2021-2022年收藏的精品资料中考数学考点总动员系列 专题14 三角形.doc

考点十四：三角形 聚焦考点温习理解一、三角形 1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。2、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围。证明线段不等关系。3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。二、全等三角形 1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）2.全等三角形的性质：三、等腰三角形1、等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。2、等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。3、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。名师点睛典例分类考点典例一、三角形中位线【例2】（2014·河北）如图，ABC中，D，E分别上边AB，AC的中点，若DE=2，则BC=（ ）A、2 B、3 C、4 D、5【答案】C.考点：三角形中位线定理.【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用【举一反三】1(2015·湖北衡阳，18题，3分)如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O 处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN20m，则池塘的宽度AB为 m【答案】40考点： 三角形中位线定理考点典例二、等腰三角形【例2】(2015·湖北衡阳，7题，3分)已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）A11 B16 C17 D16或17【答案】D考点：三角形三边关系；分情况讨论的数学思想 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论【举一反三】(2015·湖北荆门，5题，3分)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A8或10 B8 C10 D6或12【答案】C【解析】试题分析：2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，2+2=4，不能组成三角形，2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10，综上所述，它的周长是10故选C考点：1等腰三角形的性质；2三角形三边关系；3分类讨论考点典例三、全等三角形【例3】如图，ABC和DEF中，AB=DE、角B=DEF，添加下列哪一个条件无法证明ABCDEF（ ）AACDF BA=D CAC=DF DACB=F【答案】C【解析】试题分析：根据全等三角形的判定定理，即可得出：AB=DE，B=DEF，添加ACDF，得出ACB=F，即可证明ABCDEF，故A、D都正确；添加A=D，根据ASA，可证明ABCDEF，故B都正确；添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明ABCDEF，故C都不正确故选C【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理【举一反三】（2015.重庆市A卷，第20题，7分）如图，在ABD和FEC中，点B,C,D,E在同一直线上，且AB=FE,BC=DE,B=E。求证：ADB=FCE.20题图【答案】证明见解析.考点：全等三角形的证明.考点典例四、相似三角形【例4】如图，在ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DEAC，若SBDE：SCDE=1：4，则SBDE：SACD=（）A1：16 B1：18 C1：20 D1：24【答案】C【考点】相似三角形的判定与性质【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用BDE的面积表示出ABC的面积是解题的关键【举一反三】1. (2015.天津市，第16题，3分)如图，在ABC中，DEBC，分别交AB，AC于点D，E. 若AD =3，DB =2，BC =6，则DE的长为.【答案】.【解析】试题分析：由DEBC可得ADEABC,根据相似三角形的性质可得,解得.考点:相似三角形的判定与性质.2.(2015·黑龙江哈尔滨）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD、CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】C考点：三角形相似的应用.考点典例五、位似三角形【例5】ABC与ABC是位似图形，且ABC与ABC的位似比是1：2，已知ABC的面积是3，则ABC的面积是（ ）A3 B6 C9 D12【答案】D【解析】考点：位似变换的性质【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键【举一反三】1.（2015·辽宁营口）如图，ABE和CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是( ). A（4，2） B（4，1） C（5，2） D（5，1）【答案】C.【解析】试题分析：分别过C,D,A,B,做x轴的垂线，垂足分别是F,H,K；因为A,D的横坐标相同，所以D在AH上，E（1,0），C（2，2），A（3，4），D（3，1），EF=1，FH=1；CFAHBK,CDAB,DHBK,EH=2，DH=1，EK=4，BK=2，OK=5，B(5，2),故选C.考点：1.位似性质；2.平行线分线段成比例定理.2.