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第十二章课后习题答案第四篇气体动理论热力学基础求解气体动理论和热力学问题的基本思路和方法热运动包含气体动理论和热力学基础两部分气体动理论从物质的微观构造出发，运用统计方法研究气体的热现象，通过寻求宏观量与微观量之间的关系，说明气体的一些宏观性质和规律而热力学基础是从宏观角度通过实验现象研究热运动规律在求解这两章习题时要注意它们处理问题方法的差异气体动理论主要研究对象是理想气体，求解这部分习题主要围绕下面三个方面：(1)理想气体物态方程和能量均分定理的应用；(2)麦克斯韦速率分布率的应用；(3)有关分子碰撞平均自由程和平均碰撞频率热力学基础方面的习题则是围绕第一定律对理想气体的四个特殊经过(三个等值经过和一个绝热经过)和循环经过的应用，以及计算热力学经过的熵变，并用熵增定理判别经过的方向1近似计算的应用一般气体在温度不太低、压强不太大时，可近似当作理想气体，故理想气体也是一个理想模型气体动理论是以理想气体为模型建立起来的，因而，气体动理论所述的定律、定理和公式只能在一定条件下使用我们在求解气体动理论中有关问题时必须明确这一点然而，这种从理想模型得出的结果在理论和实践上是有意义的例如理想气体的内能公式以及由此得出的理想气体的摩尔定容热容2/mV,iRC=和摩尔定压热容()2/2mP,RiC+=都是近似公式，它们与在通常温度下的实验值相差不大，因而，除了在低温情况下以外，它们还都是能够使用的在实际工作时假如要求精度较高，摩尔定容热容和摩尔定压热容应采用实验值本书习题中有少数题给出了在某种条件下mV,C和mP,C的实验值就是这个道理如习题中不给出实验值，能够采用近似的理论公式计算2热力学第一定律解题经过及注意事项热力学第一定律EWQ+=，其中功?=21dVVVW，内能增量TRiMmE2?=本章习题主要是第一定律对理想气体的四个特殊经过(等体、等压、等温、绝热)以及由它们组成的循环经过的应用解题的主要经过：(1)明确研究对象是什么气体(单原子还是双原子)，气体的质量或物质的量是多少？()弄清系统经历的是些什么经过，并把握这些经过的特征()画出各经过相应的pV图应当知道准确作出热力学经过的pV图，能够给出一个比拟明晰的物理图像()根据各经过的方程和状态方程确定各状态的参量，由各经过的特点和热力学第一定律就可计算出理想气体在各经过中的功、内能增量和吸放热了在计算中要注意Q和W的正、负取法3关于内能的计算理想气体的内能是温度的单值函数，是状态量，与经过无关，而功和热量是经过量，在两个确定的初、末状态之间经历不同的经过，功和热量一般是不一样的，但内能的变化是一样的，且均等于()12mV,TTCMmE-=因而，对理想气体来讲，不管其经历什么经过都可用上述公式计算内能的增量同样，我们在计算某一系统熵变的时候，由于熵是状态量，以无论在始、末状态之间系统经历了什么经过，始、末两个状态间的熵变是一样的所以，要计算始末两状态之间经历的不可逆经过的熵变，就可通过计算两状态之间可逆经过熵变来求得，就是这个道理4麦克斯韦速率分布律的应用和分子碰撞的有关讨论深入理解麦克斯韦速率分布律的物理意义，把握速率分布函数f(v)和三种统计速率公式及物理意义是求解这部分习题的关键三种速率为MRT/2P=v，MRT/8=v，MRT/32=v注意它们的共同点都正比于MT/，而在物理意义上和用处上又有区别Pv用于讨论分子速率分布图v用于讨论分子的碰撞；2v用于讨论分子的平均平动动能解题中只要捉住这些特点就比拟方便根据教学基本要求，有关分子碰撞内容的习题求解比拟简单，往往只要记住平均碰撞频率公式vndZ22=和平均自由程ndZ22/1/=v，甚至只要知道nZ?v，n/1及MT/v这种比值关系就可求解很多有关习题第十二章气体动理论121处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度一样，分子的平均平动动能也一样，则它们()(A)温度，压强均不一样(B)温度一样，但氦气压强大于氮气的压强(C)温度，压强都一样(D)温度一样，但氦气压强小于氮气的压强分析与解理想气体分子的平均平动动能23k/kT=，仅与温度有关因而当氦气和氮气的平均平动动能一样时，温度也一样又由物态方程nkTp=，当两者分子数密度n一样时，它们压强也一样故选(C)122三个容器A、B、C中装有同种理想气体，其分子数密度n一样，方均根速率之比()()()4:2:1:2/12C2/12B2/12A=vvv，则其压强之比CBA:ppp为()(A)124(B)148(C)1416(D)421分析与解分子的方均根速率为MRT/3=2v，因而对同种理想气体有3212C2B2A:TTT=vvv，又由物态方程nkT，当三个容器中分子数密度n一样时，得16:4:1:321321=TTTppp.