2022版高考数学一轮复习核心素养测评四十二数列与函数不等式的综合问题理北师大版.doc
核心素养测评四十二 数列与函数、不等式的综合问题(30分钟60分)一、选择题(每题5分,共25分)1.递增的等比数列an的公比为q,其前n项和Sn<0,那么()A.a1<0,0<q<1B.a1<0,q>1C.a1>0,0<q<1D.a1>0,q>1【解析】选A.因为Sn<0,所以a1<0,又数列an为递增等比数列,所以an+1>an,且|an|>|an+1|,那么-an>-an+1>0,那么q=(0,1),所以a1<0,0<q<1.2.等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,那么“d>0是“S4 + S6>2S5的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.由S4+S6-2S5=10a1+21d-2(5a1+10d)=d,可知当d>0时,有S4+S6-2S5>0,即S4+S6>2S5,反之,假设S4+S6>2S5,那么d>0,所以“d>0是“S4 + S6>2S5的充分必要条件.【名师点睛】此题考查等差数列的前n项和公式,通过套入公式与简单运算,可知S4+S6-2S5=d, 结合充分必要性的判断,假设pq,那么p是q的充分条件,假设pq,那么p是q的必要条件,该题“d>0“S4+S6-2S5>0,故互为充要条件.3.数列an是等比数列,数列bn是等差数列,假设a2·a6·a10=3,b1+b6+b11=7,那么tan 的值是()A.1B.C.-D.-【解析】选D.因为是等比数列,所以a2·a6·a10=3,所以a6=.因为bn是等差数列,所以b1+b6+b11=3b6=7.所以b6=,所以tan=tan =tan =-tan =-tan =-.4.数列an满足an=n2+kn+2,假设不等式ana4恒成立,那么实数k的取值范围是()A.-9,-8B.-9,-7C.(-9,-8)D.(-9,-7)【解析】选B.由得n2+kn+24k+18,即(4-n)kn2-16,其中nN*.当n=1,2,3时,k(-n-4)min=-7;当n=4时,等号成立;当n5时,k(-n-4)max=-9,所以实数k的取值范围是-9,-7.5.数列an满足a1+a2+a3+an=n2+n(nN*),设数列满足:bn=,数列的前n项和为Tn,假设Tn<(nN*)恒成立,那么实数的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选D.数列an满足a1+a2+a3+an=n2+n,当n2时,a1+a2+a3+an-1=(n-1)2+(n-1),-得an=2n,故an=2n2,数列满足:bn=那么:Tn=,由于Tn<(nN*)恒成立,故:<,整理得>,因为y=在nN*上单调递减,故当n=1时,=,所以>.二、填空题(每题5分,共15分)6.f(x)=,各项均为正数的数列an满足a1=1,an+2=f(an).假设a2 010=a2 012,那么a20+a11的值是_. 【解析】因为an+2=f(an)=,a1=1,所以a3=,a5=,a7=,a9=,a11=,又a2 010=a2 012,即a2 010=+a2 010-1=0,所以a2 010=.又a2 010=,所以1+a2 008=,即a2 008=,依次类推可得a2 006=a2 004=a20=,故a20+a11=+=.答案:7.an是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)数列an的通项公式为_. (2)数列的前n项和为_. 【解析】(1)方程x2-5x+6=0的根为2,3.又an是递增的等差数列,故a2=2,a4=3,可得2d=1,d=,故an=2+(n-2)×=n+1.(2)设数列的前n项和为Sn,Sn=+,Sn=+,-得Sn=+-=+-=+-,所以Sn=+-=2-.答案:(1)an=n+1(2)2-8.(2022·成都模拟)数列是等差数列,a1=1,公差d,且a4+a10+a16=15,那么实数的最大值为_. 【解析】因为a4+a10+a16=15,所以a1+3d+(a1+9d)+a1+15d=15,令=f(d)=-2,因为d,所以令t=1+9d,t10,19,因此=f(t)=-2,当t10,19时,函数=f(t)是减函数,故当t=10时,实数有最大值,最大值为f(10)=-.答案:-三、解答题(每题10分,共20分)9.(2022·北京高考)设an是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求an的通项公式.(2)求+.【解析】(1)由,设an的公差为d,那么a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=5ln 2,又a1=ln 2,所以d=ln 2,所以an的通项公式为an=ln 2+(n-1)ln 2=nln 2(nN*).(2)由(1)及,=enln 2=(eln 2)n=2n,所以+=21+22+2n=2n+1-2(nN*).10.(2022·武汉模拟)数列an满足:+=n2+n,nN*.(1)求an的通项公式.(2)设bn=,数列bn的前n项和为Sn,求满足Sn>的最小正整数n.【解析】(1)因为+=n2+n,n=1时,可得a1=4,n2时,+=(n-1)2+n-1.与+=n2+n.两式相减可得=(2n-1)+1=2n.所以an=2n(n+1),当n=1时,也满足,所以an=2n(n+1).(2)bn=,所以Sn=.又Sn>,所以n>9,所以最小正整数n为10.- 6 -
