高中数学常用公式大全(1).docx

高中数学常用公式及常用结论大全一 集合， 第 1 周1. 元素与集合的关系x ÎA Ûx ÏCU A , x ÎCU A Ûx ÏA .2.德摩根公式CU ( A IB) =CU A UCU B;CU ( A UB) =CU A ICU B .3.包含关系AIB=AÛAUB=BÛA ÍB ÛCU B ÍCU AÛA ICU B =FÛCU A UB =R2集合a , a ,L, a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n 1 个；12n非空子集有2n 1 个；非空的真子集有2n 2 个.二 二次函数，第 1 周3.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式 f (x) =ax2 +bx +c(a ¹ 0) ;(2)顶点式 f (x) =a(x -h)2 +k (a ¹ 0) ;(3)零点式 f (x) =a(x -x1)(x -x2 )(a ¹ 0) .4.充要条件1充分条件：假设pÞq，那么p是q充分条件.2必要条件：假设qÞp，那么p是q必要条件.3充要条件：假设p Þq ，且q Þp ，那么p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，那么乙是甲的必要条件；反之亦然.5.假设将函数 y =f (x) 的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数 y =f (x -a) +b 的图象；假设将曲线 f (x, y) = 0 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线 f (x -a, y -b) = 0的图象.三指数函数第 2 周6.分数指数幂m(1) an=1a>0,m,nÎN n am*，且n > 1.-1m=(2) anmana>0,m,nÎN* ，且n > 1.7根式的性质1(na)n=a；2当n为奇数时， nan=a；当n 为偶数时，=| a |=ìa, a ³ 0 .n aní-a, a < 0î8有理指数幂的运算性质(1)ar×as=ar+s(a>0,r,sÎQ).(2) (ar )s =ars (a > 0, r, s ÎQ) .(3) (ab)r =arbr (a > 0, b > 0, r ÎQ) .a9.指数式与对数式的互化式log N =b Ûab =N四对数函数第 3 周10.对数的换底公式(a > 0, a ¹ 1, N > 0) .logN =logm N( a>0,且a ¹1, m>0,且m¹1,N > 0).malogaa推 论 log mbn =n logmab( a>0,且a>1, m, n>0,且m¹1, n¹1,N > 0).11对数的四那么运算法那么假设 a0，a1，M0，N0，那么(1) loga (MN ) =loga M +loga N;M(2) logaN=loga M - loga N ;aa(3) logMn=nlogM(nÎR).五等差，等比数列，第 3 周12.数列的同项公式与前 n 项的和的关系a =ìs1,n =1( 数列a 的前 n 项的和为s=a +a +L+a ).s-níînsn-1, n³2nn12n13.等差数列的通项公式a =a + (n -1)d =dn +a-d (n ÎN *) ；n11其前 n 项和公式为s=n(a1 +an ) =na +n(n -1) d=d n2 + (a -1 d )n .n21221214.等比数列的通项公式a =a qn-1 =a1 ×qn (n ÎN * ) ；n1qìa (1-qn)ìa -aqï1, q¹1ï1n, q ¹1其前n项的和公式为sn =í1-q或 sn =í1-q.ïna , q = 1ïîna1,q=1î1六三角函数同角，诱导公式，和角与差，倍角和半角公式公式第 4 周15.同角三角函数的根本关系式，诱导公式 tana=sinacosa sin2 a+ cos2 a= 11+tan2a=sec2a诱导公式角A函数A = p± a2A = p±aA = 3p±a2A = 2p-asin Acosam sina- cosa- sinacos Am sina- cosa± sinacosatan Am cota± tanam cota- tanacot Am tana± cotam tana- cota16.和角与差角公式sin(a±b)=sinacosb±cosasinb；cos(a±b)=cosacosbmsinasinb；tan(a±b) =tana± tan b。