知识讲解-《导数及其应用》全章复习与巩固(提高)(理)--.doc

导数及其使用全章温习与稳固编稿：李霞审稿：张林娟【进修目的】1.会应用导数处置曲线的切线的咨询题.2.会应用导数处置函数的枯燥性等有关咨询题.3.会应用导数处置函数的极值、最值等有关咨询题.4.能经过应用导数这一东西处置生涯中的一些优化咨询题：比方利润最年夜、用料最省、效力最初等咨询题【常识收集】【要点梳理】要点一：有关心线咨询题直线与曲线相切，咱们要捉住三点：切点在切线上；切点在曲线上；切线歪率即是曲线在切点处的导数值.要点解释：经过以上三点能够看出，捉住切点是处置此类题的要害，有切点直截了当求，无切点那么设切点，布列方程组.要点二：有关函数枯燥性的咨询题设函数在区间a，b内可导，1假如恒有，那么函数在a，b内为增函数；2假如恒有，那么函数在a，b内为减函数；3假如恒有，那么函数在a，b内为常数函数.要点解释：1假定函数在区间a，b内枯燥递增，那么，假定函数在a，b内枯燥递加，那么.2或恒成破，求参数值的范畴的办法：不离参数法：或.假定不克不及断绝参数，确实是求含参函数的最小值，使.或是求含参函数的最年夜值，使要点三：函数极值、最值的咨询题函数极值的咨询题1断定函数的界说域；2求导数；3求方程的根；4反省在方程根阁下的值的标记，假如左正右负，那么f(x)在那个根处获得极年夜值；假如左负右正，那么f(x)在那个根处获得极小值.(最好经过列表法)要点解释：先求出界说域普通都要列表：而后看在每个根左近导数标记的变更：假定由正变负，那么该点为极年夜值点；假定由负变正，那么该点为极小值点.留意：无界说的点不必在表中列出依照表格给出论断：留意必定指出在哪获得极值.函数最值的咨询题假定函数在闭区间有界说，在开区间内有导数，那么求函数在上的最年夜值跟最小值的步调如下：1求函数在内的导数；2求方程在内的根；3求在内所有使的的点的函数值跟在闭区间端点处的函数值，；4比拟下面所求的值，此中最年夜者为函数在闭区间上的最年夜值，最小者为函数在闭区间上的最小值.要点解释：求函数的最值时，不需求对导数为0的点探讨其是极年夜依然极小值，只要将导数为0的点跟端点的函数值进展比拟即可.假定在开区间内可导，且有独一的极年夜小值，那么这一极年夜小值即为最年夜小值.要点四：优化咨询题在实践生涯顶用料最省、利润最年夜、效力最初等咨询题，经常能够归纳为函数的最年夜值咨询题，从而可用导数来处置.咱们明白，导数是求函数最年夜小值的无力东西，导数在实践生涯中的使用要紧是处置有关函数最年夜值、最小值的实践咨询题.应用导数处置实践咨询题中的最值的普通步调：(1)剖析实践咨询题中各量之间的关联，寻出实践咨询题的数学模子，写出实践咨询题中变量之间的函数关联式；(2)求函数的导数，解方程；(3)比拟函数在区间端点跟极值点的函数值巨细，最年夜(小)者为最年夜(小)值要点解释：处置优化咨询题的办法：起首是需求剖析咨询题中各个变量之间的关联，树破恰当的函数关联，并断定函数的界说域，经过制造在闭区间内求函数取值的情境，即核心咨询题是树破恰当的函数关联.再经过研讨响应函数的性子，提出优化计划，使咨询题得以处置，在那个进程中，导数是一个无力的东西应用导数处置优化咨询题的根本思绪：树破数学模子处置数学模子作答用函数表现的数学咨询题优化咨询题用导数处置数学咨询题优化咨询题的谜底得出变量之间的关联后，必需由实践意思断定自变量的取值范畴；在实践咨询题中，偶然会碰到函数在区间内只要一个点使f(x)0的情况，假如函数在这点有极年夜(小)值，那么不与端点值比拟，也能够明白这确实是最年夜(小)值在务实践咨询题的最年夜(小)值时，必定要留意思索实践咨询题的意思，不契合实践意思的值应舍去要点五：定积分的不雅点假如函数在区间上延续，用分点将区间平分红个小区间，在每个小区间上取点，作跟式：事先，上述跟式有限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记作：