备考2022中考数学高频考点分类突破10二次函数训练含解析.docx

二次函数一选择题共3小题12022山西北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥如图1，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱近似看成二次函数的图象抛物线在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点拱高为78米即最高点O到AB的距离为78米，跨径为90米即AB90米，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，那么此抛物线钢拱的函数表达式为Ay=26675x2By=-26675x2Cy=131350x2Dy=-131350x2【解答】解：设抛物线的解析式为：yax2，将B45，78代入得：78a×452，解得：a=-26675，故此抛物线钢拱的函数表达式为：y=-26675x2应选：B22022南通如图是王阿姨晚饭后步行的路程s单位：m与时间t单位：min的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一局部以下说法不正确的选项是A25min50min，王阿姨步行的路程为800mB线段CD的函数解析式为s32t+40025t50C5min20min，王阿姨步行速度由慢到快D 曲线段AB的函数解析式为s3t202+12005t20【解答】解：A、25min50min，王阿姨步行的路程为20001200800m，故A没错；B、设线段CD的函数解析式为skt+b，把25，1200，50，2000代入得，1200=25k+b2000=50k+b解得：k=32b=400，线段CD的函数解析式为s32t+40025t50，故B没错；C、在A点的速度为5255=105m/min，在B点的速度为1200-52520-5=67515=45m/min，故C错误；D、当t20时，由图象可得s1200m，将t20代入s3t202+12005t20得s1200，故D没错应选：C32022临沂从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h单位：m与小球运动时间t单位：s之间的函数关系如下图以下结论：小球在空中经过的路程是40m；小球抛出3秒后，速度越来越快；小球抛出3秒时速度为0；小球的高度h30m时，t1.5s其中正确的选项是ABCD【解答】解：由图象知小球在空中到达的最大高度是40m；故错误；小球抛出3秒后，速度越来越快；故正确；小球抛出3秒时到达最高点即速度为0；故正确；设函数解析式为：hat32+40，把O0，0代入得0a032+40，解得a=-409，函数解析式为h=-409t32+40，把h30代入解析式得，30=-409t32+40，解得：t4.5或t1.5，小球的高度h30m时，t1.5s或4.5s，故错误；应选：D42022兰州点A1，y1，B2，y2在抛物线yx+12+2上，那么以下结论正确的选项是A2y1y2B2y2y1Cy1y22Dy2y12【解答】解：当x1时，y1x+12+21+12+22；当x2时，y1x+12+22+12+27；所以2y1y2应选：A52022淄博将二次函数yx24x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位假设得到的函数图象与直线y2有两个交点，那么a的取值范围是Aa3Ba3Ca5Da5【解答】解：yx24x+ax224+a，将二次函数yx24x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为yx2+124+a+1，即yx22x+a2，将y2代入，得2x22x+a2，即x22x+a40，由题意，得44a40，解得a5应选：D62022雅安在平面直角坐标系中，对于二次函数yx22+1，以下说法中错误的选项是Ay的最小值为1B图象顶点坐标为2，1，对称轴为直线x2C当x2时，y的值随x值的增大而增大，当x2时，y的值随x值的增大而减小D它的图象可以由yx2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到【解答】解：二次函数yx22+1，a10，该函数的图象开口向上，对称轴为直线x2，顶点为2，1，当x2时，y有最小值1，当x2时，y的值随x值的增大而增大，当x2时，y的值随x值的增大而减小；应选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，yx2的图象向右平移2个单位长度得到yx22，再向上平移1个单位长度得到yx22+1；应选项D的说法正确，应选：C72022陕西在同一平面直角坐标系中，假设抛物线yx2+2m1x+2m4与yx23m+nx+n关于y轴对称，那么符合条件的m，n的值为