三角函数的概念.doc

东源高级中学高三理科班数学导学案（1）1三角函数的概念一、双基回顾一、双基回顾1、初中三角函数定义（直角三角形）、初中三角函数定义（直角三角形）（1）sin= cos= tan= （2）记住记住、sin、cos、tan的本质是 （3）证明证明 22sincos1sintancos2、高中三角函数定义（直角坐标系）、高中三角函数定义（直角坐标系） 角的定义：角的定义： . 叫正角；叫正角； 叫负角；叫负角； 叫零角叫零角.终边相同角的表示：终边相同角的表示： .1 弧度的定义是弧度的定义是 .弧度角度转化弧度角度转化 ：= ， 1 rad =_°°， rad任意角三角函数定义为：任意角三角函数定义为： 任意角三角函数的符号规则：任意角三角函数的符号规则： 在扇形中：在扇形中： . = 。S扇形（6 6）特殊角三角函数值）特殊角三角函数值角度角度0º º30º º45º º60º º90º º弧度弧度0 rad1/2radsincostan·P(x,y)xyO sincostancotsin= cos= tan= lr的邻边斜边的对边东源高级中学高三理科班数学导学案（1）2（7 7）诱导公式诱导公式 使用诱导公式的条件使用诱导公式的条件 1 1、 2 2、sin(2)sin cos(_)cos tan(_)tank sin()_cos(_)_tan(_)_3 3、 4 4、sin()_ cos(_)_ tan(_)_ sin()_ cos(_)_ tan(_)_ 5 5、 6 6、sin()_2 cos(_)_sin()_2 cos(_)_7 7、 8 8、3sin()_2 cos(_)_3sin()_2 cos(_)_正余弦诱导公式可以归纳为：奇变偶不变，符号看象限（正余弦诱导公式可以归纳为：奇变偶不变，符号看象限（X X 轴不变轴不变 Y Y 轴变，符号看象限）轴变，符号看象限）n+1 221cos ;(sin()2( 1) sin;(nnnn （）为奇数）为偶数）n+1 221sin;(cos()2( 1) cos ;(nnnn （）为奇数）为偶数）（8）特殊值练习找规律）特殊值练习找规律=sin6=5sin6=7sin6=11sin6=13sin6=17sin6=19sin6=23sin6=cos6=5cos6=7cos6=11cos6=13cos6=17cos6=19cos6=23cos6=tan6=5tan6=7tan6=11tan6=13tan6=17tan6=19tan623tan6=sin4=3sin4=5sin4=7sin4=9sin4=11sin4=13sin4=15sin4东源高级中学高三理科班数学导学案（1）3=cos4=3cos4=3cos4=7cos4=9cos4=11cos4=13cos4=15cos4=tan4=3tan4=5tan4=7tan4=9tan4=11tan4=13tan4=15tan4=sin3=2sin3=4sin3=5sin3=7sin3=8sin3=10sin3=11sin3=cos3=2cos3=4cos3=5cos3=7cos3=8cos3=10cos3=11cos3=tan3=2tan3=4tan3=5tan3=7tan3=8tan3=10tan3=11tan3=sin2=2sin2=3sin2=4sin2=5sin2=6sin2=7sin2=8sin2=cos2=2cos2=3cos2=4cos2=5cos2=6cos2=7cos2=8cos2（9 9）知一求二（知道知一求二（知道sin、cos、tan三个中一个便可求出另外两个）三个中一个便可求出另外两个） 例 1 已知 是第三象限角且 tan2，求 cos 的值例 2 已知 tan，；4 32cos3sin 3cossin 练习：1若 sin，且 是第二象限角，则 tan= cos= 4 52若 tan=,、<、 )(1)sin_0；(2)tan(670°)_0；(3)cos(2k)_0，kZ.23451313(文科)(2009 年西城区测试)设 是第三象限角，tan ，则 cos _.来源:学+科+网 Z+X+X+K5 1214.求值 sin 210°( )A. B C. D3232121215已知 sin ， ，则 tan _.2 55216化简：_.来源:学科网 ZXXK12sin 20°cos 160°sin 160° 1sin220°东源高级中学高三理科班数学导学案（1）517已知1，则_；来源:Z_xx_k.Comsin2sin cos 2_.tan tan 1sin 3cos sin cos 三、三角恒等变换推导三、三角恒等变换推导1、两角和与差的三角函数公式：、两角和与差的三角函数公式：():S ():C ():T 2、二倍角及半角的三角函数公式、二倍角及半角的三角函数公式_ _sin2tan2_=_=_cos23、降幂公式：、降幂公式：= 2sin2cos4、辅助角公式、辅助角公式其中其中= sincosabtan四、知识点训练： 1、sin(xy)cosycos(xy)siny= .2、如果，则 tg= 5411 tgxtgx()4x3、求之值.15cos4、在ABC 中，求 sinC 的值.135cosA53sinB5、已知，并且(0,)，(,),求角.71cos1411)cos(22cos6、计算的值等于 sin43 cos13sin13 cos437、已知，则 2sin3cos(2 )8、已知，则的值为 3cos()65x0,xsin x东源高级中学高三理科班数学导学案（1）69、计算的结果等于 21 2sin 22.510、 “”是“”的 条件。