，即要点解释：1定积分是一个常数，即有限趋近的常数时，记为，而不是(2)定积分是一个数值极限值，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、上限，而与积分变量用什么字母表现有关，即称为积分方式的稳定性，别的定积分与积分区间，毫不相干，差别的积分区间，定积分的积分上上限差别，所得的值也就差别，比方与的值就差别要点六：定积分的几多何意思从几多何上看，假如在区间上函数延续且恒有，那么定积分表现由直线跟曲线所围成的曲边梯形(如图a中的暗影局部)的面积.要点解释：1事先，由、=、=与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方，积分在几多何上表现上述曲边梯形面积的相反数正数因而，即，如图b2当在区间，上有正有负时，积分在几多何上表现几多个小曲边梯形面积的代数跟轴上方面积取正号，轴下方面积取负号在如图c所示的图象中，定积分要点七：定积分的运算性子性子1：；性子2：；性子3：定积分对于积分区间存在可加性。如右图：此中性子4设在，上延续：当是奇函数，；当是偶函数，要点八：求定积分的根本办法界说法极限不雅念普通步调：联系，近似替代，求跟，取极限公式法微积分根本定理微积分根本定理牛顿-莱布尼茨公式：假如，且在，上可积，那么应用定积分的几多何意思，转化为规那么图形如三角形、四边形、圆等的面积应用奇偶函数在对称区间上的性子要点三运算性子4。要点解释：对于这几多种盘算定积分的办法，要公道的应用：普通先看积分区间，假如是对称区间，就应用对称区间上积分的性子来化简办法，接着剖析被积函数的特色，假如是有理函数，就应用微积分根本定理盘算办法，假如是在理函数，那么应用定积分的几多何意思盘算办法而应用定积分的界说求积分的值时，除了几多个专门的状况需求求积分比拟艰苦，普通非常罕用要点九：定积分的使用破体图形的面积求破体图形的面积，要紧是应用定积分的几多何意思，借助图形直不雅，把破体图形进展恰当的联系，从而把求破体图形面积的咨询题转化为求曲边梯形面积的咨询题不联系型图形的面积由曲线围成的面积，要依照图形，断定积分上、上限，用定积分来表现面积，而后盘算定积分即可求由曲线围成图形面积的普通步调：(1)依照题意画出图形；(2)寻出范畴，断定积分上、上限联破与，解方程组得；(3)断定被积函数上曲线-下曲线：；(4)将面积用定积分表现；(5)用微积分根本定理盘算定积分，求出后果联系型图形面积的求解由两条或两条以上的曲线围成的较为庞杂的图形，在差别的区间位于上方跟下方的曲线差别时，这种图形的面积怎样求呢？要将所求的曲面面积联系成几多个不联系图形面积的方式求联系型图形面积的普通步调：1依照题意画出图形；2先求出曲线的差别的交点横坐标，将积分区间细化；3断定响应区间的被积函数上曲线-下曲线；4将各细分区间的不联系破体图形的面积分不必定积分表现，那么所求图形面积表现为假定干定积分跟的方式；5应用微积分根本定理盘算定积分得出后果庞杂扭转体的体积扭转体能够看作是由延续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴扭转一周而成的几多何体，如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等应用定积分也能够求出一些庞杂的扭转体的体积，体积公式为【典范例题】范例一：应用导数处置有关心线咨询题例1假定直线与曲线相切，试求的值【思绪点拨】当切点未知时，应先设出切点.【剖析】设与相切于那么，又，由得：，即，.【总结升华】当切点未知时，要先设切点，而后依照直线与曲线相切的三个关联列方程组，从而求得参数值.触类旁通：【变式】曾经明白曲线在处的切线恰恰与抛物线相切，求抛物线方程跟抛物线上的切点坐标【谜底】曲线上的切点为A(1,2).,切线方程为，即.设抛物线上的切点为,显然抛物线上的切点在抛物线的上半支，抛物线上半支的方程为,那么,得(1)又点在切线上，2由(1)(2)求得，.