高中数学空间向量与立体几何典型例题.docx

高中数学空间向量与立体几何典型例题空间向量与立体几何典型例题一、选择题：1(2020全国卷理)已知三棱柱111ABCABC-的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC内的射影为ABC的中心，则1AB与底面ABC所成角的正弦值等于CA13BCD231.解：C由题意知三棱锥1AABC-为正四面体，设棱长为a，则1AB=，棱柱的高13AOa=即点1B到底面ABC的距离，故1AB与底面ABC所成角的正弦值为113AOAB=.另解：设1,ABACAAuuuruuuruuur为空间向量的一组基底，1,ABACAAuuuruuuruuur的两两间的夹角为060长度均为a，平面ABC的法向量为111133OAAAABAC=-uuuruuuruuuruuur,11ABABAA=+uuuruuuruuur211112,33OAABaOAAB?=uuuruuuruuuruuur则1AB与底面ABC所成角的正弦值为11113OAABAOAB?=uuuuruuuruuuruuur.二、填空题：1(2020全国卷理)等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD-MN，分别是ACBC，的中点，则EMAN，所成角的余弦值等于611.答案：16.设2AB=，作COABDE面，OHAB，则CHAB，CHO为二面角CABD-cos1CHOHCHCHO=?=，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则ANEM=11(),22ANACABEMACAE=+=-uuuruuuruuuruuuuruuuruuur,11()()22ANEMABACACAE?=+?-=uuuruuuuruuuruuuruuur12故EMAN，所成角的余弦值16ANEMANEM?=uuuruuuuruuuruuuur另解：以O为坐标原点，建立如下图的直角坐标系，则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),ABEC-,当前位置：文档视界高中数学空间向量与立体几何典型例题高中数学空间向量与立体几何典型例题(1)设AB与MD所成的角为,(1,0,0),(1)22ABMD=-uuuruuuur1cos,23ABMDABMD=?uuuruuuurguuuruuuur,AB与MD所成角的大小为3(2)2),(2)OPOD=-=-uuuruuur设平面OCD的法向量为(,)nxyz=,则0,0nOPnOD=uuuruuurgg即2020yzxyz-=?+-=?取z=解得(0,n=设点B到平面OCD的距离为d,则d为OBuuur在向量(0,n=上的投影的绝对值, (1,0,2)OB=-uuur,23OBndn?=uuur.所以点B到平面OCD的距离为2322020安徽理如图，在四棱锥OABCD-中，底面ABCD四边长为1的菱形，4ABC=,OAABCD底面,2OA=,M为OA的中点，N为BC的中点。证实：直线MNOCD平面；求异面直线AB与MD所成角的大小；求点B到平面OCD的距离。2方法一综合法1取OB中点E，连接ME，NEMECDMECDQ，AB,AB又,NEOCMNEOCDQ平面平面MNOCD平面2CDQAB,MDC为异面直线AB与MD所成的角或其补角作,APCDP于连接MP平面ABCD，OACDMP,4ADP=DP=MD=NB当前位置：文档视界高中数学空间向量与立体几何典型例题高中数学空间向量与立体几何典型例题AC.求证：PCAB；求二面角B-AP-C的大小.3解法一：取AB中点D，连结PD，CD.AP=BP，PDAB.AC=BC.CDAB.PDCDD.AB平面PCD.PC?平面PCD，PCAB.AC=BC,AP=BP,APCBPC.又PCAC，PCBC.又ACB90°，即ACBC，且ACPC=C，ABBP，BEAP.EC是BE在平面PAC内的射影，CEAP.BEC是二面角B-AP-C的平面角.在BCE中，BCE=90°,BC=2,BE=623=AB，sinBEC=.36=BEBC二面角B-AP-C的大小为aresin.36解法二：AC=BC,AP=BP,APCBPC.又PCAC.PCBC.ACBC=C,PC平面ABC.AB?平面ABC，PCAB.()如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则C0，0，0，A0，2，0，B2，0，0.设P0，0，t,PB=AB22，t=2,P(0,0,2).取AP中点E，连结BE，CE.AC=PC,AB=BP,CEAP,BEAP.BEC是二面角B-AP-C的平面角.E(0,1,1),),1,1,2(),1,1,0(-=-=cosBEC.33622=?