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数学文化数学文化和大一学生谈数学和大一学生谈数学一、数学是什么一、数学是什么l数学作为人类思维的表达形式，反映了人们积极数学作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、严密的推理以及对完美境界的追求。进取的意志、严密的推理以及对完美境界的追求。它的基本要素是：它的基本要素是：逻辑和直观、分析和构造、一逻辑和直观、分析和构造、一般性和个别性。般性和个别性。虽然不同的传统强调不同的侧面，虽然不同的传统强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用以及它然而正是这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成了数学科学的生命、用们综合起来的努力才构成了数学科学的生命、用途和它的崇高价值。途和它的崇高价值。l数学是研究空间形式和数量关系的科学数学是研究空间形式和数量关系的科学.l数学是一切科学的共同语言；是一把打开科学大数学是一切科学的共同语言；是一把打开科学大门的钥匙；是一种门的钥匙；是一种思维工具；思维工具；是一门是一门创造性艺术创造性艺术。二、数学的发展史二、数学的发展史l数学的发展史大致可分为四个数学的发展史大致可分为四个(本质不同的本质不同的)阶段阶段l第一时期第一时期数学形成时期，公元前数学形成时期，公元前5000年，也年，也称为上古时代的数学，这是人类建立最基本的数称为上古时代的数学，这是人类建立最基本的数学概念时期，人们从数数开始逐渐建立了自然数学概念时期，人们从数数开始逐渐建立了自然数的概念，并认识了最简单的几何形式，此时，算的概念，并认识了最简单的几何形式，此时，算术与几何没有分开，彼此紧密交错着。术与几何没有分开，彼此紧密交错着。l第二时期第二时期初等数学（常量数学）时期，这个初等数学（常量数学）时期，这个时期从公元前时期从公元前5世纪到世纪到17世纪，持续了两千多年，世纪，持续了两千多年，这个时期逐渐形成了初等数学的主要分支：这个时期逐渐形成了初等数学的主要分支：算术、算术、几何、代数、三角。几何、代数、三角。希腊、东方、欧洲希腊、东方、欧洲l希腊：公元前希腊：公元前5世纪世纪公元公元6世纪世纪 几何几何几何原本几何原本 代数代数无理数、级数无理数、级数 三角三角正弦表正弦表l东方：公元东方：公元6世纪世纪公元公元15世纪世纪 发明了现代记数法发明了现代记数法,对有理数、无理数进行对有理数、无理数进行 运算，从此，代数走上了发展之路。运算，从此，代数走上了发展之路。 l欧洲：欧洲：16世纪世纪17世纪世纪 解三次方程；引进了虚数；发明了对数；解三次方程；引进了虚数；发明了对数； 制造了现代代数符号。制造了现代代数符号。 第三时期第三时期变量数学时期变量数学时期l到了到了17世纪，随着社会的发展，对运动的研究变世纪，随着社会的发展，对运动的研究变成了自然科学的中心问题成了自然科学的中心问题变量和函数的念，变量和函数的念，变量数学建立的第一步出现在变量数学建立的第一步出现在1637年笛卡尔的年笛卡尔的几何学几何学，变量数学发展的第二步是牛顿和莱，变量数学发展的第二步是牛顿和莱布尼茨在布尼茨在17世纪后半叶建立的微积分，是数学史世纪后半叶建立的微积分，是数学史的分水岭，与此同时，还产生了分析学的另外部的分水岭，与此同时，还产生了分析学的另外部分：级数理论、微分方程、微分几何、复变函数分：级数理论、微分方程、微分几何、复变函数论、概率论，到论、概率论，到19世纪世纪70年代，德国数学家康托年代，德国数学家康托尔建立了集合论，在此基础上又产生了分析的另尔建立了集合论，在此基础上又产生了分析的另一个新分支一个新分支实变函数论，同时集合论的思想实变函数论，同时集合论的思想渗入到数学的所有分支。渗入到数学的所有分支。