Am=57，n=-187Bm5，n6Cm1，n6Dm1，n2【解答】解：抛物线yx2+2m1x+2m4与yx23m+nx+n关于y轴对称，2m-1=3m+n2m-4=n，解之得m=1n=-2，应选：D82022遂宁二次函数yx2ax+b的图象如下图，对称轴为直线x2，以下结论不正确的选项是Aa4B当b4时，顶点的坐标为2，8C当x1时，b5D当x3时，y随x的增大而增大【解答】解：二次函数yx2ax+b对称轴为直线x=a2=2a4，故A选项正确；当b4时，yx24x4x228顶点的坐标为2，8，故B选项正确；当x1时，由图象知此时y0即1+4+b0b5，故C选项不正确；对称轴为直线x2且图象开口向上当x3时，y随x的增大而增大，故D选项正确；应选：C92022温州二次函数yx24x+2，关于该函数在1x3的取值范围内，以下说法正确的选项是A有最大值1，有最小值2B有最大值0，有最小值1C有最大值7，有最小值1D有最大值7，有最小值2【解答】解：yx24x+2x222，在1x3的取值范围内，当x2时，有最小值2，当x1时，有最大值为y927应选：D102022衢州二次函数yx12+3图象的顶点坐标是A1，3B1，3C1，3D1，3【解答】解：yx12+3，顶点坐标为1，3，应选：A112022重庆抛物线y3x2+6x+2的对称轴是A直线x2B直线x2C直线x1D直线x1【解答】解：y3x2+6x+23x12+5，抛物线顶点坐标为1，5，对称轴为x1应选：C122022恩施州抛物线yax2+bx+c的对称轴是直线x1，且过点1，0顶点位于第二象限，其局部图象如图4所示，给出以下判断：ab0且c0；4a2b+c0；8a+c0；c3a3b；直线y2x+2与抛物线yax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，那么x1+x2+x1x25其中正确的个数有A5个B4个C3个D2个【解答】解：抛物线对称轴x1，经过1，0，-b2a=-1，a+b+c0，b2a，c3a，a0，b0，c0，ab0且c0，故错误，抛物线对称轴x1，经过1，0，2，0和0，0关于对称轴对称，x2时，y0，4a2b+c0，故正确，抛物线与x轴交于3，0，x4时，y0，16a4b+c0，b2a，16a8a+c0，即8a+c0，故错误，c3a3a6a，b2a，c3a3b，故正确，直线y2x+2与抛物线yax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，方程ax2+b2x+c20的两个根分别为x1，x2，x1+x2=-b-2a，x1x2=c-2a，x1+x2+x1x2=-b-2a+c-2a=-2a-2a+-3a-2a=-5，故错误，应选：D132022南充抛物线yax2+bx+ca，b，c是常数，a0，顶点坐标为12，m，给出以下结论：假设点n，y1与32-2n，y2在该抛物线上，当n12时，那么y1y2；关于x的一元二次方程ax2bx+cm+10无实数解，那么A正确，正确B正确，错误C错误，正确D错误，错误【解答】解：顶点坐标为12，m，n12，点n，y1关于抛物线的对称轴x=12的对称点为1n，y1，点1n，y1与32-2n，y2在该抛物线上，1n32-2nn-120，1n32-2n，a0，当x12时，y随x的增大而增大，y1y2，故此小题结论正确；把12，m代入yax2+bx+c中，得m=14a+12b+c，一元二次方程ax2bx+cm+10中，b24ac+4am4ab24ac+4a14a+12b+c4aa+b24a0，一元二次方程ax2bx+cm+10无实数解，故此小题正确；应选：A142022潍坊抛物线yx2+bx+3的对称轴为直线x1假设关于x的一元二次方程x2+bx+3t0t为实数在1x4的范围内有实数根，那么t的取值范围是A2t11Bt2C6t11D2t6【解答】解：yx2+bx+3的对称轴为直线x1，b2，yx22x+3，一元二次方程x2+bx+3t0的实数根可以看做yx22x+3与函数yt的有交点，方程在1x4的范围内有实数根，当x1时，y6；当x4时，y11；函数yx22x+3在x1时有最小值2；2t11；应选：A二填空题共5小题152022贵港我们定义一种新函数：形如y|ax2+bx+c|a0，且b24ac0的函数叫做“鹊桥函数小丽同学画出了“鹊桥函数y|x22x3|的图象如下图，并写出以下五个结论：图象与坐标轴的交点为1，0，3，0和0，3；图象具有对称性，对称轴是直线x1；当1x1或x3时，函数值y随x值的增大而增大；当x1或x3时，函数的最小值是0；当x1时，函数的最大值是4其中正确结论的个数是【解答】解：1，0，3，0和0，3坐标都满足函数y|x22x3|，是正确的；从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x1，因此也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当1x1或x3时，函数值y随x值的增大而增大，因此也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y0，求出相应的x的值为x1或x3，因此也是正确的；从图象上看，当x1或x3，函数值要大于当x1时的y|x22x3|4，因此时不正确的；故答案是：416 