2021-2022年收藏的精品资料专题18 解直角三角形备战中考数学典例精做题集教师版.doc

知识精要一、锐角三角函数：在直角三角形ABC中，C是直角1、三角函数定义正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作 余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作 正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作 2、同角三角函数关系公式（1）；（2）；（3） tanA 3、一些特殊角的三角函数值二、解直角三角形由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。若直角三角形ABC中，C90°，那么A、B、C，a，b，c中除C90°外，其余5个元素之间有关系： （l）；（2）A十B90°；（3）； 所以，只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余3个未知数。要点突破1.根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数。2.由平行光线形成的投影：在某一时刻物体高度的比等于影长的比典例精讲例1如图，某超市（大型商场）在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板（一楼的楼顶墙壁）与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.85米，他乘电梯会有碰头危险吗？（sin28o0.47，tan28o0.53）【答案】小敏不会有碰头危险例2如图，一栋居民楼AB的高为16米，远处有一栋商务楼CD，小明在居民楼的楼底A处测得商务楼顶D处的仰角为60°，又在商务楼的楼顶D处测得居民楼的楼顶B处的俯角为45°其中A、C两点分别位于B、D两点的正下方，且A、C两点在同一水平线上，求商务楼CD的高度（参考数据： 1.414， 1.732结果精确到0.1米）【答案】37.9米【解析】过点B作BECD与点E，解直角三角形得出方程，求出方程的解即可解：过点B作BECD与点E，由题意可知DBE=45°，DAC=60°，CE=AB=16，设AC=x，则CD=x，BE=AC=xDE=CDCE=x16BED=90°，DBE=45°，BE=DE，x=x16，x=8+8，CD=x=24+837.9（米）答：商务楼CD的高度为37.9米课堂精练一、单选题1如图，一架长米的梯子AB斜靠在墙上，已知梯子底端B到墙角C的距离为米，设梯子与地面所夹的锐角为，则的值为A B C D 【答案】A 2如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）A 米 B 米 C 米 D 米【答案】A【解析】解：在RtAOB中，AOB=90°，AB=300米，BO=ABsin=300sin米故选A【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB，BO的关系是解题关键3如图，在中，D是AC上一点，若，则AD的长为A 2 B 4 C D 【答案】A4如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，ACB=50°，则拉线AC的长为（）A B C 6cos50° D 【答案】B 5河堤的横截面如图所示，堤高BC是5米，迎水坡AB的长是13米那么斜坡AB的坡度i是（ ）A 1：3 B 1：2.6 C 1：2.4 D 1：2【答案】C【解析】在RtABC中，根据勾股定理求得AC的长，根据坡面AB的坡比即为BAC的正切即可求解.解：在RtABC中，BC=5米，AB=13米，根据勾股定理得AC=12米，AB的坡度i=.故选C.6小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等小明将PB拉到PB的位置，测得 （为水平线），测角仪的高度为1米，则旗杆PA的高度为( )A B C D 【答案】A 7如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为、，如果此时热气球C处的高度CD为100m，点A、D、B在同一直线上，则A、B两点的距离是A 200m B C D 【答案】D【解析】先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为、可求出与的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据即可得出结论解：从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为、，是等腰直角三角形，在中，故选D8如图，要焊接一个等腰三角形钢架,钢架的底角为35°,高CD长为3米,则斜梁AC长为（ ）米A B C 3sin35° D 【答案】D 9如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30日，在A点测得D点的仰角，在B点测得D点的仰角为，测得甲、乙这两座建筑物的高度分别为米A ，30 B 30， C ，30 D ，【答案】D【解析】在中可求得CD的长，即求得乙的高度，延长AE交CD于F，则，求得，在中可求得DF，则可求得CF的长，即可求得甲的高度解：延长AE交CD于F，则， 10如图，在中，点D是CB延长线上的一点，且，则的值为A B C D 【答案】A【解析】通过解直角得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求的值解：如图，在中，故选：A11如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是.测得， ， ，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆的高度 为（ ）A B C D 【答案】B由题意得E=30°，EF=2，BE=BC+CF+EF=6+4，AB=BE×tanE=（6+4）×=（2+4）米，即电线杆的高度为（2+4）米故选B.本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键12如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）A 24m B 22m C 20m D 18m【答案】A二、填空题13如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为_m（精确到0.1m参考数据：sin53°0.80，cos53°0.60，tan53°1.33）【答案】9.5【解析】解：过D作DEAB，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，ADE53°，BCDE6m，AEDEtan53°6×1.337.98m，ABAEBEAECD7.981.59.48m9.5m，故答案为：9.5 14如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度，已知在离地面900米高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为和，则隧道AB的长为_米结果保留根号【答案】15如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为，底部点C的俯角为，则楼房CD的高度为_【答案】 16如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，仰角是30°.n s后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n s中上升的高度为_km.