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七宝中学高二期中数学试卷2019.04一. 填空题1. 复数的虚部为 2. 如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点、对应的复数分别是、，则 3. 复数 4. 一个圆柱侧面展开是正方形，它的高与底面直径的比值是 5. 如果复数满足，那么的最小值是 6. 在复数范围内分解因式： 7. 设是复数，表示满足是最小正整数，则 8. 已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，则实数的取值范围是 9. 圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是 10. 已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为 11. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，对于以下命题：（1）若，那么与所成的角和与所成的角相等；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则.其中正确命题的序号是 12. 在四面体中，面与面成60°的二面角，顶点在面上的射影为的垂心，为的重心，若，则 二. 选择题13. 设、是复数，则下列命题中假命题是（ ）A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则14. 设、是两个不同的两个平面，是直线且，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件15. 过平面外一点引斜线段、以及垂线段，若与所成角是30°，则线段长的取值范围是（ ）A. B. C. D. 16. 如图，已知正四面体中，、分别为、上的点，分别记二面角、的平面角为、，则、的大小关系为（ ）A. B. C. D. 三. 解答题17. 已知复数是一元二次方程的一个根.（1）求和的值；（2）若，为纯虚数，求的值.18. 如图，已知正方体的棱长为1.（1）正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线；（2）若、分别是、的中点，求异面直线与所成角的大小.19. 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进门博览会是某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马中，底面.（1）若，斜梁与底面所成角为15°，求立柱的长；（精确到0.01）（2）请证明四面体为鳖臑；若，点为线段上一个动点，求面积的最小值.20. 如图，四棱柱中，侧棱底面，为棱的中点.（1）证明：；（2）求二面角的正弦值；（3）设点为线段上，且直线与平面所成角正弦值为，求线段的长.21. 设，且.（1）已知（），求的值；（2）若，设集合，求复平面内对应的点集表示的曲线的对称轴；（3）若，是否存在，使得数列满足（为常数，且）对一切正整数均成立？若存在，试求出所有的，若不存在，请说明理由.参考答案一. 填空题1. 2. 5 3. 0 4. 5. 16. 7. 4 8. 9. 10. 11. （1）（2）（4） 12. 二. 选择题13. D 14. B 15. C 16. B三. 解答题17.（1）；（2）4.18.（1），；（2）.19.（1）1.52；（2）.20.（1）略；（2）；（3）.21.（1）；（2）；（3）.