故抛物线方程为,切点为(2,8).范例二：应用导数处置有关函数枯燥性的咨询题【高清讲堂：导数的使用综合370878例题3】例2.曾经明白函数()=(0).()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；()求()的枯燥区间.【思绪点拨】()求出导数后，要紧依照的正负进展分类探讨.【剖析】I事先，因为，因而曲线在点处的切线方程为即II，.事先，.因而，在区间上，；在区间上，.故得枯燥递增区间是，枯燥递加区间是.事先，由，得，因而，在区间跟上，；在区间上，故得枯燥递增区间是跟，枯燥递加区间是.事先，故得枯燥递增区间是.事先，得，.因而在区间跟上，；在区间上，故得枯燥递增区间是跟，枯燥递加区间是【总结升华】1处置此类标题，要害是解不等式或，假定中含有参数，须分类探讨.2特不应留意，在求解进程中应先写出函数的界说域.触类旁通：【高清讲堂：导数的使用综合370878例题1】【变式1】函数的图象年夜抵是ABCD【谜底】C起首易推断函数为奇函数，扫除A，求导后解导数年夜于零可得周期性区间，从而扫除B、D,应选C.【变式2】(江西)曾经明白函数f(x)(x2bxb)(bR)(1)当b4时，求f(x)的极值；(2)假定f(x)在区间(0，)上枯燥递增，求b的取值范畴【谜底】(1)当b4时，f(x)(x24x+4)，那么由f(x)0，得x2或x0当x2时，f(x)0，f(x)在(，2)上为减函数当2x0时，f(x)0，f(x)在(2，0)上为增函数当0x时，f(x)0，f(x)在(0，)上为减函数当x2时，f(x)取极小值为0当x0时，f(x)取极年夜值为4；(2)由f(x)(x2bx+b)，得：由f(x)在区间(0，)上枯燥递增，得f(x)0对恣意x(0，)恒成破即5x23bx+2x0对恣意x(0，)恒成破对恣意x(0，)恒成破b的取值范畴是范例三：应用导数处置函数极值、最值的咨询题例3.设为天然对数的底，a为常数且，取极小值时，求x的值.【思绪点拨】求导后可采纳求根法求出极值点，再联合函数图象探讨增减性以断定极值.【剖析】令1，由表x，22f(x)+00+fx极年夜值极小值取极小值.2无极值.3时，由表x，2f(x)+00+fx极年夜值极小值，.【总结升华】1.导数式含参数时，怎样探讨参数范畴而断定到数值的正负是处置这类题的难点，普通采纳求根法跟图像法.2.列表能比拟清晰的看清极值点.3.写论断时极值点跟极年夜小值都要交接清晰.触类旁通：【高清讲堂：导数的使用综合370878例题2】【变式1】设函数那么A在区间内均有零点.B在区间内均无零点.C在区间内有零点，在区间内无零点.D在区间内无零点，在区间内有零点.【谜底】D由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，应抉择D.【变式2】(安徽文)曾经明白函数(1)求f(x)的界说域，并探讨f(x)的枯燥性；(2)假定，求f(x)在(0，+)内的极值。【谜底】()由题意可知x+r0即x-r，即可求出f(x)的界说域；f(x)的界说域为(-，-r)(-r，+)又又a0，r0令令()由()可知f(x)在(0，+)内的极年夜值为F(x)在(0，+)内无极小值；因而f(x)在(0，+)内极年夜值为100，无极小值.【变式3】设函数，此中证实：事先，函数不极值点；事先，函数有且只要一个极值点，并求出极值【谜底】因为，因而的界说域为事先，假如在上枯燥递增；假如在上枯燥递加因而当，函数不极值点事先，令，得将舍去，事先，随的变更状况如下表：0极小值从上表可看出，函数有且只要一个极小值点，极小值为事先，随的变更状况如下表：0极年夜值从上表可看出，函数有且只要一个极年夜值点，极年夜值为综上所述，事先，函数不极值点；事先，假定时，函数有且只要一个极小值点，极小值为假定时，函数有且只要一个极年夜值点，极年夜值为例4.