2021-2022年收藏的精品资料专题06 图形运动中的计算说理问题解析版.doc

玩转压轴题，争取满分之备战2018年中考数学解答题高端精品专题六 图形运动中的计算说理问题【考题研究】从近几年的中考试题来分析，简单的论证与单独的计算已经开始从考题中离去，推理与计算的融合已经成为了近期的考题重点，这种问题主要从计算能力和推理能力进行综合考查，也成为了考题中的压轴之题，从而进行专题压轴训练也是非常重要的。【解题攻略】计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值压轴题中的代数计算题，主要是函数类题函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y，得到关于x的一元二次方程，然后根据确定交点的个数 【解题类型及其思路】我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法如图1，已知直线yx1与x轴交于点A，抛物线yx22x3与直线yx1交于A、B两点，求点B的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A的坐标，另一个解计算点的坐标几何法是这样的：设直线AB与y轴分别交于C，那么tanAOC1作BEx轴于E，那么设B(x, x22x3)，于是请注意，这个分式的分子因式分解后，这个分式能不能约分，为什么？因为x1的几何意义是点A，由于点B与点A不重合，所以x1，因此约分以后就是x31这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便 【典例指引】类型一 【计算说理盈利问题】 典例指引1某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x0，每件的售价为18万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1n12），符合关系式x=2n22kn+9（k+3）（k为常数），且得到了表中的数据 月份n（月） 1 2 成本y（万元/件） 11 12 需求量x（件/月） 120 100（1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；（2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；（3）在这一年12个月中，若第m个月和第（m+1）个月的利润相差最大，求m【解答】解：（1）由题意，设y=a+，由表中数据可得：，解得：，y=6+，由题意，若12=18（6+），则=0，x0，0，不可能；（2）将n=1、x=120代入x=2n22kn+9（k+3），得：120=22k+9k+27，解得：k=13，x=2n226n+144，将n=2、x=100代入x=2n226n+144也符合，k=13；由题意，得：18=6+，解得：x=50，50=2n226n+144，即n213n+47=0，=（13）24×1×470，方程无实数根，不存在；（3）第m个月的利润为W，来源:学|科|网Z|X|X|KW=x（18y）=18xx（6+）=12（x50）=24（m213m+47），第（m+1）个月的利润为W=24（m+1）213（m+1）+47=24（m211m+35），若WW，WW=48（6m），m取最小1，WW取得最大值240；若WW，WW=48（m6），由m+112知m取最大11，WW取得最大值240；m=1或11【名师点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意准确梳理所涉变量，并熟练掌握待定系数法求函数解析式、利润的相等关系列出解析式是解题的关键【举一反三】荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？学科网（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m7）元给村里的特困户在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围【解析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；（2）设日销售利润为w，分1t40和41t80两种情况，根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；（3）求出w=2400时x的值，结合函数图象即可得出答案；（4）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1t40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案【解答】解：（1）设解析式为y=kt+b，将（1，198）、（80，40）代入，得：，解得：，y=2t+200（1x80，t为整数）；（3）由（2）得：当1t40时，w=（t30）2+2450，令w=2400，即（t30）2+2450=2400，解得：t1=20、t2=40，由函数w=（t30）2+2450图象可知，当20t40时，日销售利润不低于2400元，而当41t80时，w最大=23012400，t的取值范围是20t40，共有21天符合条件（4）设日销售利润为w，根据题意，得：w=（t+166m）（2t+200）=t2+（30+2m）t+2000200m，其函数图象的对称轴为t=2m+30，w随t的增大而增大，且1t40，由二次函数的图象及其性质可知2m+3040，解得：m5，又m7，5m7类型二 