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中考冲刺：代数综合问题知识讲解（提高）责编：常春芳【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心* 审题(读题、断句、找关键)；* 先宏观(题型、知识块、方法)； 后微观(具体条件，具体定理、公式)* 由已知，想可知(联想知识)； 由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；* 观察挖掘题目结构特征； 联想联系相关知识网络； 突破抓往关键实现突破； 寻求学会寻求解题思路(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证【典型例题】类型一、函数综合1已知函数和ykx+1(k0)(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?【思路点拨】本题是一次函数，反比例函数的综合题本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数【答案与解析】 解：(1)两函数的图象都经过点(1，a)， 解得(2)将代入ykx+1，消去y，得k0，要使得两函数的图象总有公共点，只要0即可1+8k1+8k0，解得kk且k0时这两个函数的图象总有公共点【总结升华】两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断若0，两图象有两个公共点；若0，两图象有一个公共点；若0，两图象没有公共点举一反三：【变式】如图，一元二次方程的两根，（）是抛物线与轴的两个交点，的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；(3)在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标 【答案】解：(1)解方程，得=-3，=1.抛物线与x轴的两个交点坐标为：C（-3，0），B（1，0）.将 A（3，6），B（1，0），C（-3，0）代入抛物线的解析式，得 解这个方程组，得 抛物线解析式为.(2)由，得抛物线顶点P的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1.设直线AC的函数关系式为y=kx+b,将A（3，6），C（-3，0）代入,得解这个方程组，得 直线AC的函数关系式为y=x+3.由于Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点，故解方程组得 点Q坐标为（-1，2）. (3)作A点关于x轴的对称点，连接，与轴交点即为所求的点. 设直线的函数关系式为y=kx+b. 解这个方程组，得 直线的函数关系式为y=-2x.令x=0，则y=0. 点M的坐标为（0，0）.类型二、函数与方程综合2已知关于x的二次函数与，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A，B两个不同的点 (1)试判断哪个二次函数的图象经过A，B两点；(2)若A点坐标为(-1，0)，试求B点坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小?【思路点拨】本题是二次函数与一元二次方程的综合题本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数图象，与x轴的交点个数及二次函数的性质【答案与解析】解：(1)对于关于x的二次函数，由于(-m)24×1×，所以此函数的图象与x轴没有交点对于关于x的二次函数，由于， 所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点故图象经过A，B两点的二次函数为(2)将A(-1，0)代入，得整理，得解之，得m0，或m2当m0时，令y0，得解这个方程，得，此时，B点的坐标是B(1，0)当m2时，令y0，得解这个方程，得x3-1，x43此时，B点的坐标是B(3，0)(3)当m0时，二次函数为，此函数的图象开口向上，对称轴为x0，所以当x0时，函数值y随x的增大而减小当m2时，二次函数为，此函数的图象开口向上，对称轴为x1，所以当x1时，函数值y随x的增大而减小【总结升华】从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用常量来求解举一反三：【高清课堂:代数综合问题 例3】【变式】（2016·门头沟一模）已知关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0（1）求证该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y=mx2+(3m+1)x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y=mx2+(3m+1)x+3与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为D，设此抛物线在3x之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n（n0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n的取值范围【答案】（1）证明： = (3m+1)24×m×3 =(3m1)2. (3m1)20， 0， 原方程有两个实数根 （2）解：令y=0，那么 mx2+(3m+1)x+3=0. 解得 ，. 抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，m=1. 