=二面角B-AP-C的大小为arccos.3342020北京理如图，在三棱锥PABC-中，2ACBC=，90ACB=o，APBPAB=，PCAC求证：PCAB；求二面角BAPC-的大小；求点C到平面APB的距离4解法一：取AB中点D，连结PDCD，APBP=Q，PDABACBC=Q，CDABPDCDD=QI，AB平面PCDPC?Q平面PCD，PCABACBC=Q，APBP=，APCBPC又PCAC，PCBC又90ACB=o，即ACBC，且ACPCC=I，BC平面PAC取AP中点E连结BECE，ABBP=Q，BEAPECQ是BE在平面PAC内的射影，CEAPBEC是二面角BAPC-的平面角在BCE中，90BCE=o，2BC=，BEAB=sinBCBECBE=二面角BAPC-的大小为arcsin由知AB平面PCD，平面APB平面PCD过C作CHPD，垂足为HQ平面APBI平面PCDPD=，CH平面APBCH的长即为点C到平面APB的距离ABDPABEPABDPH由知PCAB，又PCAC，且ABACA=I，PC平面ABCCD?Q平面ABC，PCCD在RtPCD中，12CDAB=PDPB=2PC=PCCDCHPD=g点C到平面APB解法二：ACBC=Q，APBP=，APCBPC又PCAC，PCBCACBCC=QI，PC平面ABCAB?Q平面ABC，PCAB如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz-则(000)(020)(200)CAB，设(00)Pt，PBAB=Q，2t=，(002)P，取AP中点E，连结BECE，ACPC=Q，ABBP=，CEAP，BEAPBEC是二面角BAPC-的平面角(011)EQ，(011)EC=-uuur，(211)EB=-uuur，cos3ECEBBECECEB=uuuruuurguuuruuurg二面角BAPC-的大小为arccos3ACBCPC=Q，C在平面APB内的射影为正APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离如建立空间直角坐标系Cxyz-2BHHE=uuuruuurQ，点H的坐标为222333?，CH=uuur点C到平面APB5(2020福建文)如图，在四棱锥中，侧面PAD底面ABCD,侧棱,底面ABCDy为直角梯形，其中BCAD,ABCD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。1求证：PO平面ABCD;2求异面直线PB与CD所成角的余弦值；3求点A到平面PCD的距离5.解：如图，A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)所以(1,1,0),(1,1,1)CDPB=-=-uuuruuur6,PBCDCOSPBCDPBCD?=-?uuuruuuruuuruuuruuuruuur所以异面直线所成的角的余弦值为：6(2)设平面PCD的法向量为(,)nxyz=r，(1,0,1),(1,1,0)CPCD=-=-uuuruuur00nCPnCD?=?=ruuurruuur，所以?00xzxy-+=-+=；令x=1,则y=z=1,所以(1,1,1)n=r又(1,1,0)AC=uuur则，点A到平面PCD的距离为：23nACdn?=ruuurr6(2020福建理)如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD2，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.求证：PO平面ABCD；求异面直线PD与CD所成角的大小；线段AD上能否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为3？若存在，求出AQQD的值；若不存在，请讲明理由.6本小题主要考察直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考察空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.解法一：证实：在PAD中PA=PD,O为AD中点，所以POAD,又侧面PAD底面ABCD,平面PAD?平面ABCD=AD,PO?平面PAD，所以PO平面ABCD.连结BO，在直角梯形ABCD中、BCAD，AD=2AB=2BC,有ODBC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以OBDC.由知，POOB,PBO为锐角，所以PBO是异面直线PB与CD所成的角.由于AD=2AB=2BC=2,在RtAOB中，AB=1,AO=1,所以OB2，在RtPOA中，由于AP2，AO1，所以OP1，在RtPBO中，tanPBO22,arctan.222PGPBOBC=所以异面直线PB与CD所成的角是2arctan2.假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32.设QDx，则12DQCSx?=，由得CD=OB=2，在RtPOC中，222,PCOCOP=+=所以PC=CD=DP,233(2),42PCDS?=g由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q知足题意，此时13AQQD=.解法二：()同解法一.()以O为坐标原点，OCODOPuuuruuuruuur、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以110111CDPB-uuuruuur，.所以异面直线PB与CD所成的角是arccos6，()假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为3，由()知(1,0,1),(1,1,0).CPCD=-=-uuuruuur设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).则0,0,nCPnCD?=?=?uuurguuurg所以00000,0,xzxy-+=?-+=?即000xyz=，取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).设(0,0)(11),(1,0),QyyCQy-=-uuur由3CQnn=uuuuurg，得13,23y-+=解y=-12或y=52(舍去)，此时13,22AQQD=，所以存在点Q知足题意，此时13AQQD=.7、(2020海南、宁夏理)如图，已知点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，PDA=60°。1求DP与CC1所成角的大小；2求DP与平面AA1D1D所成角的大小。7解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-则(100)DA=uuur，(001)CC'=uuuur，连结BD，BD''1A在平面BBDD''中，延长DP交BD''于H设(1)(0)DHmmm=>uuuur，由已知60DHDA=ouuuuruuur，由cosDADHDADHDADH=uuuruuuuruuuruuuuruuuruuuurg，可得2221mm=+解得22m=，所以22122DH?=?uuuur，由于220011222cos212DHCC?+?+?'=?uuuuruuuur，所以45DHCC'=ouuuuruuuur，即DP与CC'所成的角为45o平面AADD''的一个法向量是(010)DC=uuur，由于220110122cos212DHDC?+?+?=?uuuuruuur，所以60DHDC=ouuuuruuur，可得DP与平面AADD''所成的角为30o8.(2020湖北文)如图，在直三棱柱111ABCABC-中，平面1ABC侧面11.AABB求证：;ABBC若1AAACa=，直线AC与平面1ABC所成的角为，二面角1,.2ABCA?-+=的大小为求证：8.本小题主要考察线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考察空间想象能力和推理论证能力.满分12分()证实：如右图，过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，则由平面A1BC侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1A1B，得AD平面A1BC.又BC平面A1BC所以ADBC.由于三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,则AA1底面ABC,所以AA1BC.又AA1AD=A,进而BC侧面A1ABB1,又AB侧面A1ABB1，故ABBC.()证法1：连接CD,则由()知ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，ABA1就是二面角A1BCA的颊角，即ACD，ABA1=?.于是在RtADC中，sin=aADACAD=,在RtADA1中，sinAA1DaADAAAD1,ABCDPA'B'C'D'xyzHsin=sinAA1D,由于与AA1D都是锐角，所以AA1D.又由RtA1AB知，AA1D?AA1B?2，故?2.证法2：由()知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如下图的空间直角坐标系.设AB=cca，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(0,0,22ca-),A1(0,c,a)，于是)0,0,(22caBC-=，1BA0，c,a,)0,(22ccaAC-=,1AA=(0,c,a)设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),则由?=-=+?=?.0,0,0,0221xcaazcyBCnBAn得可取n0，a，c，于是n·AC=ac0，AC与n的夹角为锐角,则与互为余角.sin=cos=222222222)()0,(),0(|cacccacaccacaACnACn+=+-+-=?,cos?=,),0,0(),0(|222211cacacaacaBABABABA+=+-=?所以sin=cos?=sin(?-2),又0，?2，所以+?=2.9.(2020湖北理)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC侧面A1ABB1.求证：ABBC；若直线AC与平面A1BC所成的角为,二面角A1-BC-A的大小为的大小关系，并予以证实.9.本小题主要考察直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考察空间想象能力和推理能力.满分12分证实：如右图，过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，则由平面A1BC侧面A1ABB1,且平面A1BCI侧面A1ABB1=A1B,得AD平面A1BC,又BC?平面A1BC，所以ADBC.由于三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，所以AA1BC.又AA1IAD=A,进而BC侧面A1ABB1，又AB?侧面A1ABB1，故ABBC.解法1：连接CD，则由知ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，1ABA是二面角A1BCA的平面角，即1,ACDABA=?