故选(C)123在一个体积不变的容器中，储有一定量的某种理想气体，温度为0T时，气体分子的平均速率为0v，分子平均碰撞次数为0Z，平均自由程为0，当气体温度升高为04T时，气体分子的平均速率v、平均碰撞频率Z和平均自由程分别为()(A)004,4,4ZZ=0vv(B)0022=,ZZ0vv(C)00422=,ZZ0vv(D)0042=,ZZ0vv分析与解理想气体分子的平均速率MRT/8=v，温度由0T升至04T，则平均速率变为0v2；又平均碰撞频率vndZ22=，由于容器体积不变，即分子数密度n不变，则平均碰撞频率变为0Z2；而平均自由程nd22/1=，n不变，则珔也不变因而正确答案为(B)124已知n为单位体积的分子数，()vf为麦克斯韦速率分布函数，则()vvdnf表示()(A)速率v附近，v区间内的分子数(B)单位体积内速率在vvvd+区间内的分子数(C)速率v附近，v区间内分子数占总分子数的比率(D)单位时间内碰到单位器壁上，速率在vvvd+区间内的分子数分析与解麦克斯韦速率分布函数()()vvd/dNNf=，而v/Nn=，则有()VNnf/dd=vv即表示单位体积内速率在vvvd+区间内的分子数正确答案为(B)125一打足气的自行车内胎，在C07o1.=t时，轮胎中空气的压强为Pa100451?=.p，则当温度变为C037o2.=t时，轮胎内空气的压强2p2p为多少？(设内胎容积不变)分析胎内空气可视为一定量的理想气体，其始末状态均为平衡态，由于气体的体积不变，由理想气体物态方程RTMmpV=可知，压强p与温度T成正比由此即可求出末态的压强解由分析可知，当K15310037152732.=+=T，轮胎内空气压强为Pa1043451122?=./TpTp可见当温度升高时，轮胎内气体压强变大，因而，夏季外出时自行车的车胎不宜充气太足，以免爆胎126有一个体积为35m1001?.的空气泡由水面下m050.深的湖底处(温度为C4o)升到湖面上来若湖面的温度为C017o.，求气泡到达湖面的体积(取大气压强为Pa10013150?=.p)分析将气泡看成是一定量的理想气体，它位于湖底和上升至湖面代表两个不同的平衡状态利用理想气体物态方程即可求解此题位于湖底时，气泡内的压强可用公式ghpp+=0求出，其中为水的密度(常取33mkg1001?=.)解设气泡在湖底和湖面的状态参量分别为(p1，V1，T1)和(p2,V2，T2)由分析知湖底处压强为ghpghpp+=+=021，利用理想气体的物态方程222111TVpTVp=可得空气泡到达湖面的体积为()3510120211212m1011.6/-?=+=TpVTghpTpVTpV127氧气瓶的容积为32m1023-?.，其中氧气的压强为Pa10317?.，氧气厂规定压强降到Pa10016?.时，就应重新充气，以免经常洗瓶某小型吹玻璃车间，平均天天用去3m400.压强为Pa100115?.的氧气，问一瓶氧气能用多少天？(设使用经过中温度不变)分析由于使用条件的限制，瓶中氧气不可能完全被使用为此，可通过两条不同的思路进行分析和求解：(1)从氧气质量的角度来分析利用理想气体物态方程RTMmpV=能够分别计算出天天使用氧气的质量3m和可供使用的氧气总质量(即原瓶中氧气的总质量1m和需充气时瓶中剩余氧气的质量2m之差)，进而可求得使用天数()321mmmn/-=(2)沉着积角度来分析利用等温膨胀条件将原瓶中氧气由初态(Pa1030171?=.p,321m1023-?=.V)膨胀到需充气条件下的终态(Pa1000162?=.p，2V待求)，比拟可得2p状态下实际使用掉的氧气的体积为12VV-同样将天天使用的氧气由初态(Pa1001153?=.p，33m400.=V)等温压缩到压强为p2的终态，并算出此时的体积V2，由此可得使用天数应为()212VVVn'-=/解1根据分析有RTVMpmRTVMpmRTVMpm/;/;/333222111=则一瓶氧气可用天数()()5.9/33121321=-=VpVppmmmn解2根据分析中所述，由理想气体物态方程得等温膨胀后瓶内氧气在压强为Pa1000162?=.p时的体积为2112pVpV/=天天用去一样状态的氧气容积2332pVpV/='则瓶内氧气可用天数为()()5.9/33121212=-='-=VpVppVVVn128设想太阳是由氢原子组成的理想气体，其密度可当作是均匀的若此理想气体的压强为Pa1035114?.试估计太阳的温度(已知氢原子的质量Pa1067127H-?=.m，太阳半径kg1067127H-?=.m，太阳质量kg1099130S?=.m)分析此题可直接运用物态方程nkTp=进行计算解氢原子的数密度可表示为()?=3SHSHS34/RmmVmmnS根据题给条件，由nkTp=可得太阳的温度为()K1016.13/4/7S3SH?=kmRpmnkpT讲明实际上太阳构造并非此题中所设想的理想化模型，因而，计算所得的太阳温度与实际的温度相差较大估算太阳(或星体)外表温度的几种较实用的方法在教材第十五章有所介绍129一容器内储有氧气，其压强为Pa100115?.