61cos2211、已知, ,则 tan4tan3tan()12、已知，则的值是 4cossin3657sin613、若，,，则的值等于 ,(0,)2 3cos()221sin()22 cos()14、若，化简的结果是 3221111cos2222215、若 0<< ， <<0，cos（ ） ，cos（ ），则 cos（ ）( )2241342332A. B C. D33335 396916、已知 x 为第三象限角，化简 x2cos117、在中，已知 tanA ,tanB 是方程的两个实根，则 ABC23720xxtanC 18、 已知，则 1sincos3sin219、已知，则的值为 2cos2344cossin20、求 115cos114cos113cos112cos11cos21、已知为锐角， ,的值为则, 51cos, 101cos22、.若，则角的终边在 象限54 2cos,53 2sin23、计算： )12sin12(cos)12sin12(cos24、计算： 0000tan50tan703tan50tan7025、若 sin， 在第二象限，则 tan 的值为 5 13226、设 56，cos a，则 sin 等于 2427、在ABC 中，若 sinBsinCcos2，则此三角形为 A228、已知 sinsin1，coscos0，求 cos2cos2= 东源高级中学高三理科班数学导学案（1）7五、三角函数图象性质五、三角函数图象性质1、函数图像：、函数图像：（1）用五点法画出 y=sinx、y=cosx、y=tanx 的图象（2）用五点法画出 y=2sin（2x+）并找出快捷画法32、函数性质：、函数性质：函数函数y=sinxy=cosxy=tanx定义域定义域值域值域周期周期最大值最大值 及相应及相应 x最小值最小值 及相应及相应 x单调区间单调区间奇偶性奇偶性对称中心对称中心对称轴对称轴3、用整体思想研究、用整体思想研究、sin()yAxcos()yAxtan()yAx例：分别求 y=2sin（2x+） 、y=2cos（2x+） 、y=2tan（2x+）定义域、值域、周期、最3 3 3大值及相应 x、最小值及相应 x、单调区间、奇偶性、对称中心、对称轴。东源高级中学高三理科班数学导学案（1）84、的图像（填上变换过程）的图像（填上变换过程）sin()yAx（1）先平移后伸缩 sinsin()sin()sin()yxyxyxyAx变换过程： （2）先伸缩后平移 sinsin()sin()sin()yxyxyxyAx变换过程： 六、知识点训练：六、知识点训练：1函数 ytan x 的周期为 且为 （奇或偶）函数。352已知 f(x)sin(x ), g(x)cos(x ） ，则 f(x)的图象22A.与 g(x)的图象相同 B.与 g(x)的图象关于 y 轴对称 C.向左平移 个单位，得到 g(x)的图象 D.向右平移 个单位，得到 g(x)的图象 223若 x(0，2)，函数 y的定义域是sinxtanxA.( , B.( ,) C.(0,)D.( ,2) 22324函数 ysin(2x)的图象的一条对称轴方程为52A.xB.xC.xD.x542845函数 ylogcos1cosx 的值域是 6如果x ，那么函数 f(x)cos2xsinx 的最小值是 47函数 f(x)sin，g(x)cos，则x52x52A.f(x)与 g(x)皆为奇函数 B.f(x)与 g(x)皆为偶函数 C.f(x)是奇函数，g(x)是偶函数D.f(x)是偶函数，g(x)是奇函数 8下列函数中，图象关于原点对称的是 A.ysinx B.yx·sinx C.ysin(x)D.ysinx9要得到函数 ysin(2x )的图象，只要将 ysin2x 的图象4A.向左平移B.向右平移 C.向左平移D.向右平移 448810下图是函数 y2sin(x)(| ）的图象，那么2东源高级中学高三理科班数学导学案（1）9A.， B.，1011610116C.2，D.2，6611在0，2上满足 sinx 的 x 的取值范围是12A.0，B. ， C. ， D.， 66566235612函数 y5sin22x 的最小正周期为 13若函数 yAcos(x3)的周期为 2，则 ；若最大值是 5，则 A . 14由 ysinx 变为 yAsin(x)，若“先平移，后伸缩”，则应平移 个单位；若“先伸缩， 后平移”，则应平移 个单位即得 ysin(x)；再把纵坐标扩大到原来的 A 倍，就是 yAsin(x)(其中 A0). 15不等式 sinxcosx 的解集为 . 16函数 ysin(2x )的递增区间是 . 317已知 f(x)axbsin3x1(a，b 为常数)，且 f (5)7，则 f (5) . 18使函数 y2tanx 与 ycosx 同时为单调递增的区间是 .19. y = sinx + 1 的递增区间是 20. 当 x = 时，y = 12cos( x +)有最小值.321. 函数 y = 2sin( 3x )的图象是把函数 y = 的图象向 平移 个单位而得到.222. 比较大小：sin230 sin(50)23. 已知 x 0, , 且 sinx = 2m + 1, 则 m 的取值范围是 624 为得到函数的图像，只需将函数的图像向 平移 个单位cos 23yxsin2yx25.(2009 年广东卷文)函数1)4(cos22xy是 A最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为2的奇函数 D. 最小正周期为2的偶函数26（2013）4.已知，那么cos A. B. C. D. 51sin()252 51 51 52 527（2008）5.