【计算解决图形的几何变换问题】 典例指引2如图，四边形ABCO为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为（1，2），将此矩形绕点O顺时针旋转90°得矩形DEFO，抛物线y=x2+bx+c过B，E两点（1）求此抛物线的函数关系式（2）将矩形ABCO向左平移，并且使此矩形的中心在此抛物线上，求平移距离（3）将矩形DEFO向上平移距离d，并且使此抛物线的顶点在此矩形的边上，则d的值是或【解析】（1）待定系数法即可解决问题（2）矩形ABCO的中心坐标为（，1），可得1=x2+x+，解得x=或2，所以平移距离d=（）=（3）求出顶点坐标，点E坐标，即可解决问题【解答】解：（1）由题意，点E的坐标为（2，1），则，解得，此抛物线的解析式为y=x2+x+（2）矩形ABCO的中心坐标为（，1），1=x2+x+，解得x=或2，平移距离d=（）=【名师点睛】本题考查二次函数与几何变换，矩形的性质旋转变换、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型学科=网【举一反三】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx24mx+4m+4（m0）的顶点为PP，M两点关于原点O成中心对称（1）求点P，M的坐标；（2）若该抛物线经过原点，求抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿x轴翻折，翻折后的图象在0x5的部分记为图象H，点N为抛物线对称轴上的一个动点，经过M，N的直线与图象H有两个公共点，结合图象求出点N的纵坐标n的取值范围【解析】（1）将抛物线解析式转化为顶点式，易得点P的坐标；结合关于原点对称的点的特征写出点M的坐标；（2）把原点代入函数解析式求得m的值；（3）翻折后顶点坐标为（2，4）；结合图象解答（3）翻折后顶点坐标为（2，4）；当直线过（5，5）时可算出n=，所以4n类型三 【计算解决特殊三角形的存在性问题】 典例指引3（2017年四川攀枝花中考）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，B点坐标为（3，0）与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；学!科网（3）点D为抛物线对称轴上一点当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；若BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）易得BC的解析式为y=x+3，先证明ECF为等腰直角三角形，作PHy轴于H，PGy轴交BC于G，如图1，则EPG为等腰直角三角形，PE=PG，设P（t，t24t+3）（1t3），则G（t，t+3），接着利用t表示PF、PE，所以PE+EF=2PE+PF= ，然后利用二次函数的性质解决问题；（3）如图2，抛物线的对称轴为直线x=2，设D（2，y），利用两点间的距离公式得到BC2=18，DC2=4+（y3）2，BD2=1+y2，讨论：当BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，18+4+（y3）2=1+y2；当BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，4+（y3）2=1+y2+18，分别解方程求出t即可得到对应的D点坐标；由于BCD是以BC为斜边的直角三角形有4+（y3）2+1+y2=18，解出y的值，得到此时D点的坐标，然后结合图形可确定BCD是锐角三角形时点D的纵坐标的取值范围试题解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入得： ，解得： ，抛物线的解析式为；（3）如图2，抛物线的对称轴为直线x=2，设D（2，y），则BC2=32+32=18，DC2=4+（y3）2，BD2=（32）2+y2=1+y2，当BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y3）2=1+y2，解得y=5，此时D点坐标为（2，5）；当BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+（y3）2=1+y2+18，解得y=1，此时D点坐标为（2，1）；综上所述：D点坐标为（2，5）或（2，1）当BCD是以BC为斜边的直角三角形时，DC2+DB2=BC2，即4+（y3）2+1+y2=18，解得y1=，y2=，此时D点坐标为（2， ）或（2， ），所以BCD是锐角三角形，点D的纵坐标的取值范围为y5或1y【名师点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想和数形结合的思想解决数学问题【举一反三】如图，已知抛物线y=+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为（2，0）（1）求抛物线的解析式；来源:Zxxk.Com（2）连接AC、BC，求线段BC所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标再利用待定系数法求出直线BD的解析式；（3）本问为存在型问题若ACP为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解解：（1）抛物线y=x2+bx+4的图象经过点A（2，0），×（2）2+b×（2）+4=0，解得：b=，抛物线解析式为 