数学分析练习题_2.docx
数学分析练习题第二章数列极限一、填空题1=+Nnnn1(3211)lim_；2-+3(limnnn3=+nnn31913112141211lim；4已知2235lim2=-+nbnann，则=a，=b；5=-+nnnnn3535lim；6已知2003)1(lim=-bbannnn，则=a，=b；7=+)12111(lim222nnnnnnnn；8=-?-)11()311)(211(lim222nn；二、选择填空1“对任意给定的)1,0(，总存在正整数N，当Nn时恒有2|-aan是数列na收敛于a的A充分条件但非必要条件。B必要条件但非充分条件C充分必要条件D既非充分条件又非必要条件。2数列na不收敛于a的充要条件是A对于任给0>，知足，总有相应的项na，-|aan。C存在某个正数0，除有限项外，都有0|-aanD存在某个正数0，有无穷多项知足0|-aan3设数列nx与ny知足0lim=nnnyx，则下列断言正确的是A若nx发散，则ny必发散。B若nx无界，则ny必有界。C若nx有界，则ny必为无穷小。D若nx1为无穷小，则ny必为无穷小。4设na收敛，nb发散，则Annba必收敛。Bnnba必发散。Cnnba+必收敛。Dnnba+必发散。5设数列na无上界且,2,1,0=nan，则A1-na必有上界B对于任给定的M>0，必有无穷多项Man>。C对于足够大的M>0，小于M的项na只要有限个。D存在某个正数M和正整数N，当Nn时有Man>三、计算题1设an=n1)(1n-+，n=1,2,a=0.(1)对下列的分别求出定义中的N;1=0.1,2=0.01,3=0.001;(2)对1、2、3能够找到相应的N能否证实了n1)(1n-+趋于0,应该如何做才对;(3)对给定的能否只能找到一个N?2求下列极限:(1)32n4n13nnlim323n+;(2)2nn2n1lim+;(3)1n1nnn3(-2)3(-2)lim+;(4)()nnnn1lim2n-+; (5)1021(limnnnn+;(6)n2n2n313131212121lim+.3求下列极限:(1)?+?+?1)n(n1321211limn;(2)()n284n2222lim?;(3)?+n2n21-2n2321lim;(4)nnn11lim-;(5)?+222n(2n)11)(n1n1lim;(6)?+nn12n11n1lim222n.4求下列极限:(1)2n12n4321limn-?;(2)=n1pnp!n!1lim;(3)nlim(n+1)2-n2,(00,an+1=c+na;(3)an=n!cn(c>0).6用nnn11lim?+=e求下列极限: (1)nnn11lim?-;(2)nn1n11lim?+;(3)nn2n11lim?+;(4)n2nn11lim?+.四、证实题1按-N定义证实:(1)1nnlimn+=1;(2)231-2n3nlim22n=+n;(3)nnnn!lim=0;(4)nsinlimn=0;(5)nnanlim=0,(a>1).2证实:若alimn=a,则对任一自然数k,有knnalim+=a.3按-N定义证实:(1)()nn-+1limn=0;(2)3nnn21lim+=0;(3)1alimnn=,其中an=?+-.为奇数n,nnn,为偶数n,n1n24证实:若nnalim=a,则|a|limnn=|a|,又反之能否成立?5试用-N的讲法正面陈述:a不是数列an的极限,并证实:(1)数列n1的极限不是1;(2)数列1nn+的极限不是0.6设nnalim=a,nnblim=b.且aN时,有an9证实下列数列不收敛(1)?+-1nn1)(n;(2)n1)(n-;(3)?4ncos.10设nnalim=a,证实:(1)nnlimnan=a;(2)若a>0,an>0,则nnnalim=111证实:若单调数列an含有一个收敛的子列,则an一定是收敛数列.12证实:若an为递增(减)有界数列,则nnalim=supan(infan).又问,逆命题能否成立?为何?13设an为有界数列,设na=supan,an+1,与na=infan,an+1,证实:(1)对任何的自然数n,nana;(2)na为递减数列,na为递增数列;且对任何的自然数m、n,有nama.(3)设a、a分别是na和na的极限,则aa;(4)an有极限的充要条件是a=a.14利用不等式bn+1-an+1>(n+1)an(b-a),b>a>0.证实:?+1nn11为递减数列,并由此推出?+1nn11为有界数列.15给定两正数a1与b1(a1>b1),作出其等差中项a2=2ba11+与等比中项b2=11ba，一般地令an+1=2bann+，bn+1=nnba.证实：nnalim与nnblim皆存在且相等.16利用柯西收敛准则,证实下面数列an收敛:(1)an=21sin+222sin+22sinn;(2)an=1+222n13121+.五、考研题温习题1求下列数列的极限：1nn3n3nlim+；2n5nenlim；3()n1n22nlimn+-+2证实下列各题极限：1()1q0qnlimn2n，则aaaalimnn21n=?。4应用上题结果证实下列各题：10nn1211limn=+?+；()0a,1alimnn>=；1limnn=；0!n1limnn=；e!nnlimnn=；61n21limnn=+?+；7若()0babblimnv1nn>=+，则ablimnnn=；8若()daalim1nnn=-，则有dnalimnn=。5证实：若na为递增数列，nb为递减数列，且()0balimnnn=-，则nnnnblim,alim存在且相等。6若数列na存在常数M，对一切的n有MaaaaaaA1nn2311n-+?+-+-=-证实：1nA为收敛数列；2na为收敛数列。7设?+=>>aka21a,0k,0a1，一般地=+1na?+nnaka21，证实数列ma极限存在且等于k8设0ba11>>，且=+=-n1n1nnb,2baa()?=+-2,3n,bab2a1n1n1n1n。证实数列na、nb的极限存在且都等于11ba。9正面陈述：发散数列的充要条件，并用它证实下列数列na是发散的：1()n1ann-=；22nsinan=；3n1211an+?+=。10设bblim,aalimnnnn=，记nnnnnnb,aminT,b,amaxS=，证实：1b,amaxSlimnn=；2b,aminTlimnn=；