第四时期第四时期现代数学时期现代数学时期l此阶段不仅表现在现代数学的新领域和高此阶段不仅表现在现代数学的新领域和高层次中，而且还表现在数学向一切科学与层次中，而且还表现在数学向一切科学与社会各阶层的渗透和应用，最具代表的是社会各阶层的渗透和应用，最具代表的是计算机。计算机。l现代数学发展的新趋向：现代数学发展的新趋向：从单变量到多变从单变量到多变量；从线性到非线性；从连续到间断；从量；从线性到非线性；从连续到间断；从精确到模糊；以及计算机的应用。精确到模糊；以及计算机的应用。数学科学数学科学l数学科学按其内容分为五大学科：数学科学按其内容分为五大学科： 纯粹数学纯粹数学 、 应用数学应用数学 、计算机数、计算机数 学、运学、运筹与控制筹与控制 、概率论与数理统、概率论与数理统l核心领域：核心领域： 代数学代数学研究数的领域；研究数的领域； 几何学几何学研究形的领域研究形的领域 分析学分析学沟通数与形且涉及极限运算的沟通数与形且涉及极限运算的理论理论 三、三、 数学危机数学危机l第一次数学危机：发生在公元前第一次数学危机：发生在公元前5世纪世纪的古希腊，以毕达哥拉斯学派为代表，的古希腊，以毕达哥拉斯学派为代表，他们研究数学，倡导他们研究数学，倡导“唯数论唯数论”的哲的哲学观，坚持的信条是学观，坚持的信条是“宇宙间的一宇宙间的一切现象都可归纳为整数或整数与整数切现象都可归纳为整数或整数与整数的比的比”，然而，希伯索斯通过逻辑推然而，希伯索斯通过逻辑推理发现：边长为理发现：边长为1的正方形的对角线不的正方形的对角线不是可比数是可比数,由此引发了第一次数学危机由此引发了第一次数学危机.l历史意义：数学由经验科学变为演绎历史意义：数学由经验科学变为演绎科学科学,证明进入了数学证明进入了数学. l第二次数学危机：第二次数学危机： 发生在发生在17世纪后期，由牛顿和莱布尼茨创建世纪后期，由牛顿和莱布尼茨创建的微积分，构成了数学史上的分水岭和转折的微积分，构成了数学史上的分水岭和转折点，它使常量数学上升到变量数学，在自然点，它使常量数学上升到变量数学，在自然科学中被广泛应用，然而第二次数学危机所科学中被广泛应用，然而第二次数学危机所带来的震动不亚于第一次数学危机，在持续带来的震动不亚于第一次数学危机，在持续的近两百年内的近两百年内,这门科学始终缺乏令人信服的这门科学始终缺乏令人信服的严格的理论基础，存在着明显的逻辑矛盾。严格的理论基础，存在着明显的逻辑矛盾。如对如对 而言，根据牛顿的流数计算法而言，根据牛顿的流数计算法有有2yx 从而在数学界引起混乱，爆发了第二次数从而在数学界引起混乱，爆发了第二次数学危机，最终，经过以法国数学家柯西为学危机，最终，经过以法国数学家柯西为代表的数学家的共同努力，建立了极限理代表的数学家的共同努力，建立了极限理论，并把分析基础归结为对实数理论的研论，并把分析基础归结为对实数理论的研究，分析基础的逻辑顺序是：实数系究，分析基础的逻辑顺序是：实数系极极限论限论微积分，所以第一次数学危机和第微积分，所以第一次数学危机和第二次数学危机几乎同时在二次数学危机几乎同时在19世纪消除。世纪消除。 历史意义：微积分是数学史上的分水岭历史意义：微积分是数学史上的分水岭与转折点，它将常量数学发展到变量数学。与转折点，它将常量数学发展到变量数学。第三次数学危机：第三次数学危机：l17世纪、世纪、18世纪是近代数学蓬勃发展的、广为开世纪是近代数学蓬勃发展的、广为开拓的世纪，拓的世纪，19世纪则是数学走向更加成熟的世纪世纪则是数学走向更加成熟的世纪,然而在然而在1902年，著名的哲学家、数学家罗素发现年，著名的哲学家、数学家罗素发现了了集合论概念本身也出现了矛盾集合论概念本身也出现了矛盾，通俗的说，即，通俗的说，即宇宙是由一切事物组成的集合，而宇宙本身也是宇宙是由一切事物组成的集合，而宇宙本身也是一个事物，所以宇宙也属于这个集合，这是不可一个事物，所以宇宙也属于这个集合，这是不可理解的，由此产生了第三次数学危机，和前两危理解的，由此产生了第三次数学危机，和前两危机一样，数学家们不断寻找摆脱危机的出路，最机一样，数学家们不断寻找摆脱危机的出路，最终选择了建立某种公理系统终选择了建立某种公理系统,以排除这些悖论以排除这些悖论,同同时继续对集合论思想方法加以改造时继续对集合论思想方法加以改造,并进行广泛的并进行广泛的应用，所以说第三次数学危机算是过去了，但并应用，所以说第三次数学危机算是过去了，但并非决对没有问题了。