1m tanatan ba2 + b2asina+bcosa=sin(a+j) (辅助角j所在象限由点(a, b) 的象限决定 , tanj=b ).a17. 倍角和半角公式sin 2a= sinacosa；cos 2a= cos2a- sin 2a= 2 cos2a-1 = 1 - 2 sin 2a；tan 2a=2 tana.1- tan 2 a1 - cosa2sina=±21 + cosa2cosa=±218.三角函数的周期公式函数 y = sin(wx +j) ，xR 及函数 y = cos(wx +j) ，xR(A,j为常数，且 A0，0)的周期T =2p；w函数 y = tan(wx +j) ， x ¹kp+p, k ÎZ (A,j为常数，且 A0，0)的周2期T =p.w七正弦定理，余弦定理第 5 周19.正弦定理20.余弦定理asin A=bsinB=csinC= 2R .a2 =b2 +c2 - 2bc cos A ； b2 =c2 +a2 - 2ca cos B ； c2 =a2 +b2 - 2ab cosC .21.三角形面积定理1S =1 ah =1 bh =1 chh 、h 、h 分别表示 a、b、c 边上的高.2a2b2cabc2S =1 ab sin C =1 bc sin A =1 ca sin B .22222.三角形内角和定理在ABC 中，有 A +B +C =pÛC =p- (A +B )CpÛ=-A +BÛ 2C = 2p- 2( A +B) 。222八平面向量向量相关知识点第 6 周23.实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1) 结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.24.向量的数量积的运算律：(1)a·b=b·a交换律;(2)la·b= la·b=la·b=a·lb; (3)a+b·c=a·c+b·c.25向量平行的坐标表示设 a= (x1, y1 ) ,b= (x2 , y2 ) ，且 b ¹0，那么a b(b ¹0) Ûx1 y2 -x2 y1 = 0 .26. a与b的数量积(或内积)a·b=|a|b|cos27.平面向量的坐标运算(1)设 a= (x1, y1 ) ,b= (x2 , y2 ) ，那么a+b= (x1 +x2 , y1 +y2 ) .(2)设 a= (x1, y1 ) ,b= (x2 , y2 ) ，那么a-b= (x1 -x2 , y1 -y2 ) .(3)设 A (x1, y1 ) ，B (x2 , y2 ) ,那么AB =OB -OA = (x2 -x1, y2 -y1 ) .(4)设 a= (x, y),lÎR ，那么la= (lx,ly) .(5)设 a= (x1, y1 ) ,b= (x2 , y2 ) ，那么a·b= (x1x2 +y1 y2 ) .28.两向量的夹角公式cosq=x1x2 +y1 y2(a= (x , y ) ,b= (x , y ) ).1122x2 + y2 × x2 + y2112229.平面两点间的距离公式uuur uuurAB × ABuuurd =|AB|=(A (x , y ) ，B (x , y ) ).(x - x )2 + ( y - y )22121A,B112230.向量的平行与垂直设 a= (x1, y1 ) ,b= (x2 , y2 ) ，且 b ¹0，那么A|b Ûb=a Ûx1 y2 -x2 y1 = 0 .a b(a ¹0) Ûa·b=0 Ûx1 x2 +y1 y2 = 0 .九常用不等式相关知识点第 7 周31.常用不等式：（1） a, bÎRÞa2+b2³2ab(当且仅当 ab 时取“=号)ab（2） a, bÎR+Þa+b³(当且仅当 ab 时取“=号)23柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)³(ac+bd)2,a,b,c,dÎR.4a +b £a +b .32.最值定理x, y 都是正数，那么有p1假设积xy是定值p，那么当x=y时和x+y有最小值2；2假设和 x +y 是定值s ，那么当 x =y 时积 xy 有最大值 1 s 2 .4十直线，圆相关知识第 7 周33.斜率公式k =y2 -y1 P (x , y ) 、 P (x , y ) .x -x1112222134.