y=x2+x+4，又y=x2+x+4=（x3）2+，对称轴方程为：x=3（2）在y=x2+x+4中，令x=0，得y=4，C（0，4）；学科-网令y=0，即x2+x+4=0，整理得x26x16=0，解得：x=8或x=2，A（2，0），B（8，0）设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得： ，直线BC的解析式为：y=x+4（3）存在，理由：抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点P（3，t），A（2，0），C（0，4），AC=2，AQ=，CQ=当AQ=CQ时，有=，25+t2=t28t+16+9，解得t=0，P1（3，0）；当AC=AP时，有2=，t2=5，此方程无实数根，此时ACP不能构成等腰三角形；当AC=CP时，有2=，整理得：t28t+5=0，解得：t=4±，点P坐标为：P2（3，4+），P3（3，4）综上所述，存在点P，使ACP为等腰三角形，点P的坐标为：P1（3，0），P2（3，4+），P3（3，4）【名师点睛】本题是一道二次函数综合题.存在性是本题的难点，而突破难点的关键在于要利用分类思想进行解题.类型四 【计算解决图形面积的最值问题】 典例指引4在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y=a（xh）2+k的伴随直线为y=a（xh）+k例如：抛物线y=2（x+1）23的伴随直线为y=2（x+1）3，即y=2x1（1）在上面规定下，抛物线y=（x+1）24的顶点坐标为 ，伴随直线为 ，抛物线y=（x+1）24与其伴随直线的交点坐标为 和 ；（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m（x1）24m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的右侧），与x轴交于点C，D学！科网若CAB=90°，求m的值；如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值【解析】（1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标；（2）可先用m表示出A、B、C、D的坐标，利用勾股定理可表示出AC2、AB2和BC2，在RtABC中由勾股定理可得到关于m的方程，可求得m的值；由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，过P作x轴的垂线交BC于点Q，则可用x表示出PQ的长，进一步表示出PBC的面积，利用二次函数的性质可得到m的方程，可求得m的值【解答】解：（1）y=（x+1）24，顶点坐标为（1，4），由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=（x+1）4，即y=x3，联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，其交点坐标为（0，3）和（1，4），故答案为：（1，4）；y=x3；（0，3）；（1，4）；AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2，CAB=90°，AC2+AB2=BC2，即4+16m2+1+m2=9+9m2，解得m=（抛物线开口向下，舍去）或m=，当CAB=90°时，m的值为；设直线BC的解析式为y=kx+b，B（2，3m），C（1，0），解得，直线BC解析式为y=mxm，过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图，点P的横坐标为x，P（x，m（x1）24m），Q（x，mxm），P是直线BC上方抛物线上的一个动点，来源:学科网ZXXKPQ=m（x1）24m+mx+m=m（x2x2）=m（x）2，SPBC=×（2（1）PQ=（x）2m，当x=时，PBC的面积有最大值m，S取得最大值时，即m=，解得m=2【名师点睛】本题为二次函数综合题，涉及待定系数法、二次函数的性质、函数图象的交点、勾股定理、方程思想等知识在（1）中注意伴随直线的定义的理解，在（2）中分别求得A、B、C、D的坐标是解题的关键，在（2）中用x表示出PBC的面积是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中【举一反三】抛物线y=4x22ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0x1x2）两点，与y轴交于点C（1）设AB=2，tanABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当BCD的面积最大时，求点D的坐标；（3）是否存在整数a，b使得1x12和1x22同时成立，请证明你的结论【解析】（1）由tanABC=4，可以假设B（m，0），则A（m2，0），C（0，4m），可得抛物线的解析式为y=4（xm）（xm+2），把C（0，4m）代入y=4（xm）（xm+2），求出m的值即可解决问题；（2）设P（m，4m216m+12）作PHOC交BC于H，根据SPBC=SPHC+SPHB构建二次函数，理由二次函数的性质解决问题；（3）不存在假设存在，由题意由题意可知，且12，首先求出整数a的值，代入不等式组，解不等式组即可解决问题（2）如图，设D（m，4m216m+12）作DHOC交BC于HB（3，0），C（0，12），直线BC的解析式为y=4x+12，H（m，4m+12），SDBC=SDHC+SDHB=（4m+124m2+16m12）3=6（m）2+，60，m=时，DBC面积最大，此时D（，3）（3）不存在理由：假设存在由题意可知，且12，4a8，a是整数，a=5 或6或7，当a=5时，代入不等式组，不等式组无解当a=6时，代入不等式组，不等式组无解当a=7时，代入不等式组，不等式组无解综上所述，不存在整数a、b，使得1x12和1x22同时成立【新题训练】1已知二次函数y1=a（x2）2+k中，函数y1与自变量x的部分对应值如表：x1234y2125（1）求该二次函数的表达式；（2）将该函数的图象向左平移2个单位长度，得到二次函数y2的图象，分别在y1、y2的图象上取点A（m，n1）B（m+1，n2），试比较n1与n2的大小【解析】（1）找出顶点（2，1）代入一个点可求得二次函数的表达式；（2）分别把A、B两点的坐标代入表达式中，求出对应的n1和n2的值，比较大小即可【解答】解：（1）从表格看，二次函数顶点为（2，1），则k=1，把（1，2）代入y1=a（x2）2+1中得：2=a（12）2+1，a=1，二次函数的表达式；y1=（x2）2+1；（2）由题意得：y2=（x2+2）2+1=x2+1，把A（m，n1）B（m+1，n2）分别代入y1、y2的表达式中，n1=（m2）2+1=m24m+5，n2=（m+1）2+1=m2+2m+2，n1n2=（m24m+5）（m2+2m+2）=6m+3，6m+30，m，6m+30，m，当m时，n1n20，即n1n2，当m=时，n1n2=0，即n1=n2，当m时，n1n20，即n1n22.如图，抛物线y=a（x1）（x3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设SBCD：SABD=k，求k的值；学科-网（3）当BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式【解析】（1）令x=0可求得C点坐标，化为顶点式可求得D点坐标；（2）令y=0可求得A、B的坐标，结合D点坐标可求得ABD的面积，设直线CD交x轴于点E，由C、D坐标，利用待定系数法可求得直线CD的解析式，则可求得E点坐标，从而可表示出BCD的面积，可求得k的值；（3）由B、C、D的坐标，可表示出BC2、BD2和CD2，分CBD=90°和CDB=90°两种情况，分别利用勾股定理可得到关于a的方程，可求得a的值，则可求得抛物线的解析式【解答】解：（1）在y=a（x1）（x3），令x=0可得y=3a，C（0，3a），来源:学+科+网y=a（x1）（x3）=a（x24x+3）=a（x2）2a，D（2，a）；（2）在y=a（x1）（x3）中，令y=0可解得x=1或x=3，A（1，0），B（3，0），AB=31=2，SABD=×2×a=a，如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，把C、D的坐标代入可得，解得，直线CD解析式为y=2ax+3a，令y=0可解得x=，E（，0），BE=3=SBCD=SBEC+SBED=××（3a+a）=3a，SBCD：SABD=（3a）：a=3，k=3；当CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=（舍去）或a=，此时抛物线解析式为y=x22x+；综上可知当BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x24x+3或y=x22x+3如图，已知二次函数y=x24的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，C的半径为，P为C上一动点（1）点B，C的坐标分别为B（ ），C（ ）；（2）是否存在点P，使得PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=【解析】（1）在抛物线解析式中令y=0可求得B点坐标，令x=0可求得C点坐标；（2）当PB与相切时，PBC为直角三角形，如图1，连接BC，根据勾股定理得到BC=5，BP2=2，过P2作P2Ex轴于E，P2Fy轴于F，根据相似三角形的性质得到=2，设OC=P2E=2x，CP2=OE=x，得到BE=3x，CF=2x4，于是得到FP2=，EP2=，求得P2（，），过P1作P1Gx轴于G，P1Hy轴于H，同理求得P1（1，2），当BCPC时，PBC为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；（3）如图3中，连接AP，OB=OA，BE=EP，推出OE=AP，可知当AP最大时，OE的值最大，【解答】解：（1）在y=x24中，令y=0，则x=±3，令x=0，则y=4，B（3，0），C（0，4）；故答案为：3，0；0，4；（2）存在点P，使得PBC为直角三角形，当PB与相切时，PBC为直角三角形，如图（2）a，连接BC，OB=3OC=4，BC=5，CP2BP2，CP2=，BP2=2，过P2作P2Ex轴于E，P2Fy轴于F，则CP2FBP2E，四边形OCP2B是矩形，=，设OC=P2E=2x，CP2=OE=x，BE=3x，CF=2x4，=2，x=，2x=，FP2=，EP2=，P2（，），过P1作P1Gx轴于G，P1Hy轴于H，同理求得P1（1，2），当BCPC时，PBC为直角三角形，过P4作P4Hy轴于H，则BOCCHP4，=，CH=，P4H=，P4（，4）；同理P3（，4）；综上所述：点P的坐标为：（1，2）或（，）或（，4）或（，4）；学科网（3）如图（3），连接AP，OB=OA，BE=EP，OE=AP，当AP最大时，OE的值最大，当P在AC的延长线上时，AP的值最大，最大值=5+，OE的最大值为故答案为：4如图，抛物线y=x2+bx+c与直线AB交于A（4，4），B（0，4）两点，直线AC：y=x6交y轴于点C点E是直线AB上的动点，过点E作EFx轴交AC于点F，交抛物线于点G（1）求抛物线y=x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；在的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为E上一动点，求AM+CM它的最小值【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；（3）先判断出要以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，只有EF为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；先取EG的中点P进而判断出PEMMEA即可得出PM=AM，连接CP交圆E于M，再求出点P的坐标即可得出结论【解答】解：（1）点A（4，4），B（0，4）在抛物线y=x2+bx+c上，抛物线的解析式为y=x22x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），G（m，m22m+4），四边形GEOB是平行四边形，EG=OB=4，m22m+42m4=4，m=2，G（2，4）；（3）如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，设E（a，2a+4），直线AC：y=x6，F（a，a6），设H（0，p），以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=x6，ABAC，EF为对角线，（4+0）=（a+a），（4+p）=（2a+4a6），a=2，P=1，E（2，0）H（0，1）；如图2，由知，E（2，0），H（0，1），A（4，4），EH=，AE=2，设AE交E于G，取EG的中点P，PE=，连接PC交E于M，连接EM，EM=EH=，=，=，=，PEM=MEA，PEMMEA，PM=AM，AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），E（2，0），PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，PE=，5（p+2）2=，p=或p=（由于E（2，0），所以舍去），P（，1），C（0，6），PC=，即： AM+CM=5已知抛物线的解析式为y=x2+bx+5（1）当自变量 x2时，函数值y 随 x的增大而减少，求b 的取值范围；（2）如图，若抛物线的图象经过点A（2，5），与x 轴交于点C，抛物线的对称轴与x 轴交于B求抛物线的解析式；学-科网在抛物线上是否存在点P，使得PAB=ABC？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）由题意可知：对称轴只需要小于或等于2即可，从而可求出b的范围；（2）将A代入抛物线解析式即可求出b的值由于PAB=ABC，且P在抛物线上，故需要对P的位置进行分类讨论即可【解答】解：（1）抛物线的对称轴为：x=10b，由题意可知：x2时，函数值y 随 