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复旦附中2018学年第二学期高三年级期末考试数学试卷2019年5月28日一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1-6题每题填对得4分，第7-12题每天填对得5分，否则一律得零分.1.不等式的解集为 2.一个单位共有职工人，其中不超过岁的有人，超过岁的有人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为的样本，应抽取超过岁的职工 人.3.已知则 4.一个等差数列的前项之和是，最后项之和是，所有项之和是，则项数 5.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为 6.若，则 7.已知满足约束条件则的最大值是 8.已知点为的外心，且，则 9.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，且，若，称甲乙“心有灵犀”，则甲乙“心有灵犀”的概率是 10.在中，点在边上，且，则实数的取值范围是 11.已知函数是上的单调增函数，则关于的方程的实根为 12.己知是满足下列性质的一个排列，性质：排列中有且只有一个，则满足性质的所有数列的个数 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题都给出代号A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13.“”是圆锥曲线的焦距与实数无关的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.直线与双曲线的交点个数最多为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个15.若对任意，都有，那么在上（ ）A.一定单调递增B.一定没有单调减区间C.可能没有单调增区间D.一定没有单调增区间16.在数列中，对任意的，都有（其中为常数），则称为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断：不可能为；等差数列一定是等差比数列；等比数列一定是等差比数列；通项公式（其中，）的数列一定是等差比数列.其中正确的判断为（ ）A.B.C.D.三、解答题（本大题满分76分）17.如图，一只蚂蚁绕一个数值放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为米，圆环的圆心距离地面的高度为米，蚂蚁爬行一圈需要分钟，且蚂蚁的起始位置在最低点处.（1）试写出蚂蚁距离地面的高度（米）关于时刻（分钟）的函数关系式.（2）在蚂蚁绕圆环爬行一圈的时间内，有多长时间蚂蚁距离底面超过米？18.如图，已知圆锥体的侧面积为，底面半径和互相垂直，且，是母线的中点.（1）求圆锥体的体积；（2）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）.19.设常数，若函数存在反函数.（1）求证：，并求出反函数（2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.20.已知是双曲线的两个顶点，点是双曲线上异于的一点，为坐标原点，射线交椭圆于点，设直线的斜率分别为.（1）若双曲线的渐近线方程是，且过点，求的方程.（2）在（1）的条件下，如果，求的面积（3）试问是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.21.定义：若数列满足：存在实数，对任意，都有，则称数列有上界，是的一个上界.已知定理：单调递增有上界的数列收敛（即极限存在）.（1）数列是否存在上界？若存在，试求其所有上界中的最小值；若不存在，请说明理由.（2）若非负数列满足，求证：是非负数列的一个上界，且数列的极限存在，并求其极限.（3）若正项递增数列无上界，证明：存在，当时，恒有.复旦附中2018学年第二学期高三年级期末考试数学试卷参考答案一、填空题1.2.3.4.5.6.或7.8.9.10.11.12.二、选择题13.A 14.B 15.C 16.D三、解答题17.（1）；（2）18.（1）；（2）19.（1）证明略，；（2）20.（1）；（2）；（3）21.（1）；说明略（2）；（3）证明略.