（2015宜宾）如图，OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，OCD=90°，CO=CD若B（1，0），则点C的坐标为（）A（1，2） B（1，1） C（，） D（2，1）【答案】B考点：1位似变换；2坐标与图形性质考点典例六：直角三角形【例6】（2015·湖南长沙）如图，为测量一颗与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角ABO为，则树OA的高度为（ ） 【答案】C【解析】试题分析：根据题意可得BO=30，tanABO=，则AO=BO·tanABO=30tan.考点：三角函数的应用.【点睛】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比边【举一反三】1.（2015·辽宁大连）如图，在ABC中，C=90°，AC=2，点D在BC上，ADC=2B，AD=，则BC的长为（ ）A.-1 B.+1 C.-1 D.+1【答案】D考点：解直角三角形.2.(2015·湖北荆门，11题，3分)如图，在ABC中，BAC=Rt，AB=AC，点D为边AC的中点，DEBC于点E，连接BD，则tanDBC的值为（）A B C D【答案】A【解析】考点：1解直角三角形；2等腰直角三角形课时作业能力提升一、 选择题1.（2015·湖南长沙）如图，过ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）【答案】A【解析】试题分析：经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高.根据定义可得A是作BC边上的高，C是作AB边上的高，D是作AC边上的高.考点：三角形高线的作法2.（2015.山东济宁，第5题,3分）三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的根，则三角形的周长为( )A.13 B.15 C.18 D.13或18【答案】A【解析】试题分析：解一元二次方程可求得方程的两根为，那么根据三角形的三边关系，可知3第三边9，得到合题意的边为4，进而求得三角形周长为3+4+6=13故选A考点：解一元二次方程，三角形的三边关系，三角形的周长3.（2015.济宁，第9题,3分）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1:2，AC=米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为( )A.5米 B.6米 C. 8米 D. 米【答案】A考点：解直角三角形4.(2015.山东日照，第10题，3分)如图，在直角BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tanCAD的值（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：解：如图，延长AD，过点C作CEAD，垂足为E，tanB=，即=，设AD=5x，则AB=3x，CDE=BDA，CED=BAD，CDEBDA，CE=x，DE=，AE=，tanCAD=故选D考点：解直角三角形5.（2015成都）如图，在ABC中，DE/BC，AD=6，BD=3，AE=4，则EC的长为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】试题分析： 根据平行线段的比例关系，即，故选B考点：平行线分线段成比例6.(2015·黑龙江哈尔滨）如图：某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞机飞行高度AC1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角，则飞机A与指挥台B的距离为（ ）（A）1200m (B) 1200m (C)1200m (D)2400m【答案】D考点：三角函数的应用.7.（2015内江）如图，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC交AC于点D，AEBD交CB的延长线于点E若E=35°，则BAC的度数为（）A40° B45° C60° D70°【答案】A【解析】试题分析：AEBD，CBD=E=35°，BD平分ABC，CBA=70°，AB=AC，C=CBA=70°，BAC=180°70°×2=40°故选A考点：1等腰三角形的性质；2平行线的性质8.(2015.北京市，第6题，3分)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为( )A0.5kmB.0.6km C.0.9kmD.1.2km【答案】D【解析】试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MC=1.2km故选D考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半二、填空题9.（2015·辽宁沈阳）如图，ABC与DEF位似，位似中心为点O，且ABC的面积等于DEF面积的，则AB：DE= 【答案】2：3考点：位似变换10.如图，已知ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若BAC=80°，则BCA的度数为 【答案】60°.【解析】试题分析：可证明CODCOB，得出D=CBO，再根据BAC=80°，得BAD=100°，由角平分线可得BAO=40°，从而得出DAO=140°，根据AD=AO，可得出D=20°，即可得出CBO=20°，则ABC=40°，最后算出BCA=60°试题解析：ABC三个内角的平分线交于点O，ACO=BCO，在COD和COB中，CODCOB，D=CBO，BAC=80°，BAD=100°，BAO=40°，DAO=140°，AD=AO，D=20°，CBO=20°，ABC=40°，BCA=60°.考点:1.全等三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质11.