抛物线的表达式为. （3）解：当x=0时，y=3，C（0，3）.当y=0时，x1=3，x2=1.又点A在点B左侧，A（3，0），B（1，0）. 点D与点B关于y轴对称，D（1，0）. 设直线CD的表达式为y=kx+b. 解得直线CD的表达式为y=3x+3. 又当时，.A（3，0），E（，），平移后，点A，E的对应点分别为A'（3+n，0），E'（，）.当直线y=3x+3过点A'（3+n，0）时，3(3+n)+3=0，n=4. 当直线y=3x+3过点E'（，）时，n=. n的取值范围是n4. 类型三、以代数为主的综合题3如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°得到线段OB (1)求点B的坐标； (2)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式； (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由 (4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由 【思路点拨】(1)由AOB120°可得OB与x轴正半轴的夹角为60°，利用OB2及三角函数可求得点B的坐标；(2)利用待定系数法可求出解析式；(3)OB为定值，即求BC+CO最小利用二次函数的对称性可知点C为直线AB与对称轴的交点；(4)利用转化的方法列出关于点P的横坐标x的函数关系式求解【答案与解析】 解：(1)B(1，) (2)设抛物线的解析式为，代入点B(1，)，得所以(3)如图所示，抛物线的对称轴是直线x-1，因为A，O关于抛物线的对称轴对称，所以当点C位于对称轴与线段AB的交点时，BOC的周长最小设直线AB的解析式为，则 解得因此直线AB的解析式为当时，因此点C的坐标为(4)如图所示，过P作y轴的平行线交AB于D，设其交x轴于E，交过点B与x轴平行的直线于F设点P的横坐标为x则当时，PAB的面积的最大值为，此时【总结升华】 本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法因为线段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”，从而不用加绝对值号，本题中线段PD的长为就是利用了这一规律 4（2015.北京东城一模）在平面直角坐标系中，抛物线过点，,与轴交于点（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点 的坐标;（3）在抛物线的对称轴上是否存在点,使成为以为直角边的直角三角形？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由. 【思路点拨】（1）已知点坐标代入函数解析式即可求得解析式；（2）利用轴对称知识求三角形周长最小值；（3）注意分类讨论满足条件的直角三角形，不要漏解.【答案与解析】 解：（1）抛物线过点，抛物线的函数关系式为. （2）， 抛物线的对称轴为直线.设点为点关于直线的对称点，则点的坐标为.连接交直线于点，此时的周长最小.设直线的函数表达式为，代入的坐标，则解得所以，直线的函数表达式为.当时，. 点的坐标为. （3）存在. 当点为直角顶点时，过点作的垂线交轴于点，交对称轴于点.， .， .点的坐标为. 设直线对应的一次函数的表达式为，代入的坐标，则解得所以，直线的函数表达式为.令，则. 点的坐标为. 当点为直角顶点时，过点作的垂线交对称轴于点，交轴于点. 与同理可得是等腰直角三角形，.点的坐标为.，.直线的函数表达式为.令，则.点的坐标为. 综上，在对称轴上存在点，使成为以为直角边的直角三角形【总结升华】求最值问题，在几何和函数类题目中经常考查，通常利用轴对称知识来解答此类题型；点的存在性也是常考点，注意解的多样性，从而分类讨论，不要出现漏解情况.举一反三：【变式】如图所示，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，(1)求点B的坐标； (2)求抛物线的解析式及顶点坐标； (3)若E点在x轴上，F点在抛物线上，如果A，C，E，F构成平行四边形，直接写出点E的坐标【答案】解：(1)，C(0，3)又，A(1，0)又，AB4。B(-3，0)(2)把A(1，0)，B(-3，0)代入得：a-1，b-2，顶点坐标(-1，4)(3)如图1和图2 当AC为平行四边形的一边时， (-1，0)，E2(，0)，E3(，0)当AC为平行四边形的对角线时，E4(3，0)5已知函数y1x，y2x2+bx+c，为方程的两个根，点M(t，T)在函数y2的图象上 (1)若，求函数y2的解析式； (2)在(1)的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，当ABM的面积为时，求t的值； (3)若01，当0tl时，试确定T，三者之间的大小关系，并说明理由 【思路点拨】第(1)问由得的两根为，利用根的定义代入得到b，c的方程组可求出b，c值；第(2)问分别求出A，B两点坐标，利用直线yx与x轴夹角为45°得到关于t的方程；第(3)问利用求差法比较T，的大小，注意对t的范围进行分类讨论来的确定相应T，的大小关系【答案与解析】解 (1)y1x，y2x2+bx+c，y1y20，将，分别代入，得解得，函数y2的解析式为(2)由已知，y1与y2的图象的两个交点的坐标分别为，得，设ABM中AB边上的高为h，则，即由直线y1x与x轴的夹角为45°可得由，得当时，解得；当时，解得，t的值为，(3)由已知，得，化简得，得，有a+b10，+b10又0t1时，t+b0，t+b0当0t时，T；当t时，T；当1时，T【总结升华】本题是关于函数、方程、不等式的综合题，涉及知识面较广