非决对没有问题了。四、数学的特征四、数学的特征l1. 应用性应用性 数学几乎不直接考虑应用，它研究数，并非是数学几乎不直接考虑应用，它研究数，并非是工厂、农村、商人那来的数，它考虑形，也并工厂、农村、商人那来的数，它考虑形，也并非从钢铁制品或木制品那里得来的形，但它却非从钢铁制品或木制品那里得来的形，但它却一直在扩张，扩张到十分广泛的非数领域，似一直在扩张，扩张到十分广泛的非数领域，似乎远离了应用，可正是这种特性，当它重新回乎远离了应用，可正是这种特性，当它重新回到应用中去的时候，几乎可以进入到任何领域，到应用中去的时候，几乎可以进入到任何领域，数学与应用的这种数学与应用的这种“远离远离”与与“贴近贴近”正是哲正是哲学思想的渗透，它考虑的是更一般，更本质的学思想的渗透，它考虑的是更一般，更本质的问题，所以才能在更广阔的范围内进入应用。问题，所以才能在更广阔的范围内进入应用。2、抽象性、抽象性 数学的抽象性表现在以下四个方面：数学的抽象性表现在以下四个方面：l（1）抽象并非数学所特有的）抽象并非数学所特有的l（2）数学抽象的特殊性）数学抽象的特殊性l（3）数学抽象是一个历史过程）数学抽象是一个历史过程l（4）数学抽象的方法）数学抽象的方法 （1）抽象并非数学所特有的）抽象并非数学所特有的 科学意义上的概念科学意义上的概念,它本身的形成就是一它本身的形成就是一个抽象过程，概念是对事物进行分析的结个抽象过程，概念是对事物进行分析的结果果,在分析过程中，抓住事物特有的属性，在分析过程中，抓住事物特有的属性，同时舍弃一些不反映特性的部分。同时舍弃一些不反映特性的部分。 例如：生活中的人，物理中的力，画家笔例如：生活中的人，物理中的力，画家笔下的苹果下的苹果l（2）数学抽象的特殊性）数学抽象的特殊性 几乎每个学生都会说，数学最抽象，原因很简几乎每个学生都会说，数学最抽象，原因很简单，因为它们的对象不同，如物理中的力、电，单，因为它们的对象不同，如物理中的力、电，化学中的氢、氧，生物学中的血液循环，新陈化学中的氢、氧，生物学中的血液循环，新陈代谢等都是有现实原形（或能联想到现实原形代谢等都是有现实原形（或能联想到现实原形的）然而数学中的下列式子的）然而数学中的下列式子3222601112a xb xc xdn让你想到什么？数学思维正是抛开具体属性让你想到什么？数学思维正是抛开具体属性,（抛（抛开的越多就越抽象）去思考最一般的数与形的规开的越多就越抽象）去思考最一般的数与形的规律，从而为广阔的领域所运用，这就是数学的魅律，从而为广阔的领域所运用，这就是数学的魅力。力。 （3）数学抽象是一个历史过程）数学抽象是一个历史过程 2223282403840840 xxa xx 这三个式子一个比一个更抽象，从历史顺序上看，这三个式子一个比一个更抽象，从历史顺序上看，人类在数千年前就知道其一人类在数千年前就知道其一,一千年之后就会解其一千年之后就会解其二，二，17世纪才有一般解的方法世纪才有一般解的方法.可见数学的抽象是可见数学的抽象是一级一级逐步提高的，数学本身几乎完全周旋于一级一级逐步提高的，数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系圈内，自然科学家为抽象概念和它们的相互关系圈内，自然科学家为证明自己的论断常常是求助于实验，而数学家的证明自己的论断常常是求助于实验，而数学家的证明，则需要的是推理和计算，这就是说数学不证明，则需要的是推理和计算，这就是说数学不仅概念是抽象的、思辩的，而且方法也是抽象的、仅概念是抽象的、思辩的，而且方法也是抽象的、思辩的，这就是数学的思维思辩的，这就是数学的思维,数学理论的严密性数学理论的严密性,数学家追求完美的拼搏精神。