高中数学空间向量及其运算题库.docx

高中数学空间向量及其运算题库§3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算学习目的1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.3.把握数乘向量运算的意义及运算律知识点一空间向量的概念1在空间中，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a可以记作AB，其模记为|a|或|AB|.2几类特殊的空间向量知识点二空间向量的加减运算及运算律1类似于平面向量，能够定义空间向量的加法和减法运算OBOAABab，CAOAOCab.2空间向量加法交换律abba，空间向量加法结合律(ab)ca(bc)知识点三数乘向量运算1实数与向量的积与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作a，其长度和方向规定如下：(1)|a|a|.(2)当>0时，a与向量a方向一样；当题点相等、相反向量答案D解析A中，空间向量知足加法结合律；B中，|a|b|只能讲明a，b的长度相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比拟大小，故选D.(2)给出下面结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别一样；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有ACA1C1；若空间向量m，n，p知足mn，np，则mp.其中不正确的个数是()A0B1C2D3答案B解析两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定一样，故不正确；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有ACA1C1成立，故正确；显然正确故选B.反思感悟在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向一样、模相等两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反跟踪训练1(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，下列四对向量：AB与C1D1；AC1与BD1；AD1与C1B；A1D与B1C.其中互为相反向量的有n对，则n等于()A1B2C3D4答案B解析对于AB与C1D1，AD1与C1B长度相等，方向相反，互为相反向量；对于AC1与BD1长度相等，方向不相反；对于A1D与B1C长度相等，方向一样故互为相反向量的有2对(2)如图，在长方体ABCDABCD中，AB3，AD2，AA1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：单位向量共有多少个？试写出模为5的所有向量试写出与向量AB相等的所有向量试写出向量AA的所有相反向量解由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA，AA，BB，BB，CC，CC，DD，DD，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD，DA，AD，DA，BC，CB，BC，CB.与向量AB相等的所有向量(除它本身之外)有AB，DC及DC.向量AA的相反向量有AA，BB，CC，DD.题型二空间向量的加减运算例2如图，已知长方体ABCD-ABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量 (1)AACB；(2)AAABBC.解(1)AACBAADAAAADAD.(2)AAABBC(AAAB)BCABBCAC.向量AD，AC如下图引申探究利用本例题图，化简AAABBCCA.解结合加法运算AAABAB，ABBCAC，ACCA0.故AAABBCCA0.反思感悟空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵敏应用相反向量可使向量间首尾相接(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果跟踪训练2在如下图的平行六面体中，求证：ACABAD2AC.证实平行六面体的六个面均为平行四边形，ACABAD，ABABAA，ADADAA，ACABAD(ABAD)(ABAA)(ADAA)2(ABADAA)又AACC，ADBC，ABADAAABBCCCACCCAC.ACABAD2AC.题型三数乘向量运算例3如下图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AA1a，ABb，ADc，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示下面各向量： (1)AP；(2)A1N；(3)MPNC1.解(1)APAD1D1P(AA1AD)12ABac12b.(2)A1NA1AANAA1AB12ADab12c.(3)MPNC1(MA1A1D1D1P)(NCCC1)12AA1AD12AB12ADAA132AA132AD12AB32a12b32c.引申探究若把本例中“P是C1D1的中点改为“P在线段C1D1上，且C1PPD112，其他条件不变，如何表示AP？解APAD1D1PAA1AD23ABac23b.反思感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合详细图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目的向量转化为已知向量(2)明确目的：在化简经过中要有目的意识，巧妙运用中点性质跟踪训练3如图，在空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG2GN，如下图，记OAa，OBb，OCc，试用向量a，b，c表示向量OG.解OGOMMGOM23MN12OA23(MOOCCN)12a2312ac12(bc)16a13b13c.对空间向量的有关概念理解不清致误典例下列讲法中，错误的个数为()若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点一样，终点也一样；若向量AB，CD知足|AB|CD|，AB与CD同向，则AB>CD；若两个非零向量AB，CD知足ABCD0，则AB，CD互为相反向量；ABCD的充要条件是A与C重合，B与D重合A1B2C3D4考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案C解析错误，两个空间向量相等，其模相等且方向一样，但与起点和终点的位置无关错误，向量的模能够比拟大小，但向量不能比拟大小正确，由ABCD0，得ABCD，所以AB，CD互为相反向量错误，ABCD的充要条件是|AB|CD|，且AB，CD同向但A与C，B与D不一定重合故一共有3个错误命题，正确答案为C.素养评析(1)把握空间向量的相关概念是正确解答此题的关键(2)准确把握推理的形式和规则，有利于培养学生的符合逻辑的思维品质.1下列命题中，假命题是()A同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比拟大小B两个相等的向量，若起点一样，则终点也一样C只要零向量的模等于0D空间中任意两个单位向量必相等答案D2在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，与向量AD相等的向量共有()A1个B2个C3个D4个答案C解析与AD相等的向量有A1D1，BC，B1C1，共3个3向量a，b互为相反向量，已知|b|3，则下列结论正确的是()AabBab为实数0Ca与b方向一样D|a|3答案D解析向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反故D正确4已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则MGABAD等于()A.32DBB3MGC3GMD2MG答案B解析MGABADMG(ABAD)MGDBMG2MG3MG.5在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：(ABBC)CC1；(AA1A1D1)D1C1；(ABBB1)B1C1；(AA1A1B1)B1C1.其中运算的结果为AC1的有_个答案4解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判定：(ABBC)CC1ACCC1AC1；(AA1A1D1)D1C1AD1D1C1AC1；(ABBB1)B1C1AB1B1C1AC1；(AA1A1B1)B1C1AB1B1C1AC1.所以4个式子的运算结果都是AC1.1一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的(2)单位向量方向固然不一定一样，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也一样若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量2空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵敏运用相反向量可使向量首尾相接(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.一、选择题1下列命题中为真命题的是()A向量AB与BA的长度相等B将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C空间向量就是空间中的一条有向线段D不相等的两个空间向量的模必不相等考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案A解析对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，零向量不能用有向线段表示；对于选项D，向量a与向量b不相等，未必它们的模不相等，故选A.2已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则ABBCCD为()A.ADB.BDC.ACD0答案A解析ABBCCDACCDAD.3如下图，点D是空间四边形OABC的边BC的中点，OAa，OBb，OCc，则AD为()A.12(ab)cB.12(ca)bC.12(bc)aDa12(bc)答案C解析ADAOODOA12(OBOC)a12(bc)4在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量表达式DD1ABBC化简后的结果是()A.BD1B.D1BC.B1DD.DB1答案A解析如下图，DD1AA1，DD1ABAA1ABBA1，BA1BCBD1，DD1ABBCBD1.5.在空间平移ABC到ABC，连接对应顶点，设AAa，ABb，ACc，M是BC的中点，N是BC的中点，如下图，用向量a，b，c表示向量MN等于()A.a12b12cB.12a12b12cCa12bD.12a答案D解析MN12BB12AA12a.6.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，ABDC，则下列向量相等的是()A.AD与CBB.OA与OCC.AC与DBD.DO与OB答案D解析ABDC，|AB|DC|，ABDC，即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知，DOOB.7.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1a，A1D1b，