4定积分的几何意义.doc
中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)定积分的几何意义巧用定积分的几何意义.妙解一类定积分问题 定积分源自于求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积,因此定积分具有较强的几何意义;充分利用定积分的几何意义可妙解一类定积分问题.母题结构:()如果f(x)在区间a,b上满足f(x)0,则等于直线x=a,x=b(a<b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积;()如果f(x)在区间a,b上满足f(x)0,则等于直线x=a,x=b(a<b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数;解题程序:根据定积分的几何意义可妙解圆形函数的定积分、定积分的大小比较、寻找定积分的面积等问题. 1.图形函数 子题类型:(人教版.选修2-2.习题1.5(A组)第4题)试用定积分的几何意义说明的大小.解析:根据定积分的几何意义,表示由直线x=0,x=1,y=0以及曲线y=所围成的曲边梯形的面积;由y=x2+y2=1(y0),即四分之一单位圆的面积=.点评:由定积分的几何意义,一般圆形函数f(x)=的定积分可用圆或弓形的面积求出. 2.大小比较 子题类型:(2013年江西高考试题)若S1=dx,S2=dx,S3=dx,则S1,S2,S3的大小关系为( )(A)S1<S2<S3 (B)S2<S1<S3 (C)S2<S3<S1 (D)S3<S2<S1解析:当x1,2时,ex>x2>x-1>0,根据定积分的几何意义S3>S2>S1.故选(B).点评:由定积分的几何意义知:若f(x)>g(x),则>,这为定积分的大小比较提供了依据和方法. 3.面积意义 子题类型:(2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题)曲线方程为函数y=f(x)在区间0,a上有连续导数,则定积分=( )(A)曲边梯形ABCD面积 (B)梯形ABCD面积 (C)曲边三角形ACD面积 (D)三角形ACD面积.解析:由xf(x)=f(x)+x(x)x(x)=xf(x)-f(x)=-=xf(x)|-=af(a)-=矩形OBAC面积-曲边梯形OBAD的面积=曲边三角形ACD面积.故选(C).点评:本题是定积分几何意义的典型题,解答本题的关键是构造x(x)=xf(x)-f(x). 4.子题系列:1.(2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题)= .2.(1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题)= .3.(2012全国硕士研究生入学统一考试数学试题)= .4.(2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题)设I=,J=,K=,则I,J,K的大小关系是( ) (A)I<J<K (B)I<K<J (C)J<I<K (D)K<J<I5.(2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题)设I1=,I2=,则( )(A)I1>I2>1 (B)1>I1>I2 (C)I2>I1>1 (D)1>I2>I16.(2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题)设Ik=(k=1,2,3),则有( )(A)I1<I2<I3 (B)I3<I2<I1 (C)I2<I3<I1 (D)I2<I1<I37.(2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题)设函数y=f(x)在区间-1,3上的图形如图,则函数F(x)=的图形为( ) (A) (B) (C) (D)8.(2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题)如图,连续函数y=f(x)在区间3,2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间2,0,0,2的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)=,则下列结论正确的是( ) (A)F(3)=-F(-2) (B)F(3)=F(2) (C)F(-3)=F(2) (D)F(-3)=-F(-2) 4.子题详解:1.解:由=圆(x-1)2+y2=1的面积的=. 2.解:由=圆x2+y2=1的面积的=.3.解:令t=x-1,则dx=dt,t-1,1,=(y=t为奇函数)+=.4.解:当x(0,)时,0<sinx<cosx<cotxlnsinx<lncosx<lncotx.故选(B).5.解:当x(0,)时,tanx>x>1,<1I1>,I2<.排除(A)(C)(D).故选(B).6.解:由I1=,I2=I1+,I3=I2+,<0,>0I1>I2,I3>I2.故选(D).7.解:由y=f(x)的图形,其图像与x轴及y轴、x=x0所围的图形的代数面积为所求函数F(x):当x-1,0)时,F(x)为线性递增函数,且F(x)=-0;当x0,1)时,F(x)单调递减,且F(x)0;当x1,2时,F(x)单调递增, 且F(x)0;当x(2,3时,F(x)为常函数;F(x)为连续函数.故选(D).8.解:由F(2)为半径是1的半圆面积=;F(3)=是两个半圆面积之差=-=F(2);由f(x)是奇函数F(x)是偶函数F(-3)=F(3)=F(2).故选(C).