，温度为27，求：(1)气体分子的数密度；(2)氧气的密度；(3)分子的平均平动动能；(4)分子间的平均距离(设分子间均匀等距排列)分析在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体因而，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解又因可将分子看成是均匀等距排列的，故每个分子占有的体积为30dV=，由数密度的含意可知nV/10=，d即可求出解(1)单位体积分子数325m10442?=./kTpn(2)氧气的密度-3mkg301?=./RTpMVm(3)氧气分子的平均平动动能J102162321k-?=./kT(4)氧气分子的平均距离m10453193-?=./nd通过对此题的求解，我们能够对通常状态下理想气体的分子数密度、平均平动动能、分子间平均距离等物理量的数量级有所了解12102.0×102kg氢气装在4.0×10-3m3的容器内，当容器内的压强为3.90×105Pa时，氢气分子的平均平动动能为多大？分析理想气体的温度是由分子的平均平动动能决定的，即23k/kT=因而，根据题中给出的条件，通过物态方程pVm/MRT，求出容器内氢气的温度即可得k解由分析知氢气的温度mRMPVT=，则氢气分子的平均平动动能为()8932323k./=mRpVMkkT1211温度为0和100时理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使分子的平均平动动能等于1eV，气体的温度需多高？解分子在0和100时平均平动动能分别为J10655232111-?=./kTJ10727232122-?=./kT由于1eV1.6×1019J，因而，分子具有1eV平均平动动能时，气体温度为K10737323k?=./kT这个温度约为7.5×1031212某些恒星的温度可到达约1.0×108K，这是发生聚变反响(也称热核反响)所需的温度.通常在此温度下恒星可视为由质子组成.求：(1)质子的平均动能是多少？(2)质子的方均根速率为多大？分析将组成恒星的大量质子视为理想气体，质子可作为质点，其自由度i3，因而，质子的平均动能就等于平均平动动能.此外，由平均平动动能与温度的关系2/32/2kTm=v，可得方均根速率2v.解(1)由分析可得质子的平均动能为J1007.22/32/3152k-?=kTmv(2)质子的方均根速率为1-62sm1058.132?=mkTv1213试求温度为300.0K和2.7K(星际空间温度)的氢分子的平均速率、方均根速率及最概然速率.分析分清平均速率v、方均根速率2v及最概然速率pv的物理意义，并利用三种速率相应的公式即可求解.解氢气的摩尔质量M2×103kg·mol1，气体温度T1300.0K，则有1-31sm1078.18?=MRTv1-312sm1093.13?=MRTv1-31psm1058.12?=MRTv气体温度T22.7K时，有1-31sm1069.18?=MRTv1-322sm1083.13?=MRTv1-31psm1050.12?=MRTv1214如下图，、两条曲线分别是氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线.试由图中数据求：(1)氢气分子和氧气分子的最概然速率；(2)两种气体所处的温度；(3)若图中、分别表示氢气在不同温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线.则哪条曲线的气体温度较高？分析由MRT1p2=v可知，在一样温度下，由于不同气体的摩尔质量不同，它们的最概然速率vp也就不同.因22OHMM利用MO2/MH216可得氧气分子最概然速率为()()12HpOpsm100.54/22-?=vv(2)由MRT2p=v得气体温度K1081.42/22p?=RMTv(3)代表气体温度较高状态.1215日冕的温度为2.0×106K，所喷出的电子气可视为理想气体.试求其中电子的方均根速率和热运动平均动能.解方均根速率16e2sm105.93-?=mkTv平均动能J10142317k-?=./kT1216在容积为2.0×103m3的容器中，有内能为6.75×102J的刚性双原子分子某理想气体.(1)求气体的压强；(2)设分子总数为5.4×1022个，求分子的平均平动动能及气体的温度.分析(1)一定量理想气体的内能RTiMmE2=，对刚性双原子分子而言，i5.由上述内能公式和理想气体物态方程pVmMRT可解出气体的压强.(2)求得压强后，再根据题给数据可求得分子数密度，则由公式pnkT可求气体温度.气体分子的平均平动动能可由23k/kT=求出.解(1)由RTiMmE2=和pVmMRT可得气体压强()Pa1035125?=./iVEp(2)分子数密度nN/V，则该气体的温度()()Pa106235?=./nkpVnkpT气体分子的平均平动动能为J104972321k-?=./kT1217温度一样的氢气和氧气，若氢气分子的平均平动动能为6.21×1021J，