数学家追求完美的拼搏精神。（4）数学抽象的方法）数学抽象的方法l公理方法公理方法： 有一套基本术语；一组基本命题；有一套基本术语；一组基本命题；其余的概念全由原始概其余的概念全由原始概念出发予以定义，其余的命题全由公里出发予以推理论证。念出发予以定义，其余的命题全由公里出发予以推理论证。l弱抽象与强抽象方法弱抽象与强抽象方法 弱抽象过程：弱抽象过程： 如：正方形如：正方形菱形菱形平行四边形平行四边形梯形梯形四边形四边形曲边形曲边形 强抽象过程：强抽象过程： 如：函数如：函数连续函数连续函数可微函数可微函数无穷阶可微函数无穷阶可微函数l弱抽象与强抽象使认识更深刻。弱抽象与强抽象使认识更深刻。l理想法理想法 数学大量运用一般化、典型化方法，力求不丧失一般性，数学大量运用一般化、典型化方法，力求不丧失一般性，由此构成了一种理性状态。由此构成了一种理性状态。 3. 逻辑性与精确性逻辑性与精确性l数学的逻辑性与精确性表现在：数学的逻辑性与精确性表现在：定义的准性，定义的准性，推理的逻辑性、严格性，结论的确定无疑与无推理的逻辑性、严格性，结论的确定无疑与无可争辩性，可争辩性，这种特性可以说是经历了两千多年这种特性可以说是经历了两千多年的锤炼，最早最突出的表现是欧氏几何，它从的锤炼，最早最突出的表现是欧氏几何，它从极少的几个命题出发，演绎出全部欧氏几何命极少的几个命题出发，演绎出全部欧氏几何命题，这使得数学建立在更高逻辑严谨的水平之题，这使得数学建立在更高逻辑严谨的水平之上，从公理到严格的推理，数学的真理性已达上，从公理到严格的推理，数学的真理性已达到公认的高度，可以说数学已经公理化、逻辑到公认的高度，可以说数学已经公理化、逻辑化、精确化了。化、精确化了。 4. 数学的前瞻性数学的前瞻性l前面说的许多数学研究问题，并非直接于应用，也许事隔前面说的许多数学研究问题，并非直接于应用，也许事隔数十年甚至上百年后，才得以应用，这就是数学的前瞻性。数十年甚至上百年后，才得以应用，这就是数学的前瞻性。诗人用想象预见未来，政治家用信仰意志预见未来，数学诗人用想象预见未来，政治家用信仰意志预见未来，数学家则是用理智、用数学公式去推证未来家则是用理智、用数学公式去推证未来。l 矩阵和群论先于量子力学诞生；矩阵和群论先于量子力学诞生； 傅里叶分析先于电磁理论诞生；傅里叶分析先于电磁理论诞生； 非欧几何先于广义相对论诞生；非欧几何先于广义相对论诞生； 微积分预测了卫星的存在；微积分预测了卫星的存在； 微分方程为海王星的发现作了准备；微分方程为海王星的发现作了准备； 复变函数理论为流体问题的研究作了准备；复变函数理论为流体问题的研究作了准备； - 数学为人类提供的预言或帮助人们作出的预言是惊人的数学为人类提供的预言或帮助人们作出的预言是惊人的, 更是神奇的。更是神奇的。五、数学美学五、数学美学l数学不但拥有真理，而且具有至高无尚的美。数学不但拥有真理，而且具有至高无尚的美。 美的精髓在于它是普遍真理，无往而不在，数学美美的精髓在于它是普遍真理，无往而不在，数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性,数数学结构的系统性、协调性、对称性，数学命题与数学结构的系统性、协调性、对称性，数学命题与数学模型的概适性、普遍性，以及数学美在各个领域、学模型的概适性、普遍性，以及数学美在各个领域、在大自然的渗透。当你对深奥的数学问题豁然开朗在大自然的渗透。当你对深奥的数学问题豁然开朗时，当你对数学的自然简洁、和谐与创造回味无穷时，当你对数学的自然简洁、和谐与创造回味无穷时，当你对一个优美图形的对称、一个代数轮换式时，当你对一个优美图形的对称、一个代数轮换式的对称协调而赏心悦目时，当你对大自然赋予的的对称协调而赏心悦目时，当你对大自然赋予的“数学产物数学产物”赞叹、惊讶时，你内心一定有无比的赞叹、惊讶时，你内心一定有无比的喜悦与陶醉，这就是数学美，这就是数学的魅力。