求函数在上的最年夜值此中.【思绪点拨】为了简化运算，可思索换元：令.【剖析】令，那么求在0，1上的最年夜值事先，显然在0，1上为增函数，因而事先，令得：，易知时，为增函数时，为减函数.因而假定如今，那么在0，1上为增函数，如今.假定如今，那么在上为增函数，在上为减函数.因而由以上探讨知事先，；事先，.【总结升华】求含参函数在某区间上的最值咨询题，起首要经过对参数分类探讨，断定出函数的枯燥区间，其主要擅长对极值跟端点值进展比拟，如今每每需求接着分类探讨.触类旁通：【高清讲堂：导数的使用综合370878例题4】【变式】设a0，f(x)=x1ln2x2alnxx>0.令Fxxfx，探讨Fx在0.内的枯燥性并求极值；求证：当x>1时，恒有x>ln2x2alnx1.【谜底】依照求导法那么有，故，因而，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，因而，在处获得极小值由知，的极小值因而由上表知，对所有，恒有从而事先，恒有，故在内枯燥添加因而事先，即故事先，恒有范例四：应用导数处置优化咨询题例5.如以下图，某地有三家工场，分不位于矩形ABCD的两个极点A、B及CD的中点P处，AB20km，BC10km为了处置三家工场的污水，现要在该矩形地区上(含界限)，且与A、B等间隔的一点O处，建筑一个污水处置厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO记排污管道的总长度为ykm，设BAO(tad)，将y表现为的函数为怎样断定污水处置厂的地位，使铺设的排污管道的总长度最短?【剖析】因为，因而由得因为，故事先，；事先，因而函数在时获得极小值，那个极小值确实是函数在上的最小值事先，AOBO(km)因而，当污水处置厂建在矩形地区内且到A、B两点的间隔均为km时，铺设的排污管道的总长度最短【总结升华】此题的要害是在令得后必定要验证为极小值点触类旁通：【变式】某分公司经销某种品牌产物，每件产物的本钱为3元，同时每件产物需向总公司交a元3a5的治理费，估计当每件产物的售价为x元9x11时，一年的贩卖量为(12x)2万件1求分公司一年的利润L万元与每件产物的售价x元的函数关联式；2当每件产物的售价为几多元时，分公司一年的利润L最年夜，并求出L的最年夜值Qa【谜底】1分公司一年的利润L万元与售价x元的函数关联式为：L=(x3a)(12x)2，x9，112L=(12x)22(x30)(12x)=(12x)·(18+2a3x)令L=0得或x=12分歧题意，舍去3a5，在两侧L的值由正变负当，即时，Lmax=(930)(129)2=9(6a)当，即时，综上，假定，那么当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最年夜，最年夜值Qa=9(6a)万元；假定a5，那么当每件售价为元时，分分司一年的利润L最年夜，最年夜值Qa=4万元范例五：定积分的盘算例6.盘算以下各定积分：1；2；3；4.【思绪点拨】1中被积区间是对称区间，被积函数是奇函数，故应用性子4进展盘算较轻便；2、3用微积分根本定理盘算；4被积函数是在理函数，应用定积分的几多何意思盘算。【剖析】1办法一：应用性子直截了当盘算：函数是奇函数，.办法二：直截了当盘算.办法三：应用定积分的几多何意思：函数的图象如以下图：设函数y轴左侧局部图象与轴围成的图形面积为，轴右侧局部图象与轴围城的图形面积为.由正弦曲线的对称性可知，=.2，即，.34函数表现以0，0为圆心，以1为半径的半圆上的一段弧，那么表现这段弧所对应的圆心角为的扇形的面积.如图中暗影局部所示：.【总结升华】盘算定积分的办法有非常多，各个办法有差别的特色，平常进修中留意总结法则，以期抉择最合适、最轻易盘算的办法.除了咱们引见的四种办法之外，另有复原法、分部积分法等等盘算定积分的办法，可用于被积函数较庞杂的状况。