广东省深圳市高级中学2022-2022学年高二数学下学期期中试题理.doc
深圳高级中学（集团）2016-2017学年第二学期期中测试 高二数学（理）本试卷由两部分组成.第一部分：第一学期前的基础知识和能力考查，共103 分； 选择题包含第1题、第3题、第5题、第6题、第7题，第11题、第12题共35分； 填空题包含第13题、第16题，共10分； 解答题包含第17题、第18题、第20题、第21题、第22题，共58分.第二部分：第一学期后的基础知识和能力考查，共47分; 选择题包含第2题、第4题、第8题、第9题、第10题，共25分； 填空题包含第45题、第15题，共10分； 解答题包含第19题，共12分.全卷共计150分,考试时间120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，则（ ） A B C D2. 若复数满足，则 ( ) A. B. C. D.3在等比数列中，表示前项和，若，则公比等于( ) A. B. C. 1 D. 34甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则坐法种数为（ ） A10 B16 C20 D245一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( ) A. B. C. D. 76.已知函数的图象的一个对称中心为, 则函数的单调递减区间是( ) A. Z B. Z C. Z D. Z 是否开始结束输出7执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ） A B C D8设大于0，则3个数：，的值( )A都大于4 B至少有一个不大于4 C都小于4 D至少有一个不小于49.我国古代有着辉煌的数学研究成果.周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、辑古算经等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。这部专著中有部产生于魏晋南北朝时期. 某中学拟从这部名著中选择部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( )A. B. C. D.10.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教,每地至少1人,其中甲和乙一定不同地,甲和丙必须同地,则不同的选派方案共有( )种 A.27 B. 30 C. 33 D. 36 11过椭圆的焦点垂直于x轴的弦长为 ，则双曲线的离心率e的值是()A. B. C. D.12如果对定义在上的函数，对任意，都有,则称函数为“函数”.给出下列函数:；.其中函数是“函数”的个数为（ ） A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题 5分，共20分。请把正确答案填在答题卡中横线上）13.已知平面向量与的夹角为，则 . 14若展开式中的系数为，则_ 15.曲线与直线及轴所围成的图形的面积是_ 16.在“家电下乡”活动中，某厂要将至少100台洗衣机运往邻近的乡镇现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 元三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（本题满分10分）如图，梯形ABCD中，.()若求AC的长；()若，求的面积.18（本题满分12分）设，数列的前项和为，已知，成等比数列.（）求数列的通项公式；（）若数列满足，求数列的前项和.19. (本小题满分12分)为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分） ，从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图规定：成绩不低于120分时为优秀成绩(1)从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；(2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为 ，求的分布列和数学期望E20（本题满分12分）如图， 是平行四边形，已知，,平面平面.（）证明：（）若，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值.21、已知椭圆的两焦点为，离心率.（1）求此椭圆的方程；（2）设直线，若与此椭圆相交于，两点，且等于椭圆的短轴长，求的值； （3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.22（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）（）求的解析式及单调减区间； （）若函数无零点，求的取值范围深圳高级中学（集团）2016-2017学年第二学期期中测试 高二数学（理） 命题人：王会丹 审题人：高书洪本试卷由两部分组成。第一部分：第一学期前的基础知识和能力考查，共103 分； 选择题包含第1题、第3题、第5题、第6题、第7题，第11题、第12题共35分； 填空题包含第13题、第16题，共10分； 解答题包含第17题、第18题、第20题、第21题、第22题，共58分。第二部分：第一学期后的基础知识和能力考查，共47分 选择题包含第2题、第4题、第8题、第9题、第10题，共25分； 填空题包含第45题、第15题，共10分； 解答题包含第19题，共12分。全卷共计150分。考试时间120分钟注意事项：1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，则（ ）BA B C D2. 若复数满足，则 ( )（A） （B） （C） （D）2C【解析】3在等比数列中，表示前项和，若，则公比等于( ) （A） （B） （C）1 （D）33D【解析】两式相减得，从而求得.4甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则坐法种数为（ ）A10 B16 C20 D24【答案】C【解析】（1）甲在前，乙在后：若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，共种方法.（2）同理，乙在前，甲在后，也有种方法.故一共有种方法.5一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )（A） （B） （C） （D）75A【解析】该几何体是棱长为2的正方体截去一个三棱锥后所得的多面体，其体积为6.已知函数的图象的一个对称中心为, 则函数的单调递减区间是( )D(A) Z (B) Z (C) Z (D) Z 是否开始结束输出7执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）A B C D【答案】A【解析】由程序框图可知： 周期为3，由，得输出的结果为8设大于0，则3个数：，的值( )A都大于4 B至少有一个不大于4 C都小于4 D至少有一个不小于4【答案】D【解析】依题意，令，则三个数为，排除选项.故选.9.我国古代有着辉煌的数学研究成果.周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、辑古算经等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。这部专著中有部产生于魏晋南北朝时期. 某中学拟从这部名著中选择部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( )A. B. C. D.【解析】（方法一）从部名著中选择部名著的方法数为（种），2部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为（种），只有部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为（种），于是事件“所选两部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著”的概率. 故选A.（方法二）从部名著中选择部名著的方法数为（种），部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为（种），由对立事件的概率计算公式得.故选A.10.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教,每地至少1人,其中甲和乙一定不同地,甲和丙必须同地,则不同的选派方案共有( )种 A.27 B. 30 C. 33 D. 36 10B 【解析】共有种方案11过椭圆的焦点垂直于x轴的弦长为 ，则双曲线的离心率e的值是()A. B. C. D.【解析】据题意知椭圆通径长为a，故有aa24b2，故相应双曲线的离心率e.【答案】B12如果对定义在上的函数，对任意，都有则称函数为“函数”.给出下列函数:；.其中函数是“函数”的个数为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由已知得，即，故在定义域内单调递增.,其值不恒为正，故不满足；，故满足；，满足；由分段函数的图象，不满足.考点：1、函数单调性的定义；2、利用导数判断函数的单调性；3、分段函数.二、填空题（本大题共4小题，每小题 5分，共20分。请把正确答案填在答题卡中横线上）13.已知平面向量与的夹角为，则 .2 14若展开式中的系数为，则_15.曲线与直线及轴所围成的图形的面积是_16.在“家电下乡”活动中，某厂要将至少100台洗衣机运往邻近的乡镇现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 元16. 设甲型货车需要辆，乙型货车需要辆，由题意得不等式组 作出可行域 ，可知，当直线过点时，三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（本题满分10分）如图，梯形ABCD中，.()若求AC的长；()若，求的面积.解：（）因为，所以为钝角，且，2分因为，所以.在中，由，解得. 5分（）因为，所以，故，. 6分在中，整理得，解得， 8分所以. 10分18（本题满分12分）设，数列的前项和为，已知，成等比数列.（）求数列的通项公式；（）若数列满足，求数列的前项和.解：（）由得： 1分 所以数列是以为首项，为公差的等差数列 3分由成等比数列.即 解得 4分 所以，5分（）由（）可得， 6分所以，即. 8分. 10分可得 ，所以. 12分19. (本小题满分12分)为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分） ，从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图规定：成绩不低于120分时为优秀成绩(1)从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；(2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为 ，求的分布列和数学期望E19解：(1)设事件A表示“从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，其中只 有一个优秀成绩” 3分（2）的所有可能取值为0，1，2，3 4分， 8分的分布列为0123 10分的数学期望为 12分20（本题满分12分）如图， 是平行四边形，已知，,平面平面.（）证明：（）若，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值.