喜悦与陶醉，这就是数学美，这就是数学的魅力。数学美的类型数学美的类型l数学自身的内在美；数学表现的形式美；数学自身的内在美；数学表现的形式美；数学方法的优美；数学运用的功能美。数学方法的优美；数学运用的功能美。l1. 简洁美简洁美 数学问题的简洁；数学符号的简洁数学问题的简洁；数学符号的简洁 数学语言的简洁；数学概念的简洁，数学语言的简洁；数学概念的简洁， 数学证明的简洁，数学证明的简洁，2对称美对称美l对称美体现在生活中、艺术中、数学中。对称美体现在生活中、艺术中、数学中。l古希腊人说：古希腊人说：“一切立体圆形中最美的是球形，一切立体圆形中最美的是球形，而平面圆形中最美的则是圆而平面圆形中最美的则是圆”，数学中的对称美，数学中的对称美体现在几何上，有点对称、线对称、面对称，体体现在几何上，有点对称、线对称、面对称，体现在许多公式和运算中，如牛顿的二项式定理，现在许多公式和运算中，如牛顿的二项式定理， 011110()nnnnnnnnnabc ac abc abc b,zxyi zxyiABAB复数； 3. 3.和谐美和谐美l客观世界中的万事万物运行有序、和谐统一，因客观世界中的万事万物运行有序、和谐统一，因此，作为客观世界的数与形构成的数学也以其和此，作为客观世界的数与形构成的数学也以其和谐有序而令人陶醉。这种美在数学中处处可见，谐有序而令人陶醉。这种美在数学中处处可见，数学中的数学中的“五朵金花五朵金花” 和谐的统一在一和谐的统一在一个简洁的等式中个简洁的等式中 4.4.奇异美奇异美l数学中的奇异美是吸引众多人喜好数学的原因之数学中的奇异美是吸引众多人喜好数学的原因之一，奇异促使人去了解它、研究它，欣赏它，从一，奇异促使人去了解它、研究它，欣赏它，从而感悟到数学美、数学的魅力。而感悟到数学美、数学的魅力。10ie 0,1, , ,i el问题问题1：“具有有限面积的平面图形，其周长一定是有限的具有有限面积的平面图形，其周长一定是有限的吗吗”？结论是否定的，？结论是否定的，1906年瑞典科学家科克，作出的年瑞典科学家科克，作出的“雪雪花曲线花曲线”，其面积是有限的，但周长是无限的，如图，无限，其面积是有限的，但周长是无限的，如图，无限地做下去，地做下去， 设原三角形的面积为设原三角形的面积为1，科克雪花曲线所围成就的面积为，科克雪花曲线所围成就的面积为s，则有则有 即科克雪花曲线所围成就的面积为原三角形面积的即科克雪花曲线所围成就的面积为原三角形面积的 倍。倍。 23211111133 43 43 4999934481199951nnns 85问题问题3：蜜蜂的蜂房的容积是多少？蜜蜂的蜂房的容积是多少？ 蜜蜂的蜂房是严格的六角柱状体，组成底盘菱形的钝角蜜蜂的蜂房是严格的六角柱状体，组成底盘菱形的钝角 均为均为10928，锐角均为，锐角均为7032，每个蜂房的容积几乎都是，每个蜂房的容积几乎都是0.25cm，最重要的是这样的结构用同料最省，而容积最大，最重要的是这样的结构用同料最省，而容积最大，再看珊瑚虫它每年在体壁上再看珊瑚虫它每年在体壁上“刻画刻画”出出365条环纹，是一天条环纹，是一天 “画画”一条吗？数的无处不在、无所不有是永恒的真理。一条吗？数的无处不在、无所不有是永恒的真理。 “宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之多，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之多，生物之迷，日用之繁，而数学却无处不在。凡是有生物之迷，日用之繁，而数学却无处不在。凡是有“量量”的的地方就有数学，研究量的变化、量的关系，就能贯穿到一切地方就有数学，研究量的变化、量的关系，就能贯穿到一切科学部分的深处科学部分的深处”。问题问题2：二次三项式二次三项式 2( )41f xxx，当，当 0,1,2x时时， ( )f x的值都是素数吗？的值都是素数吗？