研数三真题解析(8).doc

1998年天下硕士研讨生退学一致测验数学三试题剖析一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把谜底填在题中横线上.)(1)【谜底】【剖析】曲线在点处的切线歪率,依照点歪式,切线方程为：令,代入,那么,即在轴上的截距为,.(2)【谜底】【剖析】由分部积分公式,.【相干常识点】分部积分公式：假设与均存在延续的导函数,那么或许(3)【谜底】【剖析】起首把差分方程改写成规范方式,其齐次方程对应的特点方程及特点根分不为故齐次方程的通解为为常数.将方程左边的改写成,此处“1不是特点根,故令非齐次方程的一个特解为从而代入原方程,得故.因而通解为(4)【谜底】【剖析】由题设,因为,因而可逆.上式双方左乘,右乘,得(应用公式：)(移项)(矩阵乘法的运算法那么)将代入上式,收拾得.由矩阵可逆的界说,知均可逆,且.(5)【谜底】【剖析】因为互相独破,均听从,因而由数学希冀跟方差的性子,得,因而,同理.又因为与互相独破,且；,由散布的界说,事先,.即事先,听从散布,其自在度为.严厉地说,事先,；事先,也是准确的.【相干常识点】1、对于随机变量与均听从正态散布,那么与的线性组合亦听从正态散布.假设与互相独破,由数学希冀跟方差的性子,有,此中为常数.2、定理：假设,那么.3、散布的界说：假设互相独破,且都听从规范正态散布,那么.二、抉择题(此题共5小题,每题3分,共15分.每题给出的四个选项中,只要一项契合标题请求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【谜底】(D)【剖析】依照导数界说：因而因为周期为4,的周期亦是4,即,因而.因而曲线在点处的切线的歪率为.选(D).(2)【谜底】(B)【剖析】探讨由极限表现的函数的性子,应分两步走.先求出该的(分段)表白式,而后再探讨的性子.不克不及隔着极限号去探讨.【剖析】现求的(分段)表白式：事先,；事先,；事先,；事先,.由此,即再探讨函数的性子：在处,因而,函数在处延续,不是延续点.在处,；因而,函数在处不延续,是第一类延续点.应选(B).(3)【谜底】(C)【剖析】办法1:由知,又,因而,故,即,得应选(C).办法2:由知,又,因而,故.显然,时,有故应选(C).作为抉择题,只要在与中抉择一个,因而能够用特别值代入法.评注：对于前提该当有两个思绪：一是的列向量是齐次方程组的解；二是秩的信息,即,要有这两种考虑咨询题的认识.(4)【谜底】(B)【剖析】此中变更：将1行乘以(-1)再分不加到其他各行；变更：将其他各列分不加到第1列.由门路形矩阵知,当,即时,有,故应选(B).(5)【谜底】(A)【剖析】依照散布函数的性子,即.在所给的四个选项中只要(A)满意,故应选(A).【相干常识点】散布函数的性子：(1)枯燥不减；(2)(3)是右延续的.三、(此题总分值5分)【剖析】由全微分与偏微分的关联可知,此中的系数确实是,即.再对求偏导数,得四、(此题总分值5分)yxO【剖析】表现圆心为,半径为的圆及其外部,画出地区,如右图.办法1:因而,令,那么,因而上式.办法2:引入极坐标系,因而,此中倒数第二步用了华里士公式：,此中为年夜于1的正奇数.五、(此题总分值6分)【剖析】依照延续复利公式,在年利率为的状况下,现时的(元)在时的总支出为,反之,时总支出为的现值为,将代入即失掉总支出的现值与窖藏时刻之间的关联式,从而可用微分法求其最年夜值.【剖析】由延续复利公式知,这批酒在窖藏岁终售出总支出的现值为,而由题设,岁终的总支出,据此可列出：,令,得唯一驻点.依照极值的第二充沛前提,知：是的极年夜值点,又因驻点唯一,因而也是最年夜值点.