回扣三三角函数与平面向量-高中数学必备考试技能之回扣溯源查缺补漏(2022版)(原卷版)(1).docx

回扣3：三角函数与平面向量一知识汇总*经典提炼三角函数的图象与性质根本问题定义任意角a的终边与单位圆交于点 P(x, y) 时， sina= y, cosa= x, tana= y x同角三角函数关系sin2 a+ cos2 a= 1, sina = tana。cosa诱导公式360° ±a,180° ±a， -a， 90° ±a, 270° ±a， “奇变偶不变，符号看象限三角函数的性质与图象值域周期单调区间奇偶性对称中心对称轴y = sin x x Î R -1,12kpé ppù增 êë- 2 + 2kp, 2 + 2kpúûép3pù减 êë 2 + 2kp, 2 + 2kpúû奇函数(kp, 0)x =kp+ p2y = cos x x Î R -1,12kp增-p+ 2kp, 2kp减2kp, 2kp+p偶函数(kp+ p 0),2x = kpy = tan x( x ¹ kp+ p)2Rkpæ ppö增ç - 2 + kp, 2 + kp÷èø奇函数æ kpöç 2 , 0÷èø无图象变换平移变换上下平移y = f (x) 图象平移 k 得 y = f (x) + k 图象， k > 0 向上， k < 0 向下。左右平移y = f (x) 图象平移 j得 y = f (x +j) 图象，j> 0 向左，j< 0 向右。伸缩变换x 轴方向y = f (x) 图象各点把横坐标变为原来w倍得 y = f ( 1 x) 的图象。wy 轴方向y = f (x)图象各点纵坐标变为原来的A倍得y = Af (x) 的图象。对称变换中心对称y = f (x)图象关于点(a, b) 对称图象的解析式是 y = 2b - f (2a - x)轴对称y = f (x)图象关于直线 x = a 对称图象的解析式是 y = f (2a - x) 。变换公式正弦和差角公式倍角公式sin 2a= 2 tana1+ tan 2 a1- tan 2 acos 2a=1+ tan 2 asin2 a= 1- cos 2a2cos2 a= 1+ cos 2a2sin(a± b)= sinacos b± cosasin bsin 2a= 2 sinacosa余弦cos(a± b)= cosacos bm sinasin bcos 2a= cos2 a- sin 2 a= 2 cos2 a-1 = 1- 2 sin2正切tan(a± b) = tana± tan b1m tanatan btan 2a= 2 tana1- tan 2 a三角恒等变换与解三角形定理 a = b = c。sin Asin Bsin C射影定理：正弦变形a = 2R sin A,b = 2R sin B, c = 2R sin C R 外 接圆 半a = b cos C + c cos B定理径。b = a cos C + c cos A类型三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。c = a cos B + b cos A定理a2 = b2 + c2 - 2bc cos A,b2 = a2 + c2 - 2ac cos B,c2 = a2 + b2 - 2ab cosC 。余弦b2 + c2 - a2cos A =2bc(b + c)2 - a22bc-1 等。定理变形类型两边及一角一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程、三边。根本S = 1 a × h = 1 b × h = 1 c × h = 1 ab sinC = 1 bc sin A = 1 ac sin B 。2a2b2c222面积公式公式导出S = abc R 外接圆半径； S = 1 (a + b + c)r r 内切圆半径。4R2公式实际把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三角形，只要根本思想应用根据逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。常用术语仰角视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。俯角视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。方向角方向角一般是指以观测者的位置为中心， 将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角一般是锐角，如北偏西 30°。方位角某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。平面向量重要概念向量既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。0 向量长度为0 ，方向任意的向量。【0 与任一非零向量共线】平行向量方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。向量夹角起点放在一点的两向量所成的角，范围是0,p。 a, b 的夹角记为< a, b > 。投影r< a, b >= q， b cosq叫做b 在 a 方向上的投影。【注意：投影是数量】重要法那么定理根本定理e1 , e2 不共线，存在唯一的实数对(l,m) ，使 a = le1 + me2 。假设 e1 , e2 为 x, y 轴上的单位正交向量， (l,m) 就是向量 a 的坐标。一般表示坐标表示向量坐标上下文理解共线条件a, b b ¹ 0 共线 Û 存在唯一实数l，a = lb(x1, y1 ) = l(x2 , y2 ) Û x1 y2 = x2 y1垂直条件a b Û agb = 0。