四川省成都外国语学校2022届高三数学12月月考试题理.doc

四川省成都外国语学校2020届高三数学12月月考试题 理考试时间：120分钟 满分150分一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合 ，集合 ，则 A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数 所对应的点 的坐标为 ，则 A. B. C. D. 3. 等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 A. B. C. D. 4. 有一批种子，对于一颗种子来说，它可能 天发芽，也可能 天发芽，如表是不同发芽天数的种子数的记录：发芽天数12345678种子数826222412420统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是 A. B. C. D. 5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如右图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的 ，则输出的 A. B. C. D. 6. 已知条件 ，条件 ，且 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 7. 将函数 的图象向右平移 个单位后，所得图象对应的函数解析式为 A. B. C. D. 8. 某几何体的三视图如右图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 9. 已知实数 ， 满足不等式 ，则点 与点 在直线 的两侧的概率为 A. B. C. D. 10. 正项数列 的前 项和为 ，且 ，设 ，则数列 的前 项的和为 A. B. C. D. 11. 设函数 满足，则 时 A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值12. 已知函数 ，设方程 的四个实根从小到大依次为 ，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定成立的是 A. B. C. D. 二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知 ，则 14. 向量 ， 满足 ，且 ，则 ， 的夹角 的取值范围是 15. 在 展开式中， 的系数是 16. 在平面直角坐标系xOy中，过点(0,1)的直线l与双曲线3x2- y2=1交于两点A，B. 若OAB是直角三角形，则直线l的斜率为 三、解答题（共6小题；共70分）17. 在 中，角 ， 所对的边分别为 ，（1）求证： 是等腰三角形；（2）若 ，且 的周长为 ，求 的面积18. 某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有 个人参加，现将所有参加者按年龄情况分为 ， 等七组，其频率分布直方图如图所示，已知 这组的参加者是 人（1）根据此频率分布直方图求 ；（2）组织者从 这组的参加者（其中共有 名女教师，其余全为男教师）中随机选取 名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为 ，求 的分布列、均值及方差19. 在如图所示的几何体中， 是边长为 的正三角形，且 （1）若 ，求证：；（2）若二面角 为 ，求直线 与平面 所成角20. 已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 ，离心率为 ， 的面积为 （1）求椭圆 的方程；（2）若 ， 为 轴上的两个动点，且 ，直线 和 分别与椭圆 交于 ， 两点求证：直线 过定点，并求出该定点。21. 已知称函数是“有趣的”，如果其满足且x=1是它的零点。例如就是“有趣的”。已知是“有趣的”。（1）求出b、c并求出函数的单调区间；（2）若对于任意正数x，都有恒成立，求参数k的取值范围。请考生在22,23题中任选择一题作答，并在答题卡上把所选题目后的方框涂黑。22. 在平面直角坐标系下，直线 （ 为参数），以原点 为极点，以 轴的非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （1）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的值23. 已知函数 （）（1）求不等式 的解集 ；（2）若 ，证明 答案选择题1. B2. C【解析】，所以 ，所以 3. C4. B5. D【解析】模拟程序的运行，可得 ， ， ，不满足条件 ，执行循环体，不满足条件 ，执行循环体，此时，满足条件 ，退出循环，输出 的值为 6. C【解析】 或 ，当 时， 或 ，当 时，因为 是 的必要不充分条件，所以 是 的必要不充分条件，因此 从而 或 ，即 7. D8. A【解析】由已知中的三视图可得，该几何体由一个半圆锥和一个三棱柱组合而成，如图，其中半圆锥的底面半径为 ，三棱柱的底面是一个边长为 的正方形，它们的高分别为：，则该几何体的体积 9. C【解析】若点 与点 在直线 的两侧，则 ，即 ，又实数 ， 满足不等式 ，作出图象如图：由图可知，点 与点 在直线 的两侧的概率为 10. C【解析】因为 ，所以当 时，解得 ，当 时，化为：，所以 ，所以数列 是等差数列，公差为 ，首项为 ，所以 ，所以 ，则数列 的前 项的和 11. D【解析】由 ，得 ，令 ，所以 令 ，得 当 时，；当 时，所以 在 时有最小值 ，从而当 时，则 在 上是增函数，所以 无极大值也无极小值12. B【解析】方程 的根可化为函数 与 图象的交点的横坐标，作函数 的图象，由图象可得，故 ；易知 ，即 ，即 ，即 ，即 ， ， 填空13. 【解析】因为 ，所以 14. 【解析】因为 ，所以 ，即 ，所以 ，故 15. -8【解析】 项系数为 16. 【解析】（1）AOB=90°：直线l的斜率显然存在，设直线为y=kx+1。联立双曲线：3x2- y2=1，消去y得：. 注意到AOB=90°Û，带入解出.（2）OAB=90°（A在左支）设A点坐标(m,n)( m<0),则OAB=90°Û,联立双曲线无解，故不可能出现OAB=90°。（3）OBA=90°（B在右支），同理不可能。解答题17. （1） 根据正弦定理，由 可得 即 ，故 ，由 得 ，故 ，所以 是等腰三角形      （2） 由（）知 ，故 又因为 的周长为 ，得 ，故 的面积 18. （1） 根据题意， 这组频率为 ，所以 ；      （2） 根据题意， 这组的参加者人数为 ， 的可能取值为 ， ， ， ， 的分布列为：， 19. （1）方法一、如下图左。选择中点，证明NK和DM平行且相等即可。方法二：取 的中点 ，连接 ，因为 ， 为 的中点，所以 ，又因为 ，所以 ，因为 是边长为 的正三角形，所以 ，建立如图所示的空间直角坐标系 则 ， ，因为 ，所以 ，设平面 的法向量 ，则 令 ，所以 因为 ，所以 ，又 ，所以 （2） 设 ，则 ，设平面 的法向量 ，则 令 ，所以 又平面 的法向量 ，所以 ，解得 ，即知平面 的法向量 设直线 与平面 所成的角为 ，而 ，所以 ，所以 ，即直线 与平面 所成的角为 20. （1） 依题意： ， ， ， ，所以 ， ，所以椭圆方程： （2）设 与 交于 ， ， ， ， ，设 与 交于 ， ，同理可得 ，所以 ， ，所以 ， ， 三点共线从而ED恒过定点O。由于两条不同直线至多有1个交点，故定点为O(0,0)21. （1）b=2, c=1. 的定义域为正实数，(0,1)为单减区间，为单增区间。（2）参数k的取值范围为。引理：不等式对任意正数y都成立。证明略。恒成立，即恒成立。我们构造函数。注意到。构造，注意到，且我们以下分两部分进行说明：第一部分：时，恒成立。，由，知道，从而当时有，时有，所以在上为负，在上为正。从而在上单减，在上单增，最小值为F(1)。第二部分：时，不满足条件。构造函数。(i)若，则对于任意，都有。(ii)若，则对于任意，而，所以在上有唯一零点，同时在，时都有。于是只要，无论是(i)还是(ii)，我们总能找到一个实数，在时都有。这样在时，都有，结合，所以时，从而在时有。，所以时，不满足要求。第二部分另证：（洛必达法则）恒成立也即恒成立，命，则有（备注：第二部分直观上看，所以可能存在使得在恒成立，从而在上恒成立，结合有矛盾。）22. （1） 直线 的普通方程为 ，由 ，得 ，则 ，即 ，即曲线 的直角坐标方程为 （2） 把直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得 ，即 ，设方程 的两根分别为 ，则 ，所以 23. （1） 由 可得 ，即 或 或 解得：即不等式的解集       （2） 要证 ，即证 ，因为 ，所以只需证 ，即证 ，由（）可知 ，当且仅当 时等号成立，显然上式成立，故原命题得证9