山西省大同市第一中学2022届高三数学2月模拟试题三理.doc

山西省大同市第一中学2022届高三数学2月模拟试题三理一、选择题每题 5 分，共 12 小题1假设集合 A = -1, 0, 1 ,1, 2，集合 B = y | y = 2x , x Î A ，那么集合 A I B = 214A- 111-1, 0,11,1, 22B0, 2 ,1C2 ,1, 2D2复数 z =2i (1- i)3，那么 z 在复平面内对应点所在象限为A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3向量a = ( 3, 3) 在向量b = (m,1) 方向上的投影为 3，那么a 与b 的夹角为()A 30oB 60oC 30o 或150oD 60o 或120o4设a- l - b是直二面角，直线a 在平面a内，直线b 在平面b内，且a 、b 与l 均不垂直，那么A a 与b 可能垂直，但不可能平行B a 与b 可能垂直，也可能平行C a 与b 不可能垂直，但可能平行D a 与b 不可能垂直，也不可能平行1- x2-15求ò1 (+ x cos x)dx 的值为A pB p+1CpDp+1226： p : - 1 < a < 1， q : "x Î-1,1， x2 - ax - 2 < 0, 那么 p 是q成立的 2A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充分必要条件D既不是充分条件也不是必要条件7如下图，分别以正方形 ABCD 两邻边 AB、AD 为直径向正方形内做两个半圆，交于点 O假设向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，那么该球落在阴影局部的概率为A 3p- 2B pC p+ 2D 6 -p88888在数列an 中， a1 = 0 ， an - an-1 + 5 = 2(n + 2)(n Î N*, n ³ 2)，假设数列bn 满足b = n a+1( 8 )n ，那么数列b 的最大项为()nn+111nA第 5 项B第 6 项C第 7 项D第 8 项9函数 f (x) =3 sin wx + cos wx (w > 0) 在区间é-p pù 上恰有一个最大值点,êë和一个最小值点，那么实数w的取值范围是4 3 úûøA é8 , 7 öB é8 , 4 öC é4, 20 öD æ 20 , 7 öêë 3÷ê 3÷ê3 ÷ç 3÷ëøëøèø10抛物 的准线与 轴交于点 ，焦点为 ，点 是抛物线 上的任意一点，当 取得最大值时，直线的斜率是 ABCD11在 R 上的函数 f (x )满足如下条件：函数 f (x )的图象关于 y 轴对称；对于任意 x Î R ， f (2 + x)- f (2 - x) = 0 ；当 x Î0, 2时， f (x) = x ；函数f(n) (x) =f (2n-1 × x)， n Î N * ，假设过点(-1, 0)的直线l 与函数 f(4) (x)的图象在x Î0, 2上恰有 8 个交点，那么直线l 斜率k 的取值范围是()A æ 0, 8 öB æ 0, 11 öC æ 0, 8 öD æ 0, 19 öç11 ÷ç8 ÷ç19 ÷ç8 ÷èøèøèøèø12 A(x1, y1 )、B (x2 , y2)是函数 f (x) = ln x 与 g (x) =xk 图象的两个不同的交x2点，那么 f (x1 + x2 )的取值范围是()æ e2öæ e2 1 öæ1 öæ e2ö2eøèAln, +¥ ÷B çln, ÷C ç 0， ÷D çln, 0÷çè 2e e øèe øè 2eø二、填空题每题 5 分，共 4 小题13函数 f (x) = lg (mx2 - mx - m + 3)的定义域为 R ，那么实数m 的取值范围为14计算： 2 sin 50° - 3 sin 20° =cos 20°15假设DABC 的三边长a ，b ， c 满足b + 2c £ 3a， c + 2a £ 3b，那么 ba .的取值范围为í f (4e - x), 2e < x < 4e16 f (x) = ìln x, 0 < x £ 2eî那么实数m 的取值范围是 ，假设方程 f (x) - mx = 0 有 2 个不同的实根，三、解答题x2 - 2ax + 317函数 p : f (x) =的值域是0, +¥) ， q :关于a 的不等式a2 - (2m - 5)a + m(m - 5) > 0 ，假设Øp 是Øq 充分不必要条件，求实数m 的取值范围。