因为超越了考纲范畴，因而在课本与教学中不作引见，有兴味的同窗能够经过课外进修.触类旁通：【变式1】盘算上去定积分：1；2；3；4；【谜底】9/21是奇函数，.2.3.4，函数是偶函数，因而，应用导数的几多何性子可知，表现圆在第一象限的扇形的面积，为，如以下图。因而.是奇函数，因而。因而.【变式2】盘算的值。【谜底】，.【变式2】盘算，此中【谜底】.范例六：应用定积分求破体图形的面积例7.盘算由曲线及直线所围成的破体图形的面积。【思绪点拨】画出图象，断定被积函数与积分上、上限，将面积转化为定积分的方式，应用微积分根本定理准确的盘算出后果.【剖析】第一步：依照题意画出图形：第二步：寻出范畴，断定积分上、上限：联破解得或因而曲线及直线的交点坐标是0，0跟1，1.那么取为积分变量，积分区间为0，1.第三步：断定被积函数：被积函数为：.第四步：将面积用定积分表现，并盘算：设所求破体图形的面积S，那么.【总结升华】应用定积分求不联系破体图形的面积，要依照图形，断定积分上、上限，断定被积函数，将面积准确的用定积分表现，而后盘算即可.触类旁通：【变式1】求由抛物线与直线所围成图形的面积【谜底】如图，联破解得或抛物线与直线的交点坐标是(3，5)跟(2，0)取为积分变量，积分区间为：0，1，被积函数为：.设所求图形的面积为S，那么【变式2】求椭圆所围图形的面积。【谜底】椭圆的年夜抵图形如以下图：因为椭圆是核心对称图形，因而椭圆所围图形的面积设为S是椭圆在第一象限内面积设为的4倍.在第一象限，椭圆方程可变形为：，因而.依照定积分的几多何意思求的值。表现圆的面积，如图：，.因而，椭圆所围图形的面积是.【变式3】求抛物线在0，1内的一条切线，使它与两坐标轴跟抛物线所围图形的面积最小.【谜底】设切点坐标为.那么该点处的切线方程为，那么该切线与轴、y轴的交点坐标分不为，.因而，面积，下面用导数来求其最小值。，令，得，事先，；事先，因而，是在0，1上的独一极小值点，也是最小值点，如今，切线方程为.例8.求由曲线，及直线，所围成图形的面积【思绪点拨】画出图象，在被积区间上被积函数是不分歧的，因而需求将积分区间细化.【剖析】第一步：依照题意画出图形：第二步：将积分区间细化：联破，解得.由图可知，破体图形暗影地区是被分红左、右两局部.第三步：断定被积函数：在区间，被积函数为；在区间，被积函数是.第四步：将面积表现为定积分的方式，并盘算：设所求破体图形的面积为S，左边图形面积为，左边图形面积为，那么因而，所求图形的面积为.【总结升华】用定积分求联系型破体图形的面积，普通步调是：先经过求曲线的差别的交点横坐标将积分区间细化，再分不求出响应区间不联系破体图形的面积再求跟，留意在每个区间上被积函数均是由上减下触类旁通：【变式1】盘算由曲线跟直线所围成的图形的面积.【谜底】依照题意绘图图形，联破解得因而曲线跟直线的交点坐标是.办法一：取为积分变量：所求破体图形设面积为被直线分红左、右两局部设面积分不为，那么此中，.因而，所求图形的面积.办法二：取y为积分变量：曲线可化为，直线可化为，那么被积函数为，积分区间为：，那么所求图形的面积为：.【变式2】曲线与坐标轴所围成的暗影局部图形的面积是_.【谜底】设暗影局部图形的面积为S，由图可知，S是由的左边局部设为跟左边局部设为形成的.那么：办法一：，此中，.那么，.办法二：由的对称性可知，.范例七：应用定积分求庞杂扭转体的体积例9.求抛物线与直线及轴所围成的图形绕轴扭转一周所得扭转体的体积【思绪点拨】断定被积函数与积分区间，依照公式盘算.【剖析】如图，因为，因而，因而，所求扭转体的体积.因而，所求扭转体的体积是.【总结升华】求庞杂扭转几多何体的体积要了解“累加思维，依照图形中曲线交点准确断定积分的上、上限，公道断定被积函数.要了解此中包含的定积分思维.触类旁通：【变式】盘算椭圆所围成的图形绕轴扭转而成的几多何体的体积【谜底】如图：由椭圆的对称性可知，那个扭转体可看作是由上半个椭圆与轴所围成的图形绕轴扭转所天生的几多何体，其体积