知识讲解-复数(基础).doc
高考总温习：单数编稿：孙永钊审稿：张林娟【考年夜纲求】1.了解单数的根本观点，了解单数相称的充要前提；2.了解单数的代数表现方式及其多少何意思；能将代数方式的单数在复破体上用点或向量表现，并能将复破体上的点或向量所对的单数用代数方式表现。3.会进展单数代数方式的四那么运算，了解两个详细相加、相减的多少何意思.【常识收集】【考点梳理】考点一、单数的有关观点1.虚数单元:1它的平方即是，即；2与1的关联:确实是1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；3实数能够与它进展四那么运算，进展四那么运算时，原有加、乘运算律依然成破；4的周期性：，.2.观点形如的数叫单数，叫单数的实部，叫单数的虚部。阐明：这里轻易无视但倒是列方程求单数的主要根据。3.单数集全部单数所成的聚集叫做单数集，用字母表现；单数集与别的数集之间的关联：4.单数与实数、虚数、纯虚、0的关联：对于单数，当且仅事先，单数是实数；当且仅事先，单数叫做虚数；当且仅当且时，单数叫做纯虚数；当且仅事先，单数确实是实数0.因此单数的分类如下:5.单数相称的充要前提两个单数相称的界说：假如两个单数的实部跟虚局部不相称，那么咱们就说这两个单数相称。即：假如，那么.特不地:.该当了解:1一个单数一旦实部、虚部断定，那么那个单数就独一断定；反之一样.2单数相称的充要前提是将单数转化为实数处理咨询题的根底.普通地，两个单数只能说相称或不相称，而不克不及比拟巨细。假如两个单数基本上实数，就能够比拟巨细；也只要当两个单数满是实数时才干比拟巨细。6.共轭单数：两个单数的实部相称，并且虚部相反，那么这两个单数叫做共轭单数。即：单数跟互为共轭单数。考点二：单数的代数表现法及其四那么运算1.单数的代数方式:单数平日用字母表现，即，把单数表现成的方式，叫做单数的代数方式。2.四那么运算；单数除法平日高低同乘分母的共轭单数：。考点三：单数的多少何意思1.复破体、实轴、虚轴：点的横坐标是，纵坐标是，单数可用点表现，那个树破了直角坐标系来表现单数的破体叫做复破体，也叫高斯破体，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表现实数。对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为，它所断定的单数是表现是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表现纯虚数。单数集C跟复破体内一切的点所成的聚集是逐个对应关联，即单数复破体内的点这是由于，每一个单数有复破体内独一的一个点跟它对应；反过去，复破体内的每一个点，有独一的一个单数跟它对应，这确实是单数的一种多少何意思，也确实是单数的另一种表现办法，即多少何表现办法。2.单数的多少何表现1坐标表现:在复破体内以点表现单数；2向量表现:以原点为终点，点为终点的向量表现单数.向量的长度叫做单数的模，记作.即.要点解释:1向量与点以及单数有逐个对应；2两个单数不满是实数时不克不及比拟巨细，但它们的模能够比拟巨细。3.单数加法的多少何意思：假如单数、分不对应于向量、，那么以、为双方作平行四边形，对角线表现的向量确实是的跟所对应的向量。4.单数减法的多少何意思：两个单数的差与衔接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。要点解释:1.单数的加、减、乘、除运算普通用代数方式进展；2.求解盘算时，要充沛应用i的性子盘算咨询题；3.在单数的求解进程中，要留意单数全部思维的掌握跟应用；4.单数咨询题实数化是处理单数咨询题的最根本也是最主要的思维办法，其根据是单数的有关观点跟两个单数相称的充要前提。【典范例题】范例一：单数的有关观点【例1】设单数，试务实数取何值时，单数分不满意：(1)是纯虚数；(2)对应的点位于复破体的第二象限。【思绪点拨】应用单数的有关观点易求得。【谜底】(1)破即时，单数是纯虚数；(2)破即或时，单数对应的点位于复破体的第二象限.【总结升华】温习中，观点必定要联合意思落实到位，对单数的分类前提要留意其充要性，对单数相称、共轭单数的观点的应用也是如此；对一些观点的等价表白式要熟知。比方：()；是纯虚数；触类旁通：【变式1高清视频例题1】单数为纯虚数，那么实数a为()A2B2CD.【谜底】A【剖析】，由纯虚数的观点知：0，a2.【变式2】求当实数取何值时，单数分不是：1实数；2虚数；3纯虚数。【剖析】1破即或时，单数为实数；2破即且时，单数为虚数；3破即时，单数为纯虚数.【变式2】曾经明白单数满意且,那么单数A.必为纯虚数B.是虚数但不必定是纯虚数C.必为实数D.能够是实数也能够是虚数【谜底】法1设，有,.那么，故应选C。法2,.法3，.范例二：单数相称【例2】曾经明白聚集M=a+3+b2-1i,8,聚集N=3，a2-1+(b+2)同时满意MNM，MN，求整数a,b【思绪点拨】先推断两聚集元素的关联，再列方程组，进而解方程组，最初测验后果能否契合前提。【解答】或或由得a=-3,b=±2,经测验，a=-3,b=-2分歧题意，舍去。a=-3，b=2由得a=±3,b=-2.