2022武汉抛物线yax2+bx+c经过点A3，0、B4，0两点，那么关于x的一元二次方程ax12+cbbx的解是【解答】解：关于x的一元二次方程ax12+cbbx变形为ax12+bx1+c0，把抛物线yax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到yax12+bx1+c，因为抛物线yax2+bx+c经过点A3，0、B4，0，所以抛物线yax12+bx1+c与x轴的两交点坐标为2，0，5，0，所以一元二方程ax12+bx1+c0的解为x12，x25故答案为x12，x25172022达州如图，抛物线yx2+2x+m+1m为常数交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B抛物线yx2+2x+m+1与直线ym+2有且只有一个交点；假设点M2，y1、点N12，y2、点P2，y3在该函数图象上，那么y1y2y3；将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为yx+12+m；点A关于直线x1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m1时，四边形BCDE周长的最小值为34+2其中正确判断的序号是【解答】解：把ym+2代入yx2+2x+m+1中，得x22x+10，440，此方程两个相等的实数根，那么抛物线yx2+2x+m+1与直线ym+2有且只有一个交点，故此小题结论正确；抛物线的对称轴为x1，点P2，y3关于x1的对称点为P0，y3，a10，当x1时，y随x增大而增大，又2012，点M2，y1、点N12，y2、点P0，y3在该函数图象上，y2y3y1，故此小题结论错误；将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：yx+22+2x+2x+m+12，即yx+12+m，故此小题结论正确；当m1时，抛物线的解析式为：yx2+2x+2，A0，2，C2，2，B1，3，作点B关于y轴的对称点B1，3，作C点关于x轴的对称点C2，2，连接BC，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，那么BE+ED+CD+BCBE+ED+CD+BCBC+BC，根据两点之间线段最短，知BC最短，而BC的长度一定，此时，四边形BCDE周长BC+BC最小，为：B'M2+C'M2+BM2+CM2=32+52+12+12=34+2，故此小题结论正确；故答案为：18.2022泰安假设二次函数yx2+bx5的对称轴为直线x2，那么关于x的方程x2+bx52x13的解为【解答】解：二次函数yx2+bx5的对称轴为直线x2，-b2=2，得b4，那么x2+bx52x13可化为：x24x52x13，解得，x12，x24故答案为：x12，x24192022济宁如图，抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A1，p，B3，q两点，那么不等式ax2+mx+cn的解集是【解答】解：抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A1，p，B3，q两点，m+np，3m+nq，抛物线yax2+c与直线ymx+n交于P1，p，Q3，q两点，观察函数图象可知：当x3或x1时，直线ymx+n在抛物线yax2+c的下方，不等式ax2+mx+cn的解集为x3或x1故答案为：x3或x120.2022广安在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y米与水平距离x米之间的关系为y=-112x2+23x+53，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米【解答】解：当y0时，y=-112x2+23x+53=0，解得，x2舍去，x10故答案为：10三、解答题212022达州如图1，抛物线yx2+bx+c过点A1，0，B3，01求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；2设点D是x轴上一点，当tanCAO+CDO4时，求点D的坐标；3如图2抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，BMP和EMN的面积分别为m、n，求mn的最大值【解答】解：1由题意把点1，0，3，0代入yx2+bx+c，得，-1+b+c=0-9-3b+c=