111正弦定理.ppt
在哈尔滨美丽的太阳岛上有一座横跨金水河上的桥在哈尔滨美丽的太阳岛上有一座横跨金水河上的桥太阳桥。太阳桥。她是亚洲第一座全钢结构独塔无背索斜拉桥。为了保证受力的合她是亚洲第一座全钢结构独塔无背索斜拉桥。为了保证受力的合理，设计人员将钢塔设计成与桥面所成的角为理，设计人员将钢塔设计成与桥面所成的角为60度，为了测量前度，为了测量前倾的塔臂的长度，倾的塔臂的长度， 测量人员在上坞休闲度假区堤防处测量人员在上坞休闲度假区堤防处(C点点)测得测得塔顶（塔顶（A点）的仰角为点）的仰角为82.8度，塔底（度，塔底（B点）距离点点）距离点C为为 114 米，这样能确定塔臂米，这样能确定塔臂AB的长吗？的长吗？ACB60B8 .82CBC=114m求求ABAB的长的长已知已知1.1.1 1.1.1 正弦定理正弦定理1.1 正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理第一章第一章 解三角形解三角形n解三角形：把三角形的三个角A，B，C和三条边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。（一）任意三角形中最基本的边角关系：（二） RtABC中，若C=900 则则最基本的边角关系：1）边的关系：两边之和大于第三边；）边的关系：两边之和大于第三边； 两边之差小于第三边。两边之差小于第三边。1）勾股定理：）勾股定理：a2+b2=c22）角的关系：）角的关系： A+B+C=1800一、知识回顾：CABbacAcasinBcbsin2）三角函数：3）边角关系：）边角关系： 大边对大角，小边对小角。大边对大角，小边对小角。AcasinBcbsincBbAasinsinCcBbAasinsinsin探究一：对于一般的三角形，是否有上述的边角关系？可借助三角形的高分为可借助三角形的高分为锐角三角形锐角三角形和和钝角三角形钝角三角形两种情况：两种情况：n1 在锐角三角形中，是否有上述的边角关系？ACBbacDAbCDsinBaCDsinBbAasinsinCcBbsinsinCcBbAasinsinsin证法一证法一：n2 在钝角三角形中，是否有上述的边角关系？ACBbacD证法二证法二：(外接圆法外接圆法)如图所示如图所示,作作ABCABC外接圆外接圆则则2sinsinaaCDRAD同理同理2sinbRB2sincRCRCcBbAa2sinsinsin（R R为为ABCABC外接圆半径）外接圆半径）ABCabcODA=DacABCObAacBCOb正弦定理n正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：2sinsinsinabcRABC=（R是三角形外接圆的半径）是三角形外接圆的半径）注：注： （1）正弦定理适合于任何三角形；）正弦定理适合于任何三角形；（2）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦值成）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦值成 正比，且比例系数为同一正数正比，且比例系数为同一正数2R(R是三角形的外心是三角形的外心)，使，使 ：ARasin2BRbsin2CRcsin2， （3） sinsinabABsincC等价于等价于 sinsinabABsinsincbCBsinaAsincC，探究二：探究二：利用正弦定理可以在已知哪些条件的利用正弦定理可以在已知哪些条件的情况下解三角形呢？情况下解三角形呢？(1)、已知两角和任一边、已知两角和任一边,求一角和其他两条求一角和其他两条边边.(2)、已知两边和其中一边的对角、已知两边和其中一边的对角,求另一求另一边的对角边的对角(进而求其他的角和边进而求其他的角和边)例例1.已知在已知在ABC中，中，c=10,A=45c=10,A=450 0,C=30,C=300 0, ,(1)(1)求求a,ba,b和和B B；(2)(2)求求ABC的面积。的面积。 解：解：（1） c=10 A=450,C=300 B= 1800 -(A+C)=1050 由由 = 得得 b= = = 20sin750=20 = 5 +5sinbBsincCsinsincBC0010sin105sin3062462例题讲解：2由由 = 得得 a= = =10sinaAsinsinaAC0010sin45sin30sincC练习：练习：在在ABC中，已知中，已知A60o，C45o，c20cm，解三角形并求三角形面积。解三角形并求三角形面积。AbcBacCabSABCsin21sin21sin21小结：32525)2(ABCS例例2、ABC中,c= ,A=450 a=2,求b和B、C 6解： = sinaAsincC sinC= =sinC= = sincAa06sin45232b= = = +1sinsincBC006sin75sin603C=600当C=600时，B=750 或C=1200当C=1200 时，B=150 ，b= = = -1 b= +1, B=750 ，C=600 或b= -1， B=150 ，C=1200sinsincBC006sin15sin60333注意注意：当求出某角的正弦值时，此角应有锐角：当求出某角的正弦值时，此角应有锐角 和钝角两种情况，要注意不要漏解。和钝角两种情况，要注意不要漏解。3例例3、在、在ABC中，中，b= ,B=600 ,c=1,求求a和和A，C 解：解： = sinbBsincC sinC= = = sincBb01 sin60312 A=900 a= =2 22bcbc,B=600 C b一解一解ab无解无解( (二二) )当当A A为直角为直角ACbaa b一解一解ACbaab无解无解(三三)当当A为锐角为锐角ab一解一解bsinAa a无解无解若已知若已知三角形的三角形的两条边及其中一边的对角（两条边及其中一边的对角（若已知若已知a、b、A的值的值），则可用正弦定理求解，且解的情，则可用正弦定理求解，且解的情况如下况如下例例4、 根据下列条件确定根据下列条件确定ABC有两个解的是（有两个解的是（ ）A.a=18 B=300 A=1200B.a=60 c=48 C=1200C.a=3 b=6 A=300D.a=14 b=15 A=450D判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数的基本步骤的基本步骤(适合填空或选择题适合填空或选择题)：（1）判断已知角）判断已知角A的类型；（钝、直、锐）的类型；（钝、直、锐）（2）判断已知两边）判断已知两边a、b的大小关系；的大小关系；（3）判断）判断a与与bsinA的大小关系（已知角为锐角时）的大小关系（已知角为锐角时）3 填空填空(1)在在ABC中中,A=45， ,这样的三角形有这样的三角形有_1 在在ABC中，已知中，已知a=20cm，b= cm，A=600，解三角形。解三角形。3320练习：练习：2 ABC中，若中，若AB则下列结论错误的是则下列结论错误的是( )A ab B sinACOSB D sinAsinBD(2)在在ABC中中,A=45， ,这样的三角形有这样的三角形有_(3)在在ABC中中,A=45， ,这样的三角形有这样的三角形有_(4)在在ABC中中,A=35， ,这样的三角形有这样的三角形有_(5)在在ABC中中,A=135， ,这样的三角形有这样的三角形有_24b3,a4b,22a4b2,a4b6,a4b3,a2个个1个个0个个1个个0个个AbcBacCabSABCsin21sin21sin21)4(小结：小结：2sinsinsinabcRABC=（1）正弦定理:（2）利用正弦定理可以用于两类解三角形的问题。一是已知任意两角与一边；二是已知二边与其中一边的对角；（3）利用正弦定理求角时要注意大边对大角，避免漏角。是否还有其它证明正弦定理的方法？是否还有其它证明正弦定理的方法？