又a=-3,b=-2分歧题意，a=3,b=-2;由得,此方程组无整数解。综合得a=-3，b=2或a=3,b=-2。【总结升华】1、a+bi=c+di.2、应用单数相称可完成单数咨询题实数咨询题的转化。解题时要把等号双方的单数化为规范的代数方式。注：对于单数z，假如不给出代数方式，可设z=a+bi(a,bR)。触类旁通：【变式】曾经明白单数z1满意(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单元)，单数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.【剖析】设z2=a+2i(aR)，由曾经明白单数z1满意(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i，又曾经明白z1·z2=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数，那么虚部4-a=0，即a=4，那么单数z2=4+2i.范例三：单数的代数方式的四那么运算【例3】盘算：【思绪点拨】单数除法平日高低同乘分母的共轭单数。【剖析】【总结升华】单数除法要害是把分母实数化，平日高低同乘分母的共轭单数，应用进展运算。触类旁通：【变式1】【谜底】：原式=【变式2】单数().B.C.D.【剖析】选C解法一：解法二：验证法验证每个选项与1-2i的积，恰好即是5i的就是谜底.【例4】曾经明白z1，z2为单数，(3i)z1为实数，且|z2|求z2.【思绪点拨】可不设代数方式应用全部代换的思维求解.z1z2(2i)，(3i)z1z2(2i)(3i)z2(55i)R，|z2|z2(55i)|50，z2(55i)±50，【总结升华】1、(1)单数的加法、减法、乘法运算能够类比多项式运算，除法要害是分子分母同乘以分母的共轭单数，留意要把i的幂写成最简方式.(2)记着以下论断，可进步运算速率：(1±i)2=±2i；i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(nN).2、单数的四那么运算相似于多项式的四那么运算，如今含有虚数单元i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分不兼并即可，但要留意把i的幂写成最复杂的方式，在运算进程中，要熟透i的特色及纯熟应用运算技能。触类旁通：【变式1】设，为虚数单元，那么的值为【剖析】由于，因此【谜底】8【变式2】设i为虚数单元，那么单数A.B.C.D.【剖析】选D.范例三：单数的多少何意思例5.(春江苏校级此中)曾经明白单数，在复破体内对应的点分不为.(1) 假定是纯虚数，求m值；(2) 假定在复破体内对应的点位于第四象限，求m的取值范畴.【思绪点拨】在复破体内以点表现单数，所对应的点在第四象限等价于的实部年夜于零而虚部小于零。【剖析】(1)单数是纯虚数，解得m=0.(2)单数在复破体内对应的点位于第四象限解之得【总结升华】每一个单数有复破体内独一的一个点跟它对应；反过去，复破体内的每一个点，有独一的一个单数跟它对应。触类旁通：【变式1】(春徐州期末)曾经明白是虚数单元，单数满意(1)求；(2)假定单数在复破体内对应的点在第一象限，务实数x的取值范畴.【剖析】(1)由得(2)对应的点在第一象限解得实数的取值范畴是.【变式2高清视频单数例题2】在复破体内，单数65i，23i对应的点分不为A，B，假定C为线段AB的中点，那么点C对应的单数是()A48iB82iC24iD4i【谜底】C【剖析】单数65i对应的点为A(6,5)，单数23i对应的点为B(2,3)应用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C对应的单数为24i.范例四：化单数咨询题为实数咨询题【例6】曾经明白互为共轭单数，且,求.【思绪点拨】设代入前提，把单数咨询题转化为实数咨询题，易得、的两个方程。【剖析】设，那么,代入原等式得：，解得：或或或，或或或。【总结升华】单数界说：“形如的数叫单数就象征但凡单数都能写成如此，求一个单数，应用一个单数都可经过这一方式将咨询题化虚为实；设出单数的代数方式，把单数咨询题转化为实数咨询题来研讨是处理单数咨询题的常用办法。触类旁通：【变式1】曾经明白单数，务实数使【谜底】：,，解得或【变式2】令,求使方程成破的单数.【谜底】：令()，那么原方程化为:即，解之有或(舍去事先，单数.【例8】求使对于的方程至多有一个实根的实数.【思绪点拨】根的判不式只实用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两单数相称，化虚为实。【剖析】设为方程的一个实根，那么有即，解得.【总结升华】设出实根，化虚为实，再应用两单数相称。触类旁通：【变式】曾经明白方程有实根，务实数.【谜底】：设实根为,那么,即，解得为所求.【变式2】曾经明白，方程的两根为、，求.【谜底】：，方程的实系数一元二次方程能够用来断定方程有无实根。(1)当，即时，方程的根、为实数根，由韦达定理又事先，,事先，.(2)当,即时，方程的根、为虚根。