0，解得b2，c3，yx22x+3x+12+4，此抛物线解析式为：yx22x+3，顶点C的坐标为1，4；2抛物线顶点C1，4，抛物线对称轴为直线x1，设抛物线对称轴与x轴交于点H，那么H1，0，在RtCHO中，CH4，OH1，tanCOH=CHOH=4，COHCAO+ACO，当ACOCDO时，tanCAO+CDOtanCOH4，如图1，当点D在对称轴左侧时，ACOCDO，CAOCAO，AOCACD，ACAD=AOAC，AC=CH2+AH2=25，AO1，25AD=125，AD20，OD19，D19，0；当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x1的对称点D'的坐标为17，0，点D的坐标为19，0或17，0；3设Pa，a22a+3，将Pa，a22a+3，A1，0代入ykx+b，得，ak+b=-a2-2a+3k+b=0，解得，ka3，ba+3，yPAa3x+a+3，当x0时，ya+3，N0，a+3，如图2，SBPMSBPAS四边形BMNOSAON，SEMNSEBOS四边形BMNO，SBPMSEMNSBPASEBOSAON=12×4×a22a+3-12×3×3-12×1×a+32a2-92a2a+982+8132，由二次函数的性质知，当a=-98时，SBPMSEMN有最大值8132，BMP和EMN的面积分别为m、n，mn的最大值为8132222022天津抛物线yx2bx+cb，c为常数，b0经过点A1，0，点Mm，0是x轴正半轴上的动点当b2时，求抛物线的顶点坐标；点Db，yD在抛物线上，当AMAD，m5时，求b的值；点Qb+12，yQ在抛物线上，当2AM+2QM的最小值为3324时，求b的值【解答】解：抛物线yx2bx+c经过点A1，0，1+b+c0，即cb1，当b2时，yx22x3x124，抛物线的顶点坐标为1，4；由知，抛物线的解析式为yx2bxb1，点Db，yD在抛物线yx2bxb1上，yDb2bbb1b1，由b0，得bb20，b10，点Db，b1在第四象限，且在抛物线对称轴x=b2的右侧，如图1，过点D作DEx轴，垂足为E，那么点Eb，0，AEb+1，DEb+1，得AEDE，在RtADE中，ADEDAE45°，AD=2AE，由AMAD，m5，51=2b+1，b32-1；点Qb+12，yQ在抛物线yx2bxb1上，yQb+122bb+12b1=-b2-34，可知点Qb+12，-b2-34在第四象限，且在直线xb的右侧，2AM+2QM222AM+QM，可取点N0，1，如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由GAM45°，得22AMGM，那么此时点M满足题意，过点Q作QHx轴于点H，那么点Hb+12，0，在RtMQH中，可知QMHMQH45°，QHMH，QM=2MH，点Mm，0，0-b2-34b+12m，解得，m=b2-14，2AM+2QM=3324，2b2-141+22b+12b2-14=3324，b4232022金华如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点点P为抛物线yxm2+m+2的顶点1当m0时，求该抛物线下方包括边界的好点个数2当m3时，求该抛物线上的好点坐标3假设点P在正方形OABC内部，该抛物线下方包括边界恰好存在8个好点，求m的取值范围【解答】解：1如图1中，当m0时，二次函数的表达式yx2+2，函数图象如图1所示当x0时，y2，当x1时，y1，抛物线经过点0，2和1，1，观察图象可知：好点有：0，0，0，1，0，2，1，0，1，1，共5个2如图2中，当m3时，二次函数解析式为yx32+5如图2当x1时，y1，当x2时，y4，当x4时，y4，抛物线经过1，1，2，4，4，4，根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为1，1，2，4，4，43如图3中，抛物线的顶点Pm，m+2，抛物线的顶点P在直线yx+2上，点P在正方形内部，那么0m2，如图3中，E2，1，F2，2，观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方包括边界恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点点F除外，当抛物线经过点E时，2m2+m+21，解得m=5-132或5+132舍弃，当抛物线经过点F时，2m2+m+22，解得m1或4舍弃，当5-132m1时，顶点P在正方形OABC内部，该抛物线下方包括边界恰好存在8个好点242022枣庄抛物线yax2+32x+4的对称轴是直线x3，与x轴相交于A，B两点点B在点A右侧，与y轴交于点C1求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；2如图1，假设点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点不与B、C重合，是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？