x的增大而减少，10b2，b；（2）将A（2，5）代入抛物线的解析式中，5=×4+2b+5，b=，抛物线的解析式为：y=x2+x+5，由于PAB=ABC，当P在对称轴的左侧时，此时PAB=ABC，PABC，P的纵坐标与A的纵坐标相同，P（0，5），当P在对称轴的右侧时，连接AP并延长交x轴于E，此时PAB=ABCAE=BE，过点A作AGx轴于点G，过点P作PHx轴于点H，过点E作EFAB于点F，B（1，0），A（2，5），AG=5，BG=1，由勾股定理可知：AB=，AE=BE，EFAB，BF=AB=，cosABC=，cosABC=，BE=13，GE=BEBG=12，tanPEG=，设P（x，x2+x+5），E（14，0），HE=14x，PH=x2+x+5，tanPEG=，即=，解得：x=2（舍去）或x=，P（，）综上所述，P（0，5）或P（，）6如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限当线段PQ=AB时，求tanCED的值；当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标【解析】（1）利用抛物线的对称轴方程可计算出b=2，再把C（0，3）代入抛物线解析式可得到c=3，所以抛物线的函数表达式为y=x22x3；（2）根据抛物线与x轴的交点问题得到A（1，0），B（3，0），然后利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；（3）由AB=4得PQ=AB=3，根据抛物线的对称性得到P点和Q点关于直线x=1对称，则P（，），所以F（0，），则FC=3OF=，由于PQ垂直平分CE于点F，则CE=2FC=，易得D（1，2），过点D作DGCE于点G，如图1，则DG=1，CG=1，所以GE=CE=CG=，然后在RtEGD中，利用正切的定义求解；设E（0，t），利用两点间的距离公式得到DE2=12+（t+2）2，CD2=12+（2+3）2=2，EC2=（t+3）2，然后分类讨论：当CDE=90°时，DE2+CD2=EC2，即12+（t+2）2+2=（t+3）2；当CED=90°时，DE2+CE2=CD2，即12+（t+2）2+（t+3）2=2；当ECD=90°时，CD2+CE2=DE2，即2+（t+3）2=12+（t+2）2，再分别解方程求出t确定E点坐标，然后根据二次函数图象上点的坐标特征确定P点坐标（3）AB=4，PQ=AB=3，PQy轴，PQx轴，P点和Q点关于直线x=1对称，P点的横坐标为，当x=时，y=x22x3=，P（，），F（0，），FC=3OF=3=，PQ垂直平分CE于点F，CE=2FC=，当x=1时，y=2，则D（1，2），过点D作DGCE于点G，如图1，DG=1，CG=1，GE=CE=CG=1=，在RtEGD中，tanCED=；设E（0，t），DE2=12+（t+2）2，CD2=12+（2+3）2=2，EC2=（t+3）2，当CDE=90°时，DE2+CD2=EC2，即12+（t+2）2+2=（t+3）2，解得t=1，此时P（12，2）；当CED=90°时，DE2+CE2=CD2，即12+（t+2）2+（t+3）2=2，解得t1=2，t2=3（舍去），此时P（1，）；学=科网当ECD=90°时，CD2+CE2=DE2，即2+（t+3）2=12+（t+2）2，解得t=3（舍去），综上所述，P嗲坐标为（1，2）或（1，）；7探索与计算：在ABC中，BEAC于点E，CDAB于点D，连接DE（1）如图1，若A=45°，AB=AC，BC=4，求DE的长（2）如图2，若A=60°，AB与AC不相等，BC=4，求DE的长猜想与证明：（3）根据（1）（2）所求出的结果，猜想DE、BC以及A之间的数量关系，并证明拓展与应用：（4）如图3，在ABC中，AB=BC=5，AC=2，BEAC于点E，CDAB于点D，AFBC于点F，求DEF的周长【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AE=BE=AB，根据相似三角形的判定定理得到ADEABC，根据相似三角形的性质计算；（2）根据直角三角形的性质得到AE=AB，AD=AC，根据相似三角形的判定定理得到ADEACB，根据相似三角形的性质计算；（3）根据余弦的概念、相似三角形的判定和性质解答；（4）根据（3）的结论、三角形的面积公式、勾股定理计算即可【解答】解：（1）BEAC，A=45°，AE=BE=AB，同理，AD=CD=AC，AB=AC，AE=AD，=，又A=A，ADEABC，=，DE=2；（2）BEAC，A=60°，AE=AB，同理，AD=AC，=，又A=A，ADEACB，=，DE=BC=2；（4）AB=BC=5，AC=2，BEAC，AE=EC=，由勾股定理得，BE=2，BC×AF=AC×BE，AF=4，由勾股定理得，BF=3，cosABC=，cosACB=cosBAC=，EF=DE=ABcosACB=，DF=ACcosABC=，DEF的周长=DE+EF+DF=8如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax22ax3a（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为，求a的值；（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由【解析】（1）解方程即可得到结论；（2）根据直线l：y=kx+b过A（1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EFy轴交直线l于F，设E（x，ax22ax3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax2