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空间向量高中数学教案课程空间向量考纲导读1理解空间向量的概念；把握空间向量的加法、减法和数乘2了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；把握空间向量的坐标运算3把握空间向量的数量积的定义及其性质；把握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式理解空间向量的夹角的概念；把握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；把握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判定向量的共线与垂直.第1课时空间向量及其运算空间向量是平面向量的推广在空间，任意两个向量都能够通过平移转化为平面向量因而，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广本节知识点是：1空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1)向量：具有和的量(2)向量相等：方向且长度(3)向量加法法则：(4)向量减法法则：(5)数乘向量法则：3共线向量(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线相互或(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，ab等价于存在实数，使(3)直线的向量参数方程：设直线l过定点A且平行于非零向量a，则对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存在Rt，使4共面向量(1)共面向量：平行于的向量(2)共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对(yx,)，使P共面向量定理的推论：5空间向量基本定理(1)空间向量的基底：的三个向量2线性运算律(1)加法交换律：ab (2)空间向量基本定理：假如a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组zyx,，使空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组zyx,，使6空间向量的数量积(1)空间向量的夹角：(2)空间向量的长度或模：(3)空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b，则a·b空间向量的数量积的常用结论：(a)cosa、b；(b)?a?2；(c)ab?例1已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若1AAyABxADAF+=，求xy的值.解：易求得0,21=-=yxyx变式训练1.在平行六面体1111DCBAABCD-中，M为AC与BD的交点，若=11BAa，=11DAb，=AA1c，则下列向量中与MB1相等的向量是()A?21a21bcB21a21bc(4)空间向量的数量积的运算律：(a)交换律a·bC21a?21bcD?21a?21bc解：A例2.底面为正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1平面C1BD.证实：记,1AA=则CCDCAB+=+=-=-=+=21,21,11111ABDC=+=+,11,DCAB共面.B1?平面C1BD,AB1/平面C1BD.变式训练2：正方体ABCDEFGH中，M、N分别是对角线AC和BE上的点，且AMEN(1)求证：MN平面FC；(2)求证：MNAB；(3)当MA为何值时，MN取最小值，最小值是多少？解：(1)设.)1(,kkkACMCEBNB+-=则(2).0)1(=?-?-=?ABBFkABBCkABMN(3)设正方体的边长为a,也即时ACAM21=a22=例3.已知四面体ABCD中，ABCD，ACBD，G、H分别是ABC和ACD的重心求证：(1)ADBC；(2)GHBD证实：(1)ADBC?0=?BCAD由于ABCD0=?，0=?BDACBDAC，而0)()(=+?+=?所以ADBC(2)设E、F各为BC和CD的中点欲证GHBD，只需证GHEF，+=32(+)32变式训练3：已知平行六面体1111DCBAABCD-，E、F、G、H分别为棱ABCCCDDA和11111,的中点求证：E、F、G、H四点共面解：+=1GC+1FC+FCA+11+2，所以EHEGEF,共面，即点E、F、G、H共面例4.如图，平行六面体AC1中，AE3EA1，AFFD，AGGB21，过E、F、G的平面与对角线AC1交于点P，求AP:PC1的值解：设1m=mmm2343+=又E、F、G、P四点共面，12343=+mmm193=mAPPC1316变式训练4：已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若ABOC，求证QNPM证实：法一：)(21OCOBOM+=)(21OCABOMPOPM+=+=故QNPM1立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证实对于垂直，一般是利用ab?a·b0进行证实对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证实2运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模而计算经过中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，进而求得结果3利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则能够利用公式cosbaba?4异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D分别为l1、l2上的任意一点，为与共线的向量，则|n.5设平面的一个法向量为，点P是平面外一点，且Po，则点P到平面的距离是d|no第2课时空间向量的坐标运算设a),(321aaa，b),(321bbb法二：PM·QN(PQQM)·(QMMN)(21OCAB+·)(21BAOC+41220 (1)a±b(2)a(3)a·b(4)ab?；ab?(5)设),(),(222111zyxBzyxA=则AB，=ABAB的中点M的坐标为例1.若a(1,5,1)，b(2,3,5)1若(ka+b)(a3b)，务实数k的值；2若(ka+b)(a3b)，务实数k的值；3若bak+获得最小值，务实数k的值解：(1)31-=k；(2)3106=k；(3)278-=k变式训练1.已知O为原点，向量()()3,0,1,1,1,2,OAOBOCOABC=-uuuruuuruuuruuuruuurOAuuur，求ACuuur解：设()(),1,1,2OCxyzBCxyz=+-uuuruuur，,OCOABCuuuruuuruuurOAuuur，0OCOA?=uuuruuur，()BCOAR=uuuruuur，()()30,1,1,23,0,1xzxyz+=?+-=?，即30,13,10,2.xzxyz+=?+=?-=?-=?解此方程组，得7211,1,101010xyz=-=。721,1,1010OC?=-?uuur，3711,1,1010ACOCOA?=-=-?uuuruuuruuur。例2.如图，直三棱柱111CBAABC-，底面ABC?中，CACB1，90=BCA，棱21=AA，M、N分别A1B1、A1A是的中点(1)求BM的长；(2)求?11,cosCBBA的值；(3)求证：NCBA11解：以C为原点建立空间直角坐标系xyzO-.(1)依题意得B0，1，0，M1，0，13)01()10()01(222=-+-+-. (2)依题意得A11，0，2，B0，1，0，C0，0，0，B10，1，2.1030,cos11=>=1，PA2，E为PD的中点(1)在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离；(2)求(1)中的点N到平面PAC的距离解：(1)建立空间直角坐标系ABDP，则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0,0,0)、B(3,0,0)、C(3,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E(0,21,1)，依题设N(x,0,z)，则(x,21,1z)，由于NE平面PAC，?=?=?00即?=+-=-?=?-=?-0213010)0,1,3()1,21,(0)2,0,0()1,21,(xzzxzx?=?163zx，即点N的坐标为(63,0,1)，进而N到AB、AP的距离分别为1，63.(2)设N到平面PAC的距离为d，则d|NE1233121|)0,21,63(|)0,21,63()1,0,63(|=?=-?.例3.如图，在底面是棱形的四棱锥ABCDP-中，,60aACPAABC=aPDPB2=，点E在PD上，且PE:ED2:1(1)证实PA平面ABCD；(2)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小； (3)在棱PC上能否存在一点F，使BF平面AEC？证实你的结论解：1证实略；2易解得30=；3解以A为坐标原点，直线APAD,分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图由题设条件，相关各点的坐标为所以=AE)31,32,0(aa，=AC)0,21,23(aa，=AP),0,0(a=PC),21,23(aaa-=BP),21,23(aaa-，设点F是棱PC上的点，=PCPF),21,23(aaa-，其中10(1，0，1)z1G(0，0，1)(2)平面ABCD的法向量).1,0,0(=)2,4,1(=GE，设GE与平面ABCD成角为，则21212|)2cos(=?-GEDG21212arcsin=(3)设0n面AEFG，0n(x0，y0，z0)0n，0n，而(1，0，1)，(0，4，3),43,(430340000000000000zzznzyzxzyzx-=?-=?=+=+-取z04，则0n(4，3，4)414116|),4,0,0(00=nd即点C到截面AEFG的距离为414116变式训练4.如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG4，GDAG31=，BGGC，GBGC2，E是BC的中点(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；(2)求点D到平面PBG的距离； (3)若F点是棱PC上一点，且DFGC，求FCPF的值解：(1)以G点为原点，GC、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，