如图，在RtABC中，ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=BC.若AB=10，则EF的长是 【答案】5.【解析】试题分析：在RtABC中，ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，AB=10，AD=5，AE=EC，DE=BC，AED=90°.CF=BC，DE=FC.在RtADE和RtEFC中，AE=EC，DE=FC，RtADERtEFC（SAS）.EF=AD=5.考点：1.三角形中位线定理；2.全等三角形的判定和性质.12.（2015山东枣庄，第15题，4分）如图，ABC中，CDAB于D，E是AC的中点，若AD=6，DE=5，则CD=_ 【答案】【解析】【试题分析】因为CDAB，所以ADC是直角三角形，E为AC的中点，所以AC=2DE=10，由勾股定理可得AD=8.考点：直角三角形的性质13.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BCEF，要使ABCDEF，则只需添加一个适当的条件是 （只填一个即可）【答案】BC=EF或BAC=EDF考点：1全等三角形的判定；2开放型14.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）BD为等腰ABC的腰AC上的高，BD=1，tanABD=，则CD的长为 【答案】或或【解析】试题分析：分三种情况：如图1，A为钝角，AB=AC，在RtABD中，BD=1，tanABD=，AD=，AB=2，AC=2，CD=，如图2，A为锐角，AB=AC，在RtABD中，BD=1，tanABD=，AD=，AB=2，AC=2，CD=，如图3，BA=BC，BDAC，AD=CD，在RtABD中，BD=1，tanABD=，AD=，CD=，综上所述；CD的长为：或或，故答案为：或或考点：1解直角三角形；2等腰三角形的性质；3勾股定理三解答题15.如图，ABC是等边三角形，D是BC的中点.（1）作图：过B作AC的平行线BH；过D作BH的垂线，分别交AC，BH，AB的延长线于E，F，G.（2）在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.【答案】（1）作图见解析；（2）DECDFB（答案不唯一），证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据平行线和垂线的作图方法作图.（2）根据作图方法，由ASA可判定DECDFB（答案不唯一）.试题解析：解：（1）作图如下：如答图1；如答图2.（2）DECDFB（答案不唯一），证明如下：BHAC，DCE=DBF.又D是BC中点，DC=DB.在DEC与DFB中，DECDFB（ASA）.考点：1. 作图（复杂作图）；2.开放型问题；3. 全等三角形的判定；4.平行的性质.16.在ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段【答案】证明见解析【解析】试题分析：可证明ABFACE，则BF=CE，再证明BEPCFP，则PB=PC，从而可得出PE=PF，BE=CF试题解析：在ABF和ACE中， AB=AC BAF=CAE AF=AE ，ABFACE（SAS），ABF=ACE（全等三角形的对应角相等），BF=CE（全等三角形的对应边相等），AB=AC，AE=AF，BE=CF，在BEP和CFP中， BPE=CPF PBE=PCF BE=CF ，BEPCFP（AAS），PB=PC，BF=CE，PE=PF，图中相等的线段为PE=PF，BE=CF，BF=CE考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质17.(2015·湖北孝感）（本题满分8分）我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”如图，四边形是一个筝形，其中，对角线，相交于点，垂足分别是，求证【答案】OE=OF.【解析】试题分析：由根据SSS得出全等，根据全等性质得出BD为ABC的角平分线，再由角平分线上的点到角两边的距离相等，得出OE=OF考点：全等三角形18.（2015·辽宁沈阳）如图，点E为矩形ABCD外一点，AE=DE，连接EB、EC分别与AD相交于点F、G求证：（1）EABEDC；（2）EFG=EGF【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析【解析】试题分析：（1）先根据四边形ABCD是矩形，得到AB=DC，BAD=CDA=90°再根据EA=ED，得到EAD=EDA，由等式的性质得到EAB=EDC利用SAS即可证明EABEDC；（2）由EABEDC，得到AEF=DEG，由三角形外角的性质得出EFG=EAF+AEF，EGF=EDG+DEG，即可证明EFG=EGF试题解析：（1）四边形ABCD是矩形，AB=DC，BAD=CDA=90°EA=ED，EAD=EDA，EAB=EDC在EAB与EDC中，EA=ED，EAB=EDC，AB=DC，EABEDC（SAS）；（2）EABEDC，AEF=DEG，EFG=EAF+AEF，EGF=EDG+DEG，EFG=EGF考点：1全等三角形的判定与性质；2矩形的性质19.(2015·湖北襄阳,22题)如图，AD是ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=求：（1）BC的长；（2）sinADC的值【答案】（1）4；（2）（2）AD是ABC的中线，CD=BC=2，DE=CDCE=1，AEBC，DE=AE，ADC=45°，sinADC=考点：解直角三角形20.（2015.山东泰安，第27题）（10分）如图，在ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且APD=B（1）求证：ACCD=CPBP；（2）若AB=10，BC=12，当PDAB时，求BP的长【答案】（1）证明见试题解析；（2）考点：1相似三角形的判定与性质；2综合题