直线的五种方程1点斜式y-y1=k(x-x1)(直线l 过点 P1 (x1 , y1 ) ，且斜率为k )2斜截式 y =kx +b (b 为直线l 在 y 轴上的截距).3两点式y -y1 =x -x1( y ¹y )( P (x , y ) 、 P (x , y )( x ¹x).y -yx -x1211122212(4)截距式2121x +y = 1( a、b 分别为直线的横、纵截距， a、b ¹ 0 )ab5一般式 Ax +By +C = 0 (其中 A、B 不同时为 0).35.两条直线的平行和垂直(1)假设l1 : y =k1 x +b1 ， l2 : y =k2 x +b2 l1 | l2 Ûk1 =k2 , b1 ¹b2 ; l1 l2 Ûk1k2 =-1.(2)假设l1 : A1 x +B1 y +C1 = 0 , l2 : A2 x +B 2 y +C2 = 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,12 l | l ÛA1 =B1 ¹C1 ；A2B2C2 l1 l2 ÛA1 A2 +B1B2 = 0；36.点到直线的距离A2 + B200d =| Ax0 +By0 +C | (点 P(x , y ) ,直线l ： Ax +By +C = 0 ).37. 圆的四种方程1圆的标准方程2圆的一般方程(x -a)2 + ( y -b)2 =r 2 .x2 +y2 +Dx +Ey +F = 0 ( D2 +E 2 - 4F 0).十一。圆锥曲线相关知识第 8 周î38.椭圆x2 +y2 =>>的参数方程是ìx=acosqa2b21(ab0)íy =b sinq.39椭圆的的内外部2222P(x , y )1(ab0) 0 011点在椭圆x +y =>>的 内 部 Ûx +y<.00a2b2a2b22点在椭圆x2 +y2 =>>的 外 部 Ûx2 +y2 >.P(x , y )1(ab0) 0 0100a2b2a2b240.直线与圆锥曲线相交的弦长公式(1+ k 2 )(x - x )221AB =| x -x | 1+ tan2 a=| y -y|1+co t 2 a弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，121243.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1假设双曲线方程为 x2-y 2 =Þ渐近线方程：x2 -y2 =Ûb.1a2b2a2b20y=±x a(2)假设双曲线与 x2a2- y2b2=有公共渐近线，可设为 x21a2- y2b2=ll> 0 ，焦点在 x 轴上， l< 0 ，焦点在 y 轴上.十二。空间向量向量相关知识点第 9 周44.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：ab=ba(2)加法结合律：(ab)c=a(bc)(3)数乘分配律：(ab)=ab45.共线向量定理对空间任意两个向量 a、b(b0 )，ab Û存在实数使 a=b47.空间向量根本定理如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 pxaybzc48.向量的直角坐标运算设a (a1, a2 , a3 ) ，b (b1, b2 , b3 ) 那么(1)ab (a1 +b1, a2 +b2 , a3 +b3 ) ； (2)ab (a1 -b1, a2 -b2 , a3 -b3 ) ；(3)a(la1,la2,la3)(R)；(4)a·b a1b1 +a2b2 +a3b3 ；49.设 A(x1, y1, z1) ，B(x2, y2, z2) ，那么AB=OB-OA=50空间的线线平行或垂直(x2 -x1, y2 -y1, z2 -z1 ) 。ìx1=lx2设a = (x , y , z ) ， b = (x , y , z) ，那么a Pb Ûa =lb(b ¹ 0) Ûïy=ly ；111222í12ïz =lza b Ûa ×b = 0Ûx1x2 +y1 y2 +z1z2 = 0 .î1251.空间两点间的距离公式(x - x )2 + ( y - y )2 + (z - z )2212121假设A(x,y,z)，B(x,y,z)，那么d=.111222A,B52. 十三。初等几何相关知识点第 10 周在以下公式中，字母R、r表示半径，h表示高，l表示斜高，s表示弧长。1圆；扇形圆周长= 2pr ；圆面积=pr 2扇形：圆弧长s =rq圆心角q以弧度计=prq圆心角q以度计180扇形面积=1 rs =1 r 2q222正圆锥；正棱锥正圆锥：体积=1pr2h3侧面积=prl全面积=pr(r +l)正棱锥：体积=1 ´底面积´高3侧面积=1 ´斜高´底周长23圆台：体积=ph(R2+r2+Rr)；侧面积=pl(R+r)34球：体积=4pr3；外表积=4pr23十四。