(0)41,(1)43,(2)47,(39)1601,ffff但但 2(40)41 ,f(41)f也是和数，但也是和数，但 (42)1847,f又是素数了。六、数系的发展六、数系的发展 人们对数的认识是在不断发展的，当从算术转入代数、人们对数的认识是在不断发展的，当从算术转入代数、几何的研究时，有理数远远不够用，例如方程几何的研究时，有理数远远不够用，例如方程 在有在有理数域没有根，由此产生了无理数，进而建立了实数系；理数域没有根，由此产生了无理数，进而建立了实数系；规定规定i=-1，引进了虚数，这样实数系扩张到了复数系，全，引进了虚数，这样实数系扩张到了复数系，全体复数之间四则运算通行无阻，极限运算也通行无阻，所体复数之间四则运算通行无阻，极限运算也通行无阻，所以它又是完备数域。以它又是完备数域。 几种数系的关系：几种数系的关系： 1、全体正整数、加法、乘法通行无阻，添上负数和、全体正整数、加法、乘法通行无阻，添上负数和0，形成整数环。形成整数环。 2、在整数环内添上分数，构成有理数域。、在整数环内添上分数，构成有理数域。 3、实数域。、实数域。 4、复数域。、复数域。220 x 1、对正整数的审美、对正整数的审美 1）完美数）完美数 公元公元2世纪发现了前四个完美数，公元世纪发现了前四个完美数，公元1538年发现了第五个年发现了第五个完美数，又过了完美数，又过了50年，发现了第六个完美数，迄今为止，也年，发现了第六个完美数，迄今为止，也只发现了二十多个。只发现了二十多个。1223433456783333228124714222131248 163162 12424822222135761 2 31 232496 67812333381282222135153355033685898600562）回文数）回文数 l12521 3154513 l有趣的猜想：任意两位数有趣的猜想：任意两位数65，反序数，反序数56，相加得，相加得121 l（重复）（重复） 三位数三位数197结论仍成立，但结论仍成立，但196的结论至今未定。的结论至今未定。 回文诗：回文诗： 苏轼的七律苏轼的七律游金山寺游金山寺 湖随暗浪雪山倾，远浦鱼舟钓月明。湖随暗浪雪山倾，远浦鱼舟钓月明。 桥对寺门松径小，槛当泉眼石波清。桥对寺门松径小，槛当泉眼石波清。 迢迢绿树江天晓，霭霭红霞晚日晴。迢迢绿树江天晓，霭霭红霞晚日晴。 遥望四边云接水，碧峰千点数鸥轻。遥望四边云接水，碧峰千点数鸥轻。 回文对联：回文对联： “客上天然居，居然天上客客上天然居，居然天上客”， “人过大佛寺，寺佛大过人人过大佛寺，寺佛大过人”， 2221111211111232113）两组奇异的数：）两组奇异的数： 123789,561945,642864242868,323787,761943和结论结论 01123789+561945+642864=242868+323787+7619430222222123789 +561945 +642864 =242868 +323787 +761943依次将它们变为五位数、四位数一位数（从左到右）有依次将它们变为五位数、四位数一位数（从左到右）有03五位数：五位数： 22222223789+61945+42864=42868+23787+6194323789 +61945 +42864 =42868 +23787 +61943四位数：四位数： 2222223789+1945+2864=2868+3787+19433789 +1945 +2864 =2868 +3787 +1943两位数：两位数： 22222289+45+64=68+87+4389 +45 +64 =68 +87 +43一位数：一位数： 2222229+5+4=8+7+39 +5 +4 =8 +7 +3若从右到左仍有此结论。若从右到左仍有此结论。2、对无理数的认识、对无理数的认识 所以又从所以又从n次方程次方程 10110nnnnxxxaaaa的根对实数来划分：代数数与超越数。的根对实数来划分：代数数与超越数。