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中考总复习：图形的变换-知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质.4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】【考点梳理】考点一、平移变换1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小【要点诠释】（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据2平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等【要点诠释】（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据考点二、轴对称变换1轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点.轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2轴对称变换的性质关于直线对称的两个图形是全等图形.如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.3轴对称作图步骤找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.考点三、旋转变换1旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.旋转作图步骤分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.分析所作图形，找出构成图形的关键点.沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 按原图形连结方式顺次连结各对应点.中心对称与中心对称图形中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.5中心对称作图步骤 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.【要点诠释】图形变换与图案设计的基本步骤确定图案的设计主题及要求；分析设计图案所给定的基本图案；利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；对图案进行修饰，完成图案.【典型例题】类型一、平移变换1.如图1，两个等边ABD，CBD的边长均为1，将ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，得到图2，则阴影部分的周长为_. 【思路点拨】根据两个等边ABD，CBD的边长均为1，将ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=AD+CD=1+1=2，即可得出答案【答案与解析】两个等边ABD，CBD的边长均为1，将ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，AM=AN=MN，MO=DM=DO，OD=DE=OE，EG=EC=GC，BG=RG=RB，OM+MN+NR+GR+EG+OE=AD+CD=1+1=2；【总结升华】此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出AM=AN=MN，MO=DM=DO，OD=DE=OE，EG=EC=GC，BG=RG=RB是解决问题的关键举一反三： 【变式】（2015顺义区一模）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，且 CEBD于点F，将DEC沿从D到A的方向平移，使点D与点A重合，点E平移后的点记为G（1）画出DEC平移后的三角形；（2）若BC=，BD=6，CE=3，求AG的长【答案】解：（1）AGB为DEC平移后的三角形，如下图所示；（2）AGB为DEC平移后的三角形，BG=CE=3，BGCE，CEBD，BGBD在RtBDG中，GBD=90°，BG=3，BD=6，DG=3，四边形ABCD是平行四边形，AD=BC=2，AG=DGAD=32=2如图（1），已知的面积为3，且现将沿CA方向平移CA长度得到.（1）求所扫过的图形面积；（2）试判断，AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若求AC的长.BCA（）FE【思路点拨】（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到SEFA=SBAF=SABC，从而便可得到四边形CEFB的面积；（2）由已知可证得平行四边形EFBA为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF与BE的位置关系为垂直；（3）作BDAC于D，结合三角形的面积求解【答案与解析】（1）由平移的性质得AFBC，且AF=BC，EFAABC四边形AFBC为平行四边形SEFA=SBAF=SABC=3四边形EFBC的面积为9；（2）BEAF证明：由（1）知四边形AFBC为平行四边形BFAC，且BF=AC又AE=CABFAE且BF=AE四边形EFBA为平行四边形又已知AB=ACAB=AE平行四边形EFBA为菱形BEAF；（3）如上图，作BDAC于DBEC=15°，AE=ABEBA=BEC=15°BAC=2BEC=30°在RtBAD中，AB=2BD设BD=x，则AC=AB=2xSABC=3，且SABC=ACBD=2xx=x2x2=3x为正数x=AC=2【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定，平移的性质，菱形的性质等知识点的综合运用及推理计算能力类型二、轴对称变换3（2016贵阳模拟）（1）数学课上，老师出了一道题，如图，RtABC中，C=90°，求证：B=30°，请你完成证明过程（2）如图，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求ADG的度数和AG的长（3）若矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图），当AB=6，求EF的长【思路点拨】（1）RtABC中，根据sinB=，即可证明B=30°；（2）求出FAD的度数，利用翻折变换的性质可求出ADG的度数，在RtA'FD中求出A'F，得出A'E，在RtA'EG中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出AG的长度（3）先判断出AD=AC，得出ACD=30°，DAC=60°，从而求出AD的长度，根据翻折变换的性质可得出DAF=FAO=30°，在RtADF中求出DF，继而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案【答案与解析】（1）证明：RtABC中，C=90°，sinB=，B=30°；（2）解：正