排列，组合相关知识点第 11 周53.分类计数原理加法原理54.分步计数原理乘法原理55.排列数公式N =m1 +m2 +L+mn .N =m1 ´m2 ´L´mn .Am= n(n-1)L(n-m+1) =n！ .( n， mN*，且m£n)n(n -m)！注:规定0!= 1.56.组合数公式mAmn(n-1)L(n-m+1)n！*Cn =n=Amm1´2´L´m=( nN， mÎN，且m£n).m！×(n-m)！57.组合数的两个性质(1)Cm=Cn-m；(2)Cm+Cm-1=Cm。注:规定C0=1.nnnnn+1n58.二项式定理(a+b)n=C0an+C1an-1b+C2an-2b2+L+Cran-rbr+L+Cnbn；nnnnn二项展开式的通项公式Tr+1=Cran-rbr(r=0，1，2L，n).n十五。概率相关知识点第 12 周59.等可能性事件的概率P(A) =m .n60.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(AB)=P(A)P(B)n 个互斥事件分别发生的概率的和P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)61.独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).nn62.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率63.离散型随机变量的分布列的两个性质1Pi³0(i=1,2,L)；2P1+P2+L=1.P (k ) =C k Pk (1 -P)n -k .64.数学期望Ex=x1P1+x2P2+L+xnPn+L65.数学期望的性质E(ax+b)=aE(x)+b.66.方差Dx=(x-Ex)2×p+(x-Ex)2×p+L+(x-Ex)2×p+L67.方差的性质1122nnD (ax+b )=a 2Dx；68.标准差sx=Dx.69. 函数 y=函数 y =f(x) 在点 x0处的导数的几何意义f(x) 在点 x0处的导数是曲线 y=f (x) 在 P(x0 , f (x0 ) 处的切线的斜率f ¢(x0 ) ，相应的切线方程是 y -y0 =f ¢(x0 )(x -x0 ) .十六。导数相关知识点第 13 周70.几种常见函数的导数n(1) C¢=0C 为常数。(2)(x )' =nxn-1 (n ÎQ) 。(3) (sinx)¢=cosx。(4) (cosx)¢=-sinx。(5) (lnx)¢=1； (logax)¢=1loge。xxa(ex )¢=ex ;(a x )¢=a x ln a .71.导数的运算法那么1(u±v)'=u'±v'.2(uv)' =u'v+uv'.3(u)'=u'v -uv'(v ¹ 0) .vv272.判别 f (x0 ) 是极大小值的方法当函数 f (x) 在点 x0 处连续时，1如果在 x0 附近的左侧 f ¢(x) > 0，右侧 f ¢(x) < 0 ，那么f (x0 ) 是极大值；2如果在 x0 附近的左侧 f ¢(x) < 0 ，右侧 f ¢(x) > 0，那么f (x0 ) 是极小值.十七。定积分相关知识点第 13 周1定积分性质和运算bbb òak1f(x)+k2g(x)dx=k1òaf(x)dx+k2òag(x)dxcb其中k1 , k2 为任意常数。b òaf(x)dx=òaf(x)dx+òcf (x)dx2牛顿-莱布尼兹公式假设函数f(x)在区间a，b上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，即 F ¢(x) =f (x) ，那么b f (x)dx =F (x) |b =F (b) -F (a)òaa十八。复数相关知识点第 14 周73.复数的相等a+bi=c+diÛa =c,b=d.a,b,c,dÎRa2 + b274.复数z=a+bi的模或绝对值|z|=|a+bi|=.75.复数的四那么运算法那么(1)(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3) (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;(4) (a+bi)¸(c+di)=ac+bd+bc-adi(c+di¹0).76几个统计常量c2 +d 2c2 +d 21样本均值.;2样本方差.;