1）“毫无道理毫无道理”的的 2222来自来自“方方”，两整数之比，（称不可比数），后来人们称它为无理数，（两整数之比，（称不可比数），后来人们称它为无理数，（ 2?显然无准确值，只有近似值，显然无准确值，只有近似值， 公元前公元前100年古人就已算出年古人就已算出 小数），而后得到实数的一个划分：有理小数），而后得到实数的一个划分：有理 数与无理数，同时注意到数与无理数，同时注意到 是方程是方程 220 x的根的根 。的十几位的十几位2）美妙的黄金分割）美妙的黄金分割 5-1210.6181.618公元前公元前500年，古希腊学者发现了年，古希腊学者发现了“黄金黄金”长方形长方形长宽之比为长宽之比为1.618 最美，称最美，称 为黄金分割数。如前埃及建筑的胡夫金字塔，古希为黄金分割数。如前埃及建筑的胡夫金字塔，古希腊的巴特农神殿，腊的巴特农神殿，1976年竣工的加拿大多伦多电视塔，这三座不同时期年竣工的加拿大多伦多电视塔，这三座不同时期懂得黄金分割的奥妙，许多植物的叶片是按空间螺旋线自下而上萌发的，懂得黄金分割的奥妙，许多植物的叶片是按空间螺旋线自下而上萌发的，的建筑都巧妙地运用了黄金比，从而成为建筑史上的奇迹；大自然似乎也的建筑都巧妙地运用了黄金比，从而成为建筑史上的奇迹；大自然似乎也每相邻两叶片的中线夹角都是约每相邻两叶片的中线夹角都是约 028137从而保障每片叶子都不会长从而保障每片叶子都不会长 气；数学中的黄金分割美更是数不胜数，气；数学中的黄金分割美更是数不胜数，如圆、五角星、黄金矩形、黄金三角形、菲波那契数列如圆、五角星、黄金矩形、黄金三角形、菲波那契数列 11515225nnnF，这正是将这正是将360黄金分割的结果，黄金分割的结果，另一片叶之上，而得到更充足的阳光雨露和空另一片叶之上，而得到更充足的阳光雨露和空3）勾股定理）勾股定理l勾股定理的起源是在公元前勾股定理的起源是在公元前1100，那时就已发现勾股定，那时就已发现勾股定理的一个特例：勾三、股四、弦五。公元前理的一个特例：勾三、股四、弦五。公元前500年，由年，由古希腊数学家毕达哥拉斯首先给出了合乎逻辑的证明，古希腊数学家毕达哥拉斯首先给出了合乎逻辑的证明，因而在西方又称为毕达哥拉斯定理，它是初等几何中最因而在西方又称为毕达哥拉斯定理，它是初等几何中最精彩、最著名最有用的定理。精彩、最著名最有用的定理。l重要意义：重要意义： 1、是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即第、是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即第一个把几何与代数联系起来的定理；一个把几何与代数联系起来的定理； 2、导致了无理数的发现，引起了第一次数学危机，、导致了无理数的发现，引起了第一次数学危机，大大加大了人们对数的理解；大大加大了人们对数的理解； 3、是历史上第一个给出了完全解答的不定方程，从、是历史上第一个给出了完全解答的不定方程，从而引出了费马大定理；而引出了费马大定理； 4、是欧氏几何的基础定理。其证明方法有、是欧氏几何的基础定理。其证明方法有370种之多。种之多。勾股定理包括几何与数论方面，勾股定理包括几何与数论方面，几何方面表现为面积关系，几何方面表现为面积关系， （ 如图）如图）222224()222abababaabbab222cab，其证明方法及图都成为经典，其证明方法及图都成为经典，更广泛的理解：把正方形改更广泛的理解：把正方形改为以一边为直径的半圆，那为以一边为直径的半圆，那么两直角边上的半圆面积之么两直角边上的半圆面积之和等于斜边上半圆的面积。和等于斜边上半圆的面积。 这是中国古代数学家赵爽（公元这是中国古代数学家赵爽（公元3世纪）为证明勾股世纪）为证明勾股定理而设计的定理而设计的acb数论方面表现为求不定方程数论方面表现为求不定方程 222xyz的所有整数解，的所有整数解，(2)nnnxyzn它不仅是数论中的一个著名难题就，更重要的是，它给它不仅是数论中的一个著名难题就，更重要的是，它给 整个数学带来了巨大的财富，促进了代数数论和算术代数整个数学带来了巨大的财富，促进了代数数论和算术代数代数几何的建立，发展了一系列先进的数学技术，形成了代数几何的建立，发展了一系列先进的数学技术，形成了从而引出了费马大定理：从而引出了费马大定理：，现代数论无尽的前沿。