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，EA=FD=×边长=1，沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A处，AD=AD=2，=，FAD=30°，可得FDA=90°30°=60°，A沿GD折叠落在A处，ADG=ADG，AG=AG，ADG=15°，AD=2，FD=1，AF=，EA=EFAF=2，EAG+DAF=180°GAD=90°，EAG=90°DAF=90°30°=60°，EGA=90°EAG=90°60°=30°，则AG=AG=2EA=2（2）；（3）解：折叠后B、D两点恰好重合于一点O，AO=AD=CB=CO，DA=，D=90°，DCA=30°，AB=CD=6，在RtACD中，=tan30°，则AD=DCtan30°=6×=2，DAF=FAO=DAO=30°，=tan30°=，DF=AD=2，DF=FO=2，同理EO=2，EF=EO+FO=4【总结升华】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通举一反三：【变式】（2016·松北区模拟）如图（1）是四边形纸片ABCD，其中B=120°，D=50°.若将其右下角向内这出PCR，恰使CPAB，RCAD，如图（2）所示，则C度.【答案】CPR=B=×120°=60°，CRP=D=×50°=25°，C=180°60°25°=95°4. 如图1，矩形纸片ABCD的边长分别为a，b（a<b）将纸片任意翻折（如图2），折痕为PQ（P在BC上），使顶点C落在四边形APCD内一点C，PC的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A，且AM所在直线与PM所在直线重合（如图3），折痕为MN （1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明 （2）若QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，MN间的距离有何变化？请说明理由（3）若QPC的角度在每次翻折的过程中都为45°（如图4），每次翻折后，非重叠部分的四边形MCQD，及四边形BPAN的周长与a，b有何关系，为什么？ （1） （2） （3） （4）【思路点拨】（1）猜想两直线平行，由矩形的对边平行，得到一组内错角相等，翻折前后对应角相等，那么可得到PQ与MN被MP所截得的内错角相等，得到平行（2）作出两直线间的距离PM长相等，NPM是不变的，所以利用相应的三角函数可得到两直线间的距离不变（3）由特殊角得到所求四边形的形状，把与周长相关的边转移到同一线段求解【答案与解析】（1）PQMN四边形ABCD是矩形，ADBC，且M在AD直线上，则有AMBCAMP=MPC由翻折可得：MPQ=CPQ=MPC，NMP=AMN=AMP，MPQ=NMP，故PQMN（2）两折痕PQ，MN间的距离不变过P作PHMN，则PH=PMsinPMH，QPC的角度不变，CPC的角度也不变，则所有的PM都是平行的又ADBC，所有的PM都是相等的又PMH=QPC，故PH的长不变（3）当QPC=45°时，四边形PCQC是正方形，四边形CQDM是矩形CQ=CQ，CQ+QD=a，矩形CQDM的周长为2a同理可得矩形BPAN的周长为2a，两个四边形的周长都为2a，与b无关 【总结升华】翻折前后对应角相等，对应边相等，应注意使用相应的三角函数，平行线的判断，特殊四边形的判定类型三、旋转变换【高清课堂 图形的变换 例4】5已知O是等边三角形ABC内一点，AOB110°，BOC135°，试问：（1）以OA，OB，OC为边能否构成一个三角形?若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；（2）如果AOB的大小保持不变，那么当BOC等于多少度时，以OA，OB，OC为边的三角形是一个直角三角形?【思路点拨】因为ABC是等边三角形，所以可以运用旋转将BCO转至ACD.【答案与解析】（1）以OC为边作等边OCD，连AD. ABC是等边三角形 BCO=ACD (BCO+ACO=60°，ACD+ACO=60°) BC=AC，OC=CD BCOACD (SAS) OB=AD，ADC=BOC又OC=ODOAD是以线段OA，OB，OC为边构成的三角形 AOB=110°, BOC=135° AOC=115° AOD=115°-60°=55° ADC=135° ADO=135°-60°=75° OAD=180°-55°-75°=50° 以线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角是50°、55°、75°.（2）AOB+AOC+BOC=AOB+AOC+ADC =AOB+(AOD+DOC)+(ADO+CDO) =110°+(AOD+60°)+(ADO+60°) =360° AOD+ADO=130° OAD=50° 当AOD是直角时，AOD=90°，AOC=90°+60°=150°，BOC=100°当ADO是直角时，ADC=90°+60°=150°，BOC=150°.【总结升华】此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理等知识，渗透分类讨论思想6 . 如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF2OA，OE2OD，连接EF将EOF绕点O逆时针旋转角得到E1OF1(如图2)(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；(2)当30°时，求证：AOE1为直角三角形【思路点拨】(1)要证AE1BF1，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边； (2)要证AOE1为直角三角形，就要考虑证E1AO90°.【答案与解析】(1)AE1BF1，证明如下： O为正方形ABCD的中心，OAOBOD.OEOF . E1OF1是EOF绕点O逆时针旋转角得到，OE1OF1. AOBEOF900， E1OA900F1OAF1OB. 在E1OA和F1OB中，E1OAF1OB（SAS）. AE1BF1. (2)取OE1中点G，连接AG. AOD900，30° ， E1OA90060°. OE12OA，OAOG， E1OAAGOOAG60°. AGGE1，GAE1GE1A30°. E1AO90°. AOE1为直角三角形.【总结升华】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定.举一反三：【变式】如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a>0).(1)求APB的度数；(2)求正方形ABCD的面积.【答案】(1)将ABP绕点B顺时针方向旋转90°得CBQ. 则ABPCBQ且PBQB. 于是PB=QB=2a，. 在PQC中， ，. . . PBQ是等腰直角三角形， BPQ=BQP=45°. 故APB=CQB=90°+45°=135°.(2) APQ=APB+BPQ=135°+45°=180°， 三点A、P、Q在同一直线上. 在RtAQC中，. 正方形ABCD的面积.