假设存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；假设不存在，请说明理由；3如图2，假设点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN3时，求点M的坐标【解答】解：1抛物线的对称轴是直线x3，-322a=3，解得a=-14，抛物线的解析式为：y=-14x2+32x+4当y0时，-14x2+32x+40，解得x12，x28，点A的坐标为2，0，点B的坐标为8，0答：抛物线的解析式为：y=-14x2+32x+4；点A的坐标为2，0，点B的坐标为8，02当x0时，y=-14x2+32x+44，点C的坐标为0，4设直线BC的解析式为ykx+bk0，将B8，0，C0，4代入ykx+b得8k+b=0b=4，解得k=-12b=4，直线BC的解析式为y=-12x+4假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，设点P的坐标为x，-14x2+32x+4，如下图，过点P作PDy轴，交直线BC于点D，那么点D的坐标为x，-12x+4，那么PD=-14x2+32x+4-12x+4=-14x2+2x，S四边形PBOCSBOC+SPBC=12×8×4+12PDOB16+12×8-14x2+2xx2+8x+16x42+32当x4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是320x8，存在点P4，6，使得四边形PBOC的面积最大答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为4，6，四边形PBOC面积的最大值为323设点M的坐标为m，-14m2+32m+4那么点N的坐标为m，-12m+4，MN|-14m2+32m+4-12m+4|-14m2+2m|，又MN3，|-14m2+2m|3，当0m8时，-14m2+2m30，解得m12，m26，点M的坐标为2，6或6，4；当m0或m8时，-14m2+2m+30，解得m3427，m44+27，点M的坐标为427，7-1或4+27，-7-1答：点M的坐标为2，6、6，4、427，7-1或4+27，-7-1252022南充如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A1，0，点B3，0，且OBOC1求抛物线的解析式；2点P在抛物线上，且POBACB，求点P的坐标；3抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E求DE的最大值；点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形【解答】解：1抛物线与x轴交于点A1，0，点B3，0设交点式yax+1x+3OCOB3，点C在y轴负半轴C0，3把点C代入抛物线解析式得：3a3a1抛物线解析式为yx+1x+3x24x32如图1，过点A作AGBC于点G，过点P作PHx轴于点HAGBAGCPHO90°ACBPOBACGPOHAGPH=CGOHAGCG=PHOHOBOC3，BOC90°ABC45°，BC=OB2+OC2=32ABG是等腰直角三角形AGBG=22AB=2CGBCBG32-2=22PHOH=AGCG=12OH2PH设Pp，p24p3当p3或1p0时，点P在点B左侧或在AC之间，横纵坐标均为负数OHp，PHp24p3p2+4p+3p2p2+4p+3解得：p1=-9-334，p2=-9+334P-9-334，-9-338或-9+334，-9+338当3p1或p0时，点P在AB之间或在点C右侧，横纵坐标异号p2p2+4p+3解得：p12，p2=-32P2，1或-32，34综上所述，点P的坐标为-9-334，-9-338、-9+334，-9+338、2，1或-32，343如图2，xm+4时，ym+424m+43m212m35Mm，m24m3，Nm+4，m212m35设直线MN解析式为ykx+nkm+n=-m2-4m-3k(m+4)+n=-m2-12m-35 解得：k=-2m-8n=m2+4m-3直线MN：y2m8x+m2+4m3设Dd，d24d3mdm+4DEy轴xExDd，Ed，2m8d+m2+4m3DEd24d32m8d+m2+4m3d2+2m+4dm24mdm+22+4当dm+2时，DE的最大值为4如图3，D、F关于点E对称DEEF四边形MDNF是矩形MNDF，且MN与DF互相平分DE=12MN，E为MN中点xDxE=m+m+42=m+2由得当dm+2时，DE4MN2DE8m+4m2+m212m35m24m3282解得：m14-32，m24+32m的值为4-32或4+32时，四边形MDNF为矩形