韦达定理与习题.docx
韦达定理与习题一.本周教学内容：韦达定理的应用二.重点、难点：灵敏应用韦达定理与推论(韦达定理的逆定理)三.知识回首在初中数学的学习中，韦达定理及其逆定理的应用是很广泛的，主要有如下的应用：1.已知一元二次方程的一根，求另一根。2.已知一元二次方程的两根，求作新的一元二次方程。3.不解方程，求关于两根的代数式的值。4.一元二次方程的验根。5.解一类特殊的二元二次方程组和通过换元等方法求解二次根式方程。6.与判别式的综合应用。【典型例题】例1：已知关于x的方程2xm1x1m=0的一个根为4，求另一个根。解：设另一个根为x则相加，得x例2：已知方程x5x8=0的两根为x，x，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和解：又代入得，新方程为例3：判定是不是方程9x10x2=0的一个实数根解：二次实数方程实根共轭。若是，则另一根为，。以为根的一元二次方程即为.例4：解方程组解：设.A=5.x-y=5又xy=-6.解方程组可解得例5：已知RtABC中，两直角边长为方程x2m7x4mm2=0的两根，且斜边长为13，求S的值解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b。则2。又a，b为方程两根。ab=4mm-2S但a，b为实数且m=5或6当m=6时，m=5S.例6：M为何值时，方程8xm1xm7=0的两根均为正数均为负数一个正数，一个负数一根为零互为倒数4.已知两个数的和比a少5，这两个数的积比a多3，则a为何值时，这两个数相等5.已知方程a3x1=ax有负数根，求a的取值范围。6.已知方程组的两组解分别为，求代数式a1b2+a2b1的值。7.ABC中，AB=AC，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,b和c是关于x的方程xmx2m=0的两个实数根，求ABC的周长。【试题答案】1.12.4，13.A4.a=1或135.3a2提示：分a=3以及a3讨论求解6.13例1已知pq198，求方程x2pxq0的整数根(94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1x2由韦达定理，得x1x2p，x1x2q于是x1x2(x1x2)pq198，即x1x2x1x21199(x11)(x21)199注意到x11、x21均为整数，解得x12，x2200；x1198，x20例2已知关于x的方程x2(12m)xm10的两个根都是正整数，求m的值解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1x2由韦达定理得x1x212m，x1x2m1于是x1x2x1x211，即(x11)(x21)12x1、x2为正整数，解得x11，x25；x12，x23故有m6或7例3务实数k，使得方程kx2(k1)x(k1)0的根都是整数解：若k0，得x1，即k0符合要求若k0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得x1x2x1x22，(x11)(x21)3由于x11、x21均为整数，所以例4已知二次函数yx2pxq的图像与x轴交于(，0)、(，0)两点，且1，求证：pq1(97四川省初中数学竞赛试题)证实：由题意，可知方程x2pxq0的两根为、由韦达定理得p，q于是pq，(1)1(1)(1)11(因1)一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理大纲要求1.把握一元二次方程根的判别式，会判定常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判定根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；2.把握韦达定理及其简单的应用；3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。内容分析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根当0时，方程有两个相等的实数根，当0时，方程没有实数根2.一元二次方程的根与系数的关系(1)假如一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a(2)假如方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=03.二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，假如可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)考察重点与常见题型1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出如今选择题或填空题中，如：关于x的二、考点训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：1x2x=5(2)9x262+2=0(3)x2x+2=02、当m=时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m=时，方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、已知关于x的方程10x2(m+3)x+m7=0，若有一个根为0，则m=，这时方程的另一个根是；若两根之和为3/5，则m=，这时方程的两个根为.4、已知32是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。5、求证：方程(m2+1)x22mx+(m2+4)=0没有实数根。6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是15和1+5。7、设x1,x2是方程2x2+4x3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1)(x1+1)(x2+1)(2)x2/x1+x1/x23x12+x1x2+2x1解题指导1、假如x22(m+1)x+m2+5是一个完全平方式，则m=;2、方程2x(mx4)=x26没有实数根，则最小的整数m=;3、已知方程2(x1)(x3m)=x(m4)两根的和与两根的积相等，则m=;4、设关于x的方程x26x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20，则k值为;5、设方程4x27x+3=0的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值:(1)x12+x22(2)x1x23x1x24x1x2212x16.实数s、t分别知足方程19s299s10和且1999tt20求代数式(st4s1)/t的值。7.已知a是实数，且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+1(1/2)(a2x2a21)=0有无实根8.求证：不管k为何实数，关于x的式子(x1)(x2)k2都能够分解成两个一次因式的积。9实数K在什么范围取值时，方程kx22k1xK10有实数正根独立训练一1、不解方程，请判别下列方程根的情况；(1)2t2+3t4=0,;(2)16x2+9=24x,;(3)5(u2+1)7u=0,;2、若方程x2(2m1)x+m2+1=0有实数根，则m的取值范围是;3、一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+3和23，则p=,q=;4、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是，m=;5、若方程x2+mx1=0的两个实数根互为相反数，那么m的值是;6、m,n是关于x的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根，则代数式mn=。7、已知关于x的方程x2(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值;8、假如和是方程2x2+3x1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于+(1/)和+(1/);9、已知a,b,c是三角形的三边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时，二次三项式2x2(4k+1)x+2k21可因式分解.11.已知关于X的一元二次方程m2x223mx10的两实数根为,，若s1/1/，求s的取值范围。独立训练二1、已知方程x23x+1=0的两个根为,，则+=,=;