12 分4 3318如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为的菱形，ÐBCD = 60° ， AC 与 BD 交于点O ，平面 FBC 平面 ABCD ， EF / / AB ，2 33FB = FC ， EF =.1求证：OE 平面 ABCD ；2假设DFBC 为等边三角形，点Q为 AE 的中点，求二面角Q - BC - A 的余弦值.12 分19某游戏棋盘上标有第0 、1、2 、L 、100站，棋子开始位于第0 站，选手抛掷均匀硬币进行游戏，假设掷出正面，棋子向前跳出一站；假设掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n 站的概率为 Pn .12 分1当游戏开始时，假设抛掷均匀硬币3 次后，求棋子所走站数之和 X 的分布列与数学期望；2证明： P- P = - 1 (P - P)(1 £ n £ 98)；n+1n2nn-13假设最终棋子落在第99站，那么记选手落败，假设最终棋子落在第100站，那么记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.20在平面直角坐标系 xOy 中，对于直线l : ax + by + c = 0 和点 P1 (x1 , y1 )、P2 (x2 , y2 )，记h= (ax1 + by1 + c )(ax2 + by2 + c )，假设h< 0 ，那么称点 P1 , P2 被直线 l分隔，假设曲线 C 与直线 l 没有公共点，且曲线 C 上存在点 P1 , P2 被直线 l 分隔， 那么称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线.12 分1求证：点 A(1, 2) 、 B(-1, 0) 被直线 x + y -1 = 0 分隔；2假设直线 y = kx 是曲线 x2 - 4 y2 = 1的分隔线，求实数k 的取值范围；3动点 M 到点Q(0, 2) 的距离与到 y 轴的距离之积为 1，设点 M 的轨迹为 E， 求 E 的方程，并证明 y 轴为曲线 E 的分隔线.21函数 f (x) = 1 ax2 - x + 2a2 ln x(a ¹ 0)12 分21讨论 f (x) 的单调性.2假设 f (x) 存在两个极值点 x ， x ，证明：f (x1 ) - f (x2 ) £ 1 + 1 .12x - xxx1212ìx = -1+ t cosa,î22在直角坐标系中，直线l 的参数方程为í y = 1+ t sina t 为参数，0 <a< ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为r2 =41+ sin2q10 分1当a = 时，写出直线l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；62点 P (-1，1)，设直线l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试确定 PA × PB 的取值范围23设函数 f (x) =x - 2 - x + a 10 分(1)当a = 1时，求不等式 f (x) < -2的解集；(2)当 x, y Î R时，- 2 + f ( y) £ f (x) £ 2 + f ( y)，求a 的取值范围数学理模拟卷三答案一选择题1-6CBACAA7-12CBBBAD二填空题é0, 12 ö æ 3 , 5 ö (-¥ 113 ê5 ÷14115 ç 4 3 ÷16, )eëøèø17.当命题 p 是真命题时，函数 f (x) =的值域为0, +¥)，那么D = 4a2 -12 ³ 0 ，解得 a £ -或 a ³；解不等式 a2 - (2m - 5)a + m (m - 5) > 0，即(a - m)éëa - (m - 5)ùû > 0 ，解得 a < m - 5 或a > m ，所以，命题 q : a < m - 5或 a > m .那么 Ø p : -< a <ìïm - 5 £ -3 ， Ø q : m - 5 £ a £ m ，所以， íïîm ³，解得£ m £ 5 -181证明：取 BC 的中点 H ，连结OH 、 FH 、OE ， 因为 FB = FC ，所以 FH BC ，因为平面 FBC 平面 ABCD ，平面 FBC I 平面 ABCD = BC ， FH Ì 平面 FBC ，所以 FH 平面 ABCD ，因为 H 、O 分别为 BC 、 AC 的中点，所以OH / / AB 且OH = 1 AB = 2 3 .23又 EF / / AB ， EF =，所以 EF / /OH ，所以四边形OEFH 为平行四边形， 所以OE / / FH ，所以OE 平面 ABCD.2解：因为菱形 ABCD ，所以OA = OC = OE = FH = 2.所以OA， OB ， OE 两两垂直，建立空间直角坐标系O - xyz ，如下图，那么 A(2, 0, 0)， B(0, 2 3 , 0) ， C(-2, 0, 0)， E(0, 0, 2) ，3所以Q(1, 0,1) ，uuur所以 BC = (-2, -, 0)， CQ = (3, 0,1) ，3设平面 BCQ 的法向量为m = (x, y, z)，ìBC × v = 0ì-2x -y = 0由 íuuuv m得 ï，îCQ × v = 0í3mïî3x + z = 0取 x = 1，可得 m = (1, - 3, -3) ，平面 ABC 的一个法向量为 n = (0, 0,1) ， 设二面角Q - BC - A 的平面角为q，那么cosq=m × nur r =m n-3=13 ，所以二面角Q - BC - A 的余弦值为 3 13 .13191由题意可知，随机变量 X 的可能取值有3 、 4 、5 、6，3P ( X = 3) = 1 ， P ( X = 4) = C1 ×= 3 ，ç÷3 ç÷èøèø83P ( X = 5) = C 2 ×= 3 ， P ( X = 6) = 1 .3 ç÷ç÷èø8èø 所以，随机变量 X 的分布列如下表所示：X3456P18383818所以， E ( X ) = 3´ 1 + 4 ´ 3 + 5´ 3 + 6 ´ 1 = 9 ；888822依题意，当1 £ n £ 98 时，棋子要到第(n +1)站，有两种情况：由第 n 站跳1站得到，其概率为 1 P ；2 n可以由第(n -1)站跳 2 站得到，其概率为 1 P .2 n-1所以， P= 1 P + 1 P .n+12 n2 n-1同时减去 P 得 P- P = - 1 P + 1 P= - 1 (P - P) (1 £ n £ 98)；nn+1n2 n2n-12nn-13依照2的分析，棋子落到第99站的概率为 P = 1 P+ 1 P ，992 98由于假设跳到第99站时，自动停止游戏，故有 P= 1 P .2 971002 98所以 P100 < P99 ，即最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戏不公平.20.1由题意得：h= (2 +1-1) ´ (-1+ 0 -1) = -4 < 0 , A(1, 2)、B(-1, 0) 被直线 x + y -1 = 0 分隔；2由题意得：直线 y = kx 与曲线 x2 - 4 y2 = 1无交点,ìx2 - 4 y2 = 1íî y = kx,整理得(1- 4k 2 )x2 -1 = 0 无解,即1- 4k 2 £ 0 k Î æ -¥, - 1 ù U é 1 , +¥ ö ,ç2 úê 2÷èûëø 又对任意的 k Î æ -¥, - 1 ù U é 1 , +¥ ö ，点(1, 0) 和(-1, 0) 在曲线 x2 - 2 y2 = 1上，满足ç2 úê 2÷èûëø h= (k - 0)(-k - 0) = -k 2 < 0，所以点(1, 0) 和(-1, 0) 被直线 y = kx 分隔，所求的 k 的范围是æ -¥, - 1 ù È é 1 , +¥ ö .