系数，【分析】1根据相关数据求出r的值，求出R2的值即可；2求出相关系数，从而求出回归方程；3分别求出y的预报值，判断即可【解答】解：1r0.981，R2r20.962，R2越大，拟合效果越好，故丙的拟合效果最好；21.571，20.6×5.511.96，故回归方程是：1.57x+11.96；3从2022年开始计数，2022年是第11年，其工业增加值y的预报值1.57×11+11.9629.2330，2022年是第12年，其工业增加值y的预报值1.57×12+11.9630.8030，故预测到2022年工业增加值能突破30万亿元大关【点评】此题考查了拟合指数，考查回归方程以及函数求值，是一道常规题20椭圆，离心率，过点M1，1的动直线l与椭圆C相交于A，B两点当lx轴时，1求椭圆C的方程；2N为椭圆C的上顶点，证明kNA+kNB为定值【分析】1先由离心率得出a2b，由对称性得出点在椭圆上，将该点的坐标代入椭圆C的方程，求出b和a的值，从而可得出椭圆C的方程；2对直线l的斜率是否存在进行分类讨论当直线l与x轴垂直时，求出点A、B的坐标，再利用斜率公式求出kNA+kNB的值；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y1kx+1，并设点Ax1，y1、Bx2，y2，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用两点的斜率公式并代入韦达定理计算出kNA+kNB的值，结合证明出结论【解答】解：1由于椭圆C的离心率为，所以，a2b，那么椭圆C的方程为，由于当lx轴时，所以，点在椭圆C上，将点的坐标代入椭圆方程得，解得b1，那么a2b2，因此，椭圆C的方程为；2当直线l与x轴垂直时，设点、，点N的坐标为0，1，此时，；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1kx1，即ykxk1，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y并整理得4k2+1x28kk+1x+4kk+20，由韦达定理得，所以，综上所述，kNA+kNB为定值2【点评】此题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程与几何性质，同时也考查了韦达定理设而不求法在椭圆综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题21函数fx2alnx+x24x+3a01假设fx在定义域内单调递增，求a的取值范围；2假设fx有两个极值点x1，x2，证明：fx1+fx20【分析】1求出函数的导数，根据函数的单调性得到ax2+2xmax，求出a的范围即可；2求出函数的导数，求出fx1+fx22alna2a+2，令ga2alna2a+2，0a1，根据函数的单调性证明即可【解答】解：1fx+2x4，x0，由fx递增，故fx0，即+2x40恒成立，ax2+2xmax1，当且仅当x1时取“，即a1；2证明，由1得：fx，由题意得fx的两个零点是x1，x2，故0a1，且x1+x22，x1x2a，故fx1+fx22alnx1+4x1+3+2alnx2+4x2+32alnx1x2+2x1x2+62alna2a+2，令ga2alna2a+2，0a1，那么ga2lna0，ga递减，g10，ga0，fx1+fx20【点评】此题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题二选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.22在极坐标系中，直线，圆C：4sin以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy1求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；2点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值【分析】1根据极坐标与直角坐标转化的规那么，以及直角坐标方程与参数方程转化规那么易得直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；2点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1，d2，故可用点到直线的距离公式计算出点P到直线l的距离，再由坐标的几何意义计算出点P到x轴的距离，将d1+d2的值表示为的三角函数，利用三角函数的最值求法即可求出最大值【解答】解：1直线，整理得，所以直线l的直角坐标方程是，整理得，圆C：4sin，即24sin，由公式得x2+y24y0，所以圆的参数方程是；2点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1，d2，d1+d2+2+2sin+2+2sin+25+2sin7，等号当且仅当时取到，故d1+d2的最大值是7【点评】此题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程以及直角坐标方程转化为参数方程的方法，以及利用圆的参数方程解决圆的点到直线的距离的表示方程以及三角函数最值的求法，知识性强综合性强，23fx|x+1|+|x1|11解不等式fxx+1；2证明：3fxf2x【分析】1绝对值不等式的解法讨论当x1时，当1x1时，当x1时，得解；2分段讨论当x1时，当1x时，当x时，当x1时，当x1时，命题可得证【解答】解：1当x1时，fxx+1等价于x+1x11x+1，解得此方程无解，当1x1时，fxx+1等价于x+1x11x+1，解得0x1，当x1时，fxx+1等价于x+1+x11x+1，解得1x2，综合可得：不等式的解集为：2当x1时，3fxf2x2x22x+10即3fxf2x，当1x时，3fxf2x4x+10，即3fxf2x，当x时，3fxf2x3x+13x132x+1+2x1+120，即3fxf2x，当x1时，3fxf2x3x+13x132x+12x1+14x10，即3fxf2x，当x1时，3fxf2x3x+1+3x132x+12x1+12x10，即3fxf2x，综合得：3fxf2x，故命题得证【点评】此题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的证明，属中档题- 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