已知函数，则是（ ）2( )(1 cos2 )sin,f xxx xR( )f xA 最小正周期为的奇函数 B 最小正周期为的奇函数2东源高级中学高三理科班数学导学案（1）10C 最小正周期为的偶函数 D 最小正周期为的偶函数228（2007）9已知简谐运动的图象经过点(0，1)，则该简谐运( )2sin()()32f xx动的最小正周期和初相分别为T= = T七、高考真题七、高考真题1、已知的坐标分别为（3，0） ，（0，3） ，（） ，CBA、ABCsin,cos).23,2(（1）若求角的值； （2）若的值.|,|BCAC tan12sinsin2, 12求BCAC2、已知向量，函数)1),3(cos(xa)21),3(cos(xb)0),3(sin(xc， baxf)(caxg)(（1）求函数的单调区间及对称中心；)(xf（2）要得到的图象，只需把的图象经过怎样的平移或伸缩变换？)(xfy )(xgy （3）求的最大值及相应的 x 的值)()()(xgxfxh3、已知函数(x)f22cos2sin4cosxxx。（）求()3f的值；（）求( )f x的最大值和最小值。4、已知函数( )sin(3)(0,(,),0f xAxAx )在12x 时取得最大值 4(1) 求( )f x的最小正周期； (2) 求( )f x的解析式； (3) 若f(2 3 +12)=12 5,求 sin5、 （湖北卷理 16）已知函数 coscos33f xxx， 11sin224g xx （）求函数 f x的最小正周期；（）求函数 h xf xg x的最大值，并求使 h x取得最大值的x的集合东源高级中学高三理科班数学导学案（1）116、 （湖南卷理 16 改）已知函数2( )3sin22sinf xxx（）求函数( )f x的单调区间及对称轴；（II）求函数( )f x的零点的集合。7、已知函数2( )3sin22sinf xxx（）求函数( )f x的最大值；（II）求函数( )f x的零点的集合。8、 （江西卷理 17）已知函数2( )(1 cot )sinsin()sin()44f xxxmxx （1）当0m 时，求( )f x在区间3,84上的取值范围；（2）当tan2时，3( )5f ，求m的值9、已知函数211( )sin2 sincoscossin()(0)222f xxx ，其图像过点1(, )6 2。（）求的值；() 将函数( )yf x的图像上各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变，得到函数( )yg x的图像，求函数( )g x在0,4上的最大值和最小值。9、 （天津卷理 17）已知函数2( )2 3sincos2cos1()f xxxxxR（）求函数( )f x的最小正周期及在区间0,2 上的最大值和最小值；（）若006(),54 2f xx ，求0cos2x的值。10、 （2012 年安徽理科数学）设函数22( )cos(2)sin24f xxx（I）求函数的最小正周期；（II）设函数对任意，有，且当( )f x( )g xxR()( )2g xg x时， ；求函数在上的解析式。0,2x1( )( )2g xf x( )g x,011、 （2012 年北京理科数学）已知函数。xxxxxfsin2sin)cos(sin)(东源高级中学高三理科班数学导学案（1）12（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递减区间。)(xf)(xf12、 （2012 年天津理科数学）已知函数，.2( )=sin(2 +)+sin(2)+2cos133f xxxxxR()求函数的最小正周期；（）求在区间上的最大和最小值.( )f x( )f x,4 4 13、 （2012 年陕西理科数学）函数（）的最大值为 3， 其图像相( )sin() 16f xAx0,0A邻两条对称轴之间的距离为，2（）求函数的解析式；（）设，则，求的值。( )f x(0,)2()22f08-1408-14 年广东理高考年广东理高考（20142014）16已知函数，且，RxxAxf),4sin()( 23)125(f（1）求的值；（2）若，求。A23)()(ff)2, 0()43(f（20132013）16已知函数,.( )2cos12f xxxR() 求的值； () 若,求6f3cos53,2223f（20122012）16. 已知函数（其中）的最小正周期为( )2cos()6f xx0,xR10（1）求的值；（2）设，求的56516,0,(5),(5)235617ff cos()值。（20112011）16.1( )2sin(),36f xxxR已知函数5(1)()4f求的值;106(2),0,(3),(32 ),cos()22135ff 设求的值.（20102010）16已知函数在时取得最大值 4 ( )sin(3)(0,(,),0f xAxAx 12x东源高级中学高三理科班数学导学案（1）13(1)求 f(x)的最小正周期；w_w w. k#s5_u.c o*m(2)求 f(x)的解析式； (3)若 f( +)=,求 sin w_w 2 31212 5w.（20092009）16已知向量互相垂直，其中(sin , 2)(1,cos )ab与(0,)2（1）求的值； （2）若，求的值sincos和10sin(),0102cos（20082008）16已知函数，的最大值是 1，其图像经过点( )sin()(0 0)f xAxA，xR 1 3 2M，（1）求的解析式；（2）已知，且，求的( )f x02，3( )5f12( )13f()f值