解析：（）是平行四边形，且，故，即 （ 1分）取BC的中点F，连结EF， （ 2分）又平面平面，平面 （ 3分）平面， （ 4分）平面，平面， （ 5分）平面， （ 6分）（）,由（）得 （ 7分）以B为坐标原点，所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图)，则 （ 8分）设平面的法向量为，则，即 得平面的一个法向量为 （ 10分）由（）知平面，所以可设平面的法向量为 （ 11分）设平面与平面所成二面角的平面角为，则 即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为.（ 12分）21、已知椭圆的两焦点为，离心率.（1）求此椭圆的方程；（2）设直线，若与此椭圆相交于，两点，且等于椭圆的短轴长，求的值； （3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.21.解：（1）设椭圆方程为，则，所求椭圆方程为. -4分（2）由，消去y，得，则得 （*）设，则，解得.，满足（*） -8分（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为（不妨设k<0），则BC边所在直线的方程为，由，得A用代替上式中的k，得，由，得k<0，解得：或，故存在三个内接等腰直角三角形.-1分22（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）（）求的解析式及单调减区间； （）若函数无零点，求的取值范围22 解：() ，1分又由题意有：，故. 3分此时，由或，所以函数的单调减区间为和. 5分（说明：减区间写为的扣2分. ） () ，且定义域为，要函数无零点，即要在内无解，亦即要 在内无解. 6分构造函数. 当时，在内恒成立，所以函数在内单调递减，在内也单调递减. 又，所以在内无零点，在内也无零点，故满足条件； 8分当时， 若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增. 又，所以在内无零点；易知，而，故在内有一个零点，所以不满足条件；若，则函数在内单调递减，在内单调递增. 又，所以时，恒成立，故无零点，满足条件； 10分若，则函数在内单调递减，在内单调递增，在内也单调递增. 又，所以在及内均无零点. 又易知，而，又易证当 时，所以函数在内有一零点，故不满足条件. 11分综上可得：的取值范围为：或. 12分（说明：在()的解答中，若分离变量，再讨论函数的单调性获得给分）深圳高级中学（集团）2016-2017学年第二学期期中测试 高二数学（理）答案一、选择题123456789101112BCDCADADABBB1 B 2. C【解析】3D【解析】两式相减得，从而求得.4C【解析】（1）甲在前，乙在后：若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，共种方法.（2）同理，乙在前，甲在后，也有种方法.故一共有种方法.5A【解析】该几何体是棱长为2的正方体截去一个三棱锥后所得的多面体，其体积为6.D7A【解析】由程序框图可知： 周期为3，由，得输出的结果为8D【解析】依题意，令，则三个数为4,4,4; 令，则三个数为5,5,5，排除选项.故选.9. A. 10.B 【解析】共有种方案11B【解析】据题意知椭圆通径长为a，故有aa24b2，故相应双曲线的离心率e.12B【解析】试题分析：由已知得，即，故在定义域内单调递增.,其值不恒为正，故不满足；，故满足；，满足；由分段函数的图象，不满足.二、填空题13. 2 14 15. 16. 220016. 设甲型货车需要辆，乙型货车需要辆，由题意得不等式组 作出可行域 ，可知，当直线过点时，三、解答题17解：（）因为，所以为钝角，且，2分因为，所以.在中，由，解得. 5分（）因为，所以，故，. 6分在中，整理得，解得， 8分所以. 10分18解：（）由得： 1分 所以数列是以为首项，为公差的等差数列 3分由成等比数列.即 解得 4分 所以，5分（）由（）可得， 6分所以，即. 8分. 10分可得 ，所以. 12分19.解：(1)设事件A表示“从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，其中只 有一个优秀成绩” 3分（2）的所有可能取值为0，1，2，3 4分， 8分的分布列为0123 10分的数学期望为 12分20解析：（）是平行四边形，且，故，即 取BC的中点F，连结EF， 又平面平面，平面 平面， 平面，平面， 平面， -6分（）,由（）得 以B为坐标原点，所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图)，则 设平面的法向量为，则，即 得平面的一个法向量为 由（）知平面，所以可设平面的法向量为 设平面与平面所成二面角的平面角为，则 即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为. -12分21、.解：（1）设椭圆方程为，则，所求椭圆方程为. -4分（2）由，消去y，得，则得 （*）设，则，解得.，满足（*） -8分（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为（不妨设k<0），则BC边所在直线的方程为，由，得A用代替上式中的k，得，由，得k<0，解得：或，故存在三个内接等腰直角三角形.-1分22 解：() ，1分又由题意有：，故. 3分此时，由或，所以函数的单调减区间为和. 5分（说明：减区间写为的扣2分. ） () ，且定义域为，要函数无零点，即要在内无解，亦即要 在内无解. 6分构造函数. 当时，在内恒成立，所以函数在内单调递减，在内也单调递减. 又，所以在内无零点，在内也无零点，故满足条件； 8分当时， 若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增. 又，所以在内无零点；易知，而，故在内有一个零点，所以不满足条件；若，则函数在内单调递减，在内单调递增. 又，所以时，恒成立，故无零点，满足条件； 10分若，则函数在内单调递减，在内单调递增，在内也单调递增. 又，所以在及内均无零点. 又易知，而，又易证当 时，所以函数在内有一零点，故不满足条件. 11分综上可得：的取值范围为：或. 12分（说明：在()的解答中，若分离变量，再讨论函数的单调性获得给3分）17