【答案】202017小强和小明去测量一座古塔的高度，如图，他们在离古塔60 m处( A )用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高 AD 1.5 m，则古塔BE的高为_m 【答案】20+1.5【解析】过点A作AFBE于点F，则AF=DE=60，EF=AD=1.5，BAF=30°，因为tanBAF=，所以=，所以BF=20，则BE=BF+EF=20+1.5，故答案为（20+1.5）.18根据图中所给的数据，求得避雷针 CD 的长约为_m(结果精确到0.01 m) 【答案】4.86三、解答题19如图，某游客在山脚下乘览车上山导游告知，索道与水平线成角为，览车速度为60米分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度BC精确到1米参考数据：，【答案】山的高度BC约为422米.【解析】由题意可得，米，根据的正弦可求出BC的值解：由题意可知，       在中，           ，米       答：山的高度BC约为422米【点睛】运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题解题关键是运用:正弦等于对边比斜边20郑州市某中学周一举行升国旗仪式，小红站在队伍的第一排排头CD处，小明站在队伍的最后一排EF处，随着国歌响起，五星红旗冉冉升起，当国旗升至旗杆AB的顶端时，小红目视国旗的仰角是，小明目视国旗的仰角为，已知小红的眼睛与地面的距离CD是，小明的眼睛与地面的距离EF是，两人相距10m且位于旗杆同侧点B，D，F在同一条直线上请求出旗杆AB的高度参考数据：结果保留整数【答案】旗杆AB的高度15米在中，解得，米答：旗杆AB的高度15米21如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：1.41，1.73）【答案】A处与灯塔B相距109海里 22两栋居民楼之间的距离CD=30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部【答案】（1）此刻B楼的影子落在A楼的第5层；（2）当太阳光线与水平面的夹角为45度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部（2）连接BC，BD=3×10=30=CD，BCD=45°，答：当太阳光线与水平面的夹角为45度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部23如图，张明同学想测量某铜像的高度，已知铜像（图中）高度比底座（图中）高度多1米，张明随后用高度为1米的测角仪（图中）测得铜像顶端点的仰角51°24，底座顶端点的仰角26°36请你帮助张明算出铜像AB的高度（把铜像和底座近似看在一条直线上它的抽象几何图形如左图）（参考数据：sin26°360.45, cos26°360.89，tan26°360.5，sin51°240.78,cos51°240.6，tan51°241.25）【答案】6米24如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A,C,E在同一直线上.（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；（2）求斜坡CD的长度.【答案】（1）坡底C点到大楼距离AC的值为20米；（2）斜坡CD的长度为80-120米.（2）过点D作DFAB于点F，则四边形AEDF为矩形，AF=DE，DF=AE.设CD=x米，在RtCDE中，DE=x米，CE=x米在RtBDF中，BDF=45°，BF=DF=AB-AF=60-x（米）DF=AE=AC+CE，20+x=60-x解得：x=80-120（米）故斜坡CD的长度为（80-120）米.25如图，甲、乙两数学兴趣小组测量山CD 的高度. 甲小组在地面A处测量，乙小组在上坡B处测量，AB=200 m. 甲小组测得山顶D的仰角为45°，山坡B处的仰角为30°；乙小组测得山顶D 的仰角为58°. 求山CD的高度（结果保留一位小数）参考数据：，供选用.【答案】山高约为295.2 m.EC=BF=100米，设BE=x米，则FC=x米，在RtDBE中，DBE=58°，DE=tan58°BE=1.6x（米），DAC=45°，C=90°，ADC=45°，AC=DC，AC=AF+FC=（100+x）米，DC=DE+EC=（1.6x+100）米，解得：x=122，DC=DE+EC=1.6×122+100=295.2（米）；答：山的高度BC约为295.2米26如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高是米，坡面的倾斜角，在距点米处有一建筑物.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角，若新坡面下处与建筑物之间需留下至少米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）.（参考数据：，）【答案】该建筑物需要拆除. 27为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，EAC=130°，求水坝原来的高度BC（参考数据：sin50°0.77，cos50°0.64，tan50°1.2）【答案】水坝原来的高度为12米28高为12.6米的教学楼ED前有一棵大树AB（如图）（1）某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=2.4米，DF=7.2米，求大树AB的高度 （2）用皮尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求：在图2上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m 、n 表示，角度用希腊字母、 表示）； 根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB高度（用字母表示） 【答案】（1）4.2米；（2）AB=（m tanh）米.【解析】（1）首先根据平行线的性质判断出，得到比例关系式，可求得的值；（2）根据题意，设计测量方法，要求符合三角函数的定义，且易于操作即可.解：连接AC、EF，（1）太阳光线是平行线，ACEF，ACB=EFDABC=EDF=90°，ABCEDF，AB=4.2答：大树AB的高是4.2米（2）（方法一）如图，MG=BN=m，AG=mtanAB=（mtan+h）米 29如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BEAC，CEBD，BE与CE交于点E（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）当ABD=60°，AD=2时，求EDB的正切值【答案】（1）证明见解析；（2） 30如图，在中，以AC为直径作交BC于点D，过点D作于点E，交AC的延长线于点F求证：EF与相切；若，求EB的长【答案】证明见解析【解析】如图，欲证明EF与相切，只需证得通过解直角可以求得设的半径为r，由已知可得FODFAE，继而得到， 由知，在中，则，FODFAE，设的半径为r，28