ç2 úê 2÷èûëø 3由题意得：设 M (x, y) ,x2 + ( y - 2)2 × | x |= 1,化简得点 M 的轨迹方程为 éë x2 + ( y - 2)2 ùû × x2 = 1Q对任意的 y0 Î R ，点(0, y0 )不是方程 éë x2 + ( y - 2)2 ùû × x2 = 1的解直线 x = 0 与曲线 E 没有交点,又曲线 E 上的两点(-1, 2) 和(1, 2) 对于直线 x = 0 满足h= -1´1 = -1 < 0,即点(-1, 2) 和(1, 2)被直线 x = 0 分隔,2a2ax2 - x + 2a2x Î (0, +¥)21.1解： f ¢(x) = ax -1+=，.xx设 p(x) = ax2 - x + 2a2 (x > 0) ， D = 1- 8a3当 a ³ 1 时， D £ 0， p(x) ³ 0 ，那么 f ¢(x) ³ 0 ， f (x) 在(0, +¥)上单调递增2当0 < a < 1 时， D> 0，2p(x)的零点为 x1 =2a， x2 =2a，æöæ 1+1- 8a3ö所以 f (x) 在ç 0,2a÷ ， ç2a, +¥÷ 上单调递增èøèøæ 1-1- 8a3 1+ 1- 8a3 öf (x) 在ç,2a2a÷ 上单调递减èø p(x)1- 1- 8a3当 a < 0 时， D> 0，æö的零点为 ，2aöf (x) 在ç 0,2a÷ 上单调递增，在ç2a, +¥÷ 上单调递减.èøèø2证明；由1知，当0 < a < 1 时， f (x) 存在两个极值点2不妨假设0 < x < x ，那么 x + x = 11212a要证 f (x1 ) - f (x2 ) < 1 +1 ，只需证 f (x ) - f (x) > (x1 - x2 )(x1 + x2 ) =x1 - x2x - xxx12x xxx12121 221只需证 1 (x - x )éa (x + x )- 2ù + 2a2 ln x1 = - 1 (x - x)+ 2a2 ln x1 > x1 - x2212 ë12ûx212xxx即 证 2a2 ln x1 - x1 + x2 > 1 (x - x )，2221x2x2x1212设t = x1 (0 < t < 1) ，设函数 g(t) = 2a 2 ln t - t + 1 ， g¢(t) = - t 2 - 2a2t +1 ，x2tt 2因为 D¢ = 4a4 - 4 < 0 ，所以t2 - 2a2t +1 > 0， g¢(t) < 0 ， 所以 g (t) 在(0,1) 上单调递减，那么 g(t) > g(1) = 0又 1 (x - x) < 0，那么 g(t) > 0 > 1 (x - x)， 那么 2a2 ln x1 - x1 + x2 > 1 (x - x )212从而 f (x1 ) - f (x2 ) <x1 - x21 + 1x1x2212x2x2x1212221当 a = p时，直线l 的参数方程为6ìx = -1+ïíptcos, 6pìï x = -1+í3 t,2 .1ï y = 1+ tsin,î6y = 1+t,î2消去参数 t 得 x - 3 y +1+= 0.由曲线 C 的极坐标方程为r2 = 得r2 + (rsinq)2 = 4，41+ sin2q.将 x2 + y2 = r2 ，及 y = rsinq代入得 x2 + 2 y2 = 4 ，x2 + y2 =422由直线l 的参数方程为 ìx = -1+ tcosa, t 为参数， 0 <a<p可知直线l 是过点 Pí y = 1+ tsina,a x2y2-1，1且倾斜角为的直线，又由1知曲线 C 为椭圆+= 1，所以易知点 P-1，421在椭圆 C 内，ìx = -1+ tcosa,x2y2将 í y = 1+ tsina,代入+42= 1中并整理得(1+ sin2a)t 2 + 2 (2sina- cosa)t -1 = 0 ， 设 A，B 两点对应的参数分别为t1, t2 ，那么t × t = -11 21+ sin2a所 以 PA × PB = t1 t2=11+ sin2a因为0 <a<p，所以sin2aÎ(0,1，所 以 PA × PB = t t =1Î é 1 ,1ö 1 21+ sin2aêë 2÷ 所以 PA × PB 的取值范围为 é 1 ,1ö.êë 2ì÷ø3, x £ -1,231当 a=1 时， f (x) = ï - 2x, -1 < x £ 2 ，ï-3, x > 2可得 f (x) < -2的解集为 ìx x > 3 üí2 ýîþ2当 x, y Î R 时，-2 + f ( y ) £f (x) £ 2 + f ( y ) Ûf (x) - f ( y ) £ 2 Û éë f (x)ùûmax - éë f (x)ùûmin £ 2,因为 x - 2 - x + a£ (x - 2) - (x + a ) = a + 2 ，所以 a + 2 - (- a + 2 ) £ 2.所以 a + 2 £ 1，所以 -3 £ a £ -1.所以 a 的取值范围是-3，-1