应用弹塑性力学习题解答_3.docx

应用弹塑性力学习题解答应用弹塑性力学习题解答目录第二章习题答案设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。解该平面的法线方向的方向余弦为而应力矢量的三个分量知足关系而法向分量知足关系最后结果为利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。解求出后，可求出及，再利用关系可求得。最终的结果为已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。解求主方向的应力特征方程为式中：是三个应力不变量，并有公式代入已知量得为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系代入数据得，已知应力分量中，求三个主应力。解在时容易求得三个应力不变量为，特征方程变为求出三个根，如记，则三个主应力为记已知应力分量，是材料的屈从极限，求及主应力。解先求平均应力，再求应力偏张量，。由此求得然后求得，解出然后按大小次序排列得到，已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。解特征方程为记，则其解为，。对应于的方向余弦，应知足下列关系abc由a,(b)式，得，代入c式，得，由此求得对，代入得对，代入得对，代入得当时，证实成立。解由，移项之得证得第三章习题答案取为弹性常数，是用应变不变量表示应力不变量。解：由，可得，由，得物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。解：首先求出点的位移梯度张量将它分解成对称张量和反对称张量之和转动矢量的分量为，该点处微单元体的转动角度为电阻应变计是一种量测物体外表一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它能够量测得到一点的平面应变状态。如下图，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，求该点的主应变和主方向。解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，代入其中，可得则主应变有解得主应变，。由最大主应变可得上式只要1个方程式独立的，可解得与轴的夹角为于是有，同理，可解得与轴的夹角为。物体内部一点的应变张量为试求：在方向上的正应变。根据式，则方向的正应变为已知某轴对称问题的应变分量具有的形式，又设材料是不可压缩的，求应具有什么形式解：对轴对称情况应有，这时应变和位移之间的关系为，。应变协调方程简化为，由不可压缩条件，可得可积分求得，是任意函数，再代回，可得。已知应变分量有如下形式，由应变协调方程，试导出应知足什么方程。解：由方程，得出必须知足双调和方程。由，得出由，得出由此得，其它三个协调方程自动知足，故对没有限制。第四章习题答案有一块宽为，高为的矩形薄板，其左边及下边受链杆支承，在右边及上边分别受均布压力和作用，见题图，如不计体力，试求薄板的位移。题图4-1解：1.设置位移函数为1由于边界上没有不等于零的已知位移，所以式中的、都取为零，显然，不管式1中各系数取何值，它都知足左边及下边的位移边界条件，但不一定能知足应力边界条件，故只能采用瑞兹法求解。2.计算形变势能。为简便起见，只取、两个系数。233.确定系数和，求出位移解答。由于不计体力，且注意到，式4-14简化为45对式4右端积分时，在薄板的上下边和左边，不是，就是，故积分值为零。在右边界上有6同理，式5右端的积分只需在薄板的上边界进行，7将式3、式6、式7分别代入式4、式5可解出和：，894分析：把式(8)代入几何和物理方程可求出应力分量，不难验证这些应力分量能够知足平衡微分方程和应力边界条件，即式(8)所示位移为准确解答。在一般情况下(这是一个特殊情况)，在位移表达式中只取少数几个待定系数，是不可能得到准确解答的。设四边固定的矩形薄板，受有平行于板面的体力作用()，坐标轴如题图所示。求其应力分量。题图4-2解：1此题为平面应力问题，可用瑞兹法求解。由题意知位移分量在边界上等于零，所以，所以式中的、都取为零，且将位移函数设置为如下形式：1把或代入上式，由于，或，所以，位移边界条件是知足的。2把式1代入式9-16，得薄板的变形势能为23.确定系数和。由于位移分量在边界上为零，所以，方程式4-14简化为3式2代入式3，得4由于，从式4的第一式得，由第二式得当和取偶数时，和都为零，当和取奇数时，和都为2。因而，当取偶数时，。当取奇数时，将和代入式1得位移分量为4利用几何方程和物理方程，可求出应力分量和取奇数；有一矩形薄板，三边固定，一边上的位移给定为，见题图，设位移分量为，式中，为正整数，能够知足位移边界条件。使用瑞兹法求维持上述边界位移而要在处所施加的面力。题图4-3解：1.平面应力问题时的变形势能为式其中2确定待定系数。按题意三边固定，一边只存在而面力待求。所以，2将式1代入式2，得当体力分量为零时，得当时，所以，此时有，而3.位移和应力解答为4.求上边界施加的面力设，在处用伽辽金法求解上例。解：应用瑞兹法求解上例时，形变势能的计算工作量较大。由于此问题并没有应力边界条件，故可以为上例题意所给的位移函数不但知足位移边界条件，而且也知足应力边界条件，因而，能够用伽辽金法计算。对于此题，方程能够写成将上题所给的表达式代入，积分后得当体力不计时，此时，而由下式确定：当时，即，当时，上式成为由此解出及位移分量如下：求出的位移和应力分量，以及上边界的面力，都有上例用瑞兹法求得结果一样。铅直平面内的正方形薄板边上为，四边固定，见题图，只受重力作用。设，试取位移表达式为用瑞兹法求解在的表达式中，布置了因子和，由于根据问题的对称条件，应该是和的奇函数。题图4-4解：1位移表达式中仅取和项：12由得变形势能为