2022版高考数学一轮复习核心素养测评四十一等差与等比数列的综合问题理北师大版.doc
核心素养测评四十一 等差与等比数列的综合问题(30分钟60分)一、选择题(每题5分,共20分)1.1,a1,a2,9四个实数成等差数列,1,b1,b2,b3,9五个数成等比数列,那么b2(a2-a1)=()A.8B.-8C.±8D.【解析】选A.由1,a1,a2,9成等差数列,得公差d=a2-a1=,由1,b1,b2,b3,9成等比数列,得=1×9,所以b2=±3,当b2=-3时,1,b1,-3成等比数列,此时=1×(-3)无解,所以b2=3,所以b2(a2-a1)=3×=8.2.等差数列an,等比数列bn,满足a1=b1=1,a5=b3,那么a9能取到的最小整数是()A.-1B.0C.2D.3【解析】选B.等差数列an的公差设为d,等比数列bn的公比设为q,q0,由a1=b1=1,a5=b3,可得1+4d=q2,那么a9=1+8d=1+2(q2-1)=2q2-1>-1,可得a9能取到的最小整数是0.3.在等差数列an中,a1>0,d>0,前n项和为Sn,等比数列bn满足b1=a1,b4=a4,前n项和为Tn,那么()A.S4>T4B.S4<T4C.S4=T4D.S4T4【解析】选A.设等比数列bn的公比为q,那么由题意可得q>1,数列bn单调递增,又S4-T4=a2+a3-(b2+b3)=a1+a4-a1q-=a1(1-q)+a4=(a4-a1q)=(b4-b2)>0,所以S4>T4.【一题多解】选A.不妨取an=7n-4,那么等比数列bn的公比q=2,所以S4=54,T4=45,显然S4>T4.4.a,b,c成等比数列,a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,那么+等于 ()A.4B.3C.2D.1【解析】选C.由题意得b2=ac,2m=a+b,2n=b+c,那么+=2.【一题多解】解答此题,还有以下解法:特殊值法:选C.因为a,b,c成等比数列,所以令a=2,b=4,c=8,又a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,那么m=3,n=6,因此+=+=2.二、填空题(每题5分,共20分)5.Sn为等比数列an的前n项和.假设a1=1,且3S1 ,2S2,S3成等差数列,那么an=_. 【解析】由3S1,2S2,S3成等差数列,得4S2=3S1+S3,即3S2-3S1=S3-S2,那么3a2=a3,得公比q=3,所以an=a1qn-1=3n-1.答案:3n-16.等差数列an的公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,那么=_. 【解析】设公差为d,因为在等差数列an中,a2, a4,a8成等比数列,所以=a2a8,所以(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),所以d2=a1d,因为d0,所以d=a1,所以=3.答案:37.等差数列an满足a3=7,a5+a7=26.假设bn=(nN*),那么数列bn的最大项为_,最小项为_. 【解析】因为a5+a7=26,所以a6 =13,因为a3=7,所以3d=6,d=2,所以an=a3+d=7+2=2n+1,所以bn=1+,又因为当n=1,2,3时,数列bn递减且<0,当n4时,数列bn递减且>0,所以数列bn的最大项为b4=8,最小项为b3=-6.答案:8-68.等差数列的公差d0,且a1,a3,a13成等比数列,假设a1=1,Sn为数列的前n项和,那么的最小值为_. 【解析】依题意:因为a1,a3,a13成等比数列,a1=1,所以=a1a13,所以(1+2d)2=1+12d,d0,解得d=2.可得an=2n-1,Sn=n2,那么=n+2+-44,当且仅当n=2时,等号成立.答案:4三、解答题(每题10分,共20分)9.(2022·全国卷)数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列.(2)求an和bn的通项公式.【解析】(1)由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn).又因为a1+b1=1,所以是首项为1,公比为的等比数列.由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)知,an+bn=,an-bn=2n-1.所以an=(an+bn)+(an-bn)=+n-,bn=(an+bn)-(an-bn)=-n+.10.等差数列an前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求数列an的通项公式.(2)假设a2,a3,a1成等比数列,求数列|an|的前n项和Sn.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,那么a2=a1+d,a3=a1+2d.由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7.故an=-3n+5或an=3n-7.(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|an|=|3n-7|=记数列|an|的前n项和为Sn.当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;当n3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+(3n-7)=5+=n2-n+10.当n=2时,满足此式,当n=1时,不满足此式.综上,Sn=- 4 -