故窖藏年出卖,总支出的现值最年夜.事先,(年).【相干常识点】极值的第二充沛前提：设函数在处存在二阶导数且,事先,函数在处获得极年夜值；事先,函数在处获得极小值.六、(此题总分值6分)【剖析】此题要证的论断中呈现两此中值点跟,这种咨询题普通应将含有跟的项分不移到等式双方后再用微分中值定理,为此此题只要证.【剖析】办法1:函数在上延续,在内可导,满意拉格朗日中值定理的前提,对函数在上用拉格朗日中值定理,有又函数与满意柯西中值定理的前提,将函数与在上用柯西中值定理,有,即.从而有,即.办法2：题中没无限度,因而取,即成为要去证存在使在上对函数用拉格朗日中值定理,存在使再取,那么,原题得证.【相干常识点】1.拉格朗日中值定理：假如函数满意在闭区间上延续,在开区间内可导,那么在内至多有一点,使等式成破.2.柯西中值定理：假如函数及满意(1)在闭区间上延续；(2)在开区间内可导；(3)对任一,那么在内至多有一点,使等式成破.七、(此题总分值6分)【剖析】(1)由与得因图形对于轴对称,因而,所求图形的面积为(2)由(1)的后果知,依照级数跟的界说,八、(此题总分值7分)【剖析】此题是微分方程的多少何使用咨询题.在标题中给出了由曲线等围成的破体图形绕轴扭转一周所形成的扭转体体积与包括函数的一个恒等式,这恰是列方程的依照.【剖析】由绕轴扭转的扭转体体积公式得,因而,依题意得,即.双方对求导,化成微分方程,此中为未知函数.按平日以表现自变量,表现未知函数,因而上述方程可写为即这是一阶齐次微分方程.令,有,那么上式化为即(*)假设,那么不满意初始前提,舍弃；假设,那么也不满意初始前提,舍弃；因而,且.由(*)式不离变量得双方积分得.从而方程(*)的通解为为恣意常数.再代入初值,由,得,从而所求的解为【相干常识点】1.对积分下限的函数的求导公式：假设,均一阶可导,那么.九、(此题总分值9分)【剖析】(1)平等式双方取转置,有,即.应用及矩阵乘法的运算法那么,有,等于阶零矩阵.(2)设是的任一特点值,是属于特点值的特点向量,即.对上式双方左乘得,由(1)的后果,得,因,故(重根),即矩阵的全体特点值为零.上面求的特点向量：先将写成矩阵方式.无妨设,那么有因而得方程组同解方程组,如此根底解系所含向量个数为.选为自在未知量,将它们的组值代入,可解得根底解系为那么的属于的全体特点向量为,此中为不全为零的恣意常数.十、(此题总分值7分)【剖析】由因而实对称矩阵,必可类似对角化,而对角矩阵即的特点值,只要求出的特点值即知,又因正定的充沛须要前提是特点值全年夜于零,的取值亦可求出.【剖析】办法1：由,可得的特点值是那么,的特点值是,而的特点值是又由题设知是实对称矩阵,那么故,即也是实对称矩阵,故必可类似对角化,且.事先,的全体特点值年夜于零,这时为正定矩阵.办法2：由,可得的特点值是因为是实对称矩阵,故存在可逆矩阵使,即.那么即.故.事先,的全体特点值年夜于零,这时为正定矩阵.【相干常识点】1.特点值的性子：假设有特点值,那么的特点多项式有特点值.2.矩阵正定的充要前提是特点值全年夜于零.O1020xy1020十一、(此题总分值10分)【剖析】设表现市肆每周所得的利润,事先,卖得利润为(元)；事先,调解了,统共失掉利润(元).因而,由题设与都听从区间上的平均散布,结合概率密度为由二维延续型随机变量的数学希冀界说得十二、(此题总分值9分)【剖析】记事情“第次抽到的报名表是女生表,“报名表是第个地域的.易见,形成一个齐备事情组,且(1)使用全概率公式,知.(2).需先盘算概率与.对事情再次用全概率公式：,由“抽签道理可知,.【相干常识点】1.全概率公式：假如事情形成一个齐备事情组,即它们是两两互不相容,其跟为(总体的样本空间)；同时,那么对任一事情有.