现代数论无尽的前沿。 有趣的例题：唐代诗人王之涣的有趣的例题：唐代诗人王之涣的问题：需登多少层楼才能看到千里之外？问题：需登多少层楼才能看到千里之外？ 登鹤雀楼登鹤雀楼 “欲穷千里目，更上一层楼欲穷千里目，更上一层楼”。 orABP解解:如图如图. PA为视线为视线 PA与球面相切于点与球面相切于点AOAPA，且有且有PA=1000里=500公里公里设楼高设楼高PB=x公里，地球半径公里，地球半径R=OA=6370公里公里在在RtAOP中，中，PO=OA+PA(x+6370) =6370+500解得解得 x19.6公里公里196003.2=6125（层）（层）4）说不进的）说不进的 又称之为又称之为“率率”，来自，来自“圆圆”， 与与2一样古老，公元前一样古老，公元前1650年，埃及年，埃及 人的成就人的成就 2163.169，公元前三世纪，阿基米德的成就公元前三世纪，阿基米德的成就 223.147，公元三世纪，公元三世纪， （三国）刘微的贡献（三国）刘微的贡献3.1416，公元五世纪，南朝人祖冲之求得，公元五世纪，南朝人祖冲之求得3.1415926 3.1415927，并提出用，并提出用 355113近似代替近似代替 ，（，（1000多年后，欧洲人才有这一结果），多年后，欧洲人才有这一结果）， 结果），直到结果），直到1761年，（年，（3000多年后）人们才知道多年后）人们才知道 是无理数，随后发现是无理数，随后发现可以用无穷级数表示：可以用无穷级数表示：2 2 4 4 6 61 3 3 5 5 72（瓦里斯公式）（瓦里斯公式）1111352141nn（莱布尼茨公式）（莱布尼茨公式）1882年德国的林德曼证明了年德国的林德曼证明了 是超越数，也就证明了：用尺规画一个和直径是超越数，也就证明了：用尺规画一个和直径为为1的圆面积相等的正方形是办不到的，解决了的圆面积相等的正方形是办不到的，解决了2000多年前提出的三大几何多年前提出的三大几何作图难题之一。作图难题之一。3、复数的引进、复数的引进l16世纪世纪17世纪，解三次方程过程中产生的，世纪，解三次方程过程中产生的，l19世纪诞生了复变函数论。世纪诞生了复变函数论。l重要意义：重要意义： 1）使代数方程式论成为一个完美理论。）使代数方程式论成为一个完美理论。 2）复数成为研究分析理论的得力工具。）复数成为研究分析理论的得力工具。 3）复数在物理学等领域的重要应用。）复数在物理学等领域的重要应用。 七、数学谜语l定义概念类定义概念类 两牛打架两牛打架 五分钱五分钱 擦去三角形的一条边擦去三角形的一条边 从严判刑从严判刑 剃头剃头 车站告示车站告示 医生诊断后医生诊断后 （对（对 顶角）顶角）（半（半 角）角）（余（余 角）角）（加（加 法）法）（减（减 法）法）（乘（乘 法）法）（开（开 方）方）2、联想类、联想类负荆请罪负荆请罪 减法没算对减法没算对 身高多少身高多少 大甩买大甩买 垂钓垂钓 走致富之路走致富之路 邮政编码邮政编码 讨价还价讨价还价 小本经营小本经营 屋里没东西屋里没东西 背着喇叭背着喇叭 会计查帐会计查帐 一笔债务一笔债务 考试做弊考试做弊 不是会计做的帐不是会计做的帐 （求（求 和）和）（误（误 差）差）（立（立 体体 几几 何）何）（绝（绝 对对 值）值）（等（等 于）于）（趋向无穷大）（趋向无穷大）（函（函 数）数）（商（商 数）数）（微（微 商）商）（空（空 间）间）（负（负 号）号）（对（对 数）数）（负（负 数）数）（假（假 分分 数）数）（无（无 理理 数）数）3、数字类、数字类（百里挑一）（百里挑一） （举一反三）（举一反三）（颠三倒四）（颠三倒四）11001478 （七上八下）（七上八下）