x1 y1 + x2 y2 = 0 。各种运算加法运算法那么a + b 的平行四边形法那么、三角形法那么。a + b = (x1 + x2 , y1 + y2 ) 。算律a + b = b + a ， (a + b) + c = a + (b + c)与加法运算有同样的坐标表示。减法法那么a - b 的三角形法那么。a - b = (x1 - x2 , y1 - y2 )运算分解MN = ON - OM 。MN = (xN - xM , yN - yM ) 。数乘运算概念l× a 为向量，l> 0 与 a 方向相同，rrl< 0 与a 方向相反， la = l a 。la = (lx,ly) 。算律l(ma) = (lm)a ， (l+ m)a = la + ma ，l(a + b) = la + lb与数乘运算有同样的坐标表示。数量积运算概念r rrrr ragb = a × b cos < a,b >agb = x1x2 + y1 y2 。主要性质r rr 2r rrraga = a ， agb £ a × b 。ra =x2 + y 2 ，x x + y y £x 2 + y 2 × x 2 + y 2 1 21 21122算律agb = bga ， (a + b)gc = agc + bgc ，(la)gb = ag(lb) = l(agb) 。与上面的数量积、数乘等具有同样的坐标表示方法。二核心解读*方法重温1.三角函数值是一个比值，是实数，这个实数的大小和点 P(x，y)在终边上的位置无关，只由角的终边位置决定.回扣问题1角的终边为射线y2x(x0)，那么cos2cos.2.求函数 f(x)Asin(x)的单调区间时，要注意 A 与的符号，当<0 时，需把的符号化为正值后再求解.回扣问题2函数ysin2x3的单调递减区间是.|3.三角函数图象变换中，注意由 ysin x 的图象变换得到 ysin(x)的图象时，平移量为 ，而不是.回扣问题3要得到函数ysin4x3 的图象，只需将函数ysin4x的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度1212C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度334.运用二次函数求三角函数最值时，要注意三角函数取值范围.回扣问题4假设函数f(x)3sin(2x)cos(2x)(0<<)的图象关于点，02对称，那么函数 f(x)在4 6上的最小值是.5.三角形两边及一边对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.在ABC 中，A>B Þsin A>sinB.回扣问题5在ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，假设Bc23，b2， 那么C. ，66.在三角函数求值中，无视隐含条件的制约导致增解.，回扣问题6cos1sin()5 3，0<<，0< ，那么cos.<714227.活用平面向量运算的几何意义，灵活选择坐标运算与几何运算.回扣问题7(1)向量a，b满足|a|1，|b|2，|ab|3，那么a·b.(2)ABC是边长为2 的正三角形，点P为平面内一点，且3，那么 的取值范围是()A.0，12B.0，32|CP|PC·(PAPB)C.0，6D.0，38.设两个非零向量 a，b，其夹角为，当为锐角时，a·b>0，且 a，b 不同向；故 a·b>0 是为锐角的必要不充分条件；当为钝角时，a·b<0，且 a，b 不反向，故 a·b<0 是为钝角的必要不充分条件.回扣问题8向量a(2，1)，b(，1)，R，设a与b 的夹角为.假设为锐角，那么的取值范围是.9.切忌混淆三角形“四心，注意不同的向量表示形式.回扣问题9假设O是ABC所在平面内一点，且满足|OBOC|OBOC2OA|，那么ABC的形状为.三新题好题*保持手感312022·天津市武清区杨村第一中学高三三模要得到函数y=23cos2x+sin2x-的图象，只需将函数y=2sin2x的图象ppA向左平移3个单位B向右平移3个单位ppC向左平移6个单位D向右平移6个单位22022·四川省泸县第四中学高三三模函数f(x)=sin(2x+j)æj<pö的图象向右平移p个单位后ç2÷6èø关于原点对称，那么函数 f (x)在 é-p, 0ù上的最大值为A - 32êë2úûB3C122D-12332022·四川省双流中学高三开学考试在DABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，c=+1，b=2，A=p，那么B=33ppA4B6pp3pCD或44442022·武威第六中学高三三模sina=5，sin(a-b)=-510，a,b均为锐角，那么b=105pppA12B3C4pD652022·天津市咸水沽第二中学高三二模在等腰梯形ABCD中，AB/CD，ÐBAD=60°，AB=8，CD=4假设M为线段BC的中点，E为线段CD上一点，且AM×AE=27，那么DM×DE=20A15B10C3D562022·重庆南开中学高三三模向量a=(2,t)，b=(-1,3)，假设a，b的夹角为钝角，那么t的范围是At <23Bt >23C t <2 且t ¹-63pDt <-672022·全国高三三模函数f(x)tan(x)的单调递减区间为()43pA(k4，kp)，kZ4B(kp3p，k44)，kZC(kp，k2p)，kZ2D(k，(k1)，kZ82022·湖北省高三三模函数f(x)=3 sin 2x - 2 cos2 x +1(x ÎR ).(1)求 f (x)的单调递增区间;x Îé-ppù(2)当ê,ú时,求f(x)的值域.ë6 4û