高中数学空间向量及其运算.docx

高中数学空间向量及其运算空间向量及其运算讲义知识点睛一、空间向量的定义及定理1定义：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量2空间向量的有关定理及推论1共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是：存在实数，使_扩大对空间三点P，A，B，可通过证实下列任意一个结论成立来证实三点共线：PAPB?=；对空间任一点O，OPOAtAB?=+；对空间任一点O，()1OPxOAyOBxy?=+=2共面向量定理假如两个向量a，b_，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是：存在_的有序实数对(x，y)，使_扩大对空间四点P，M，A，B，可通过证实下列任意一个结论成立来证实四点共面：MPxMAyMB?=+；对空间任一点O，OPOMxMAyMB?=+；对空间任一点O， ()1OPxOMyOAzOBxyz?=+=；PM?AB?(或PA?MB?或PB?AM?)3空间向量基本定理假如三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得_其中，_叫做空间的一个基底二、空间向量的线性运算类比平面向量三、空间向量的坐标运算la=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)(a，b均为非零向量)：a+b=_，a-b=_，a=_；a?b=_，a=_；cosb>=_=_；ab?_?_；ab?_?_四、空间位置关系1直线的方向向量与平面的法向量1直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称?AB为直线l的方向向量与?AB平行的任意_也是直线的方向向量2平面的法向量定义：与平面_的向量，称作平面的法向量确定：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为_2空间位置关系的向量表示精讲精练1.已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则1()2ABBDBC?+=GDCBAABC?BCG?CAG?D12BC?2.如图，在四面体OABC中，OA?=a，OB?=b，OC?=c，D为BC的中点，E为AD的中点，则?OE=_用a，b，c表示EOABCD3.已知向量a，b，且2AB?=+ab，56BC?=-+ab，72CD?=-ab，则一定共线的三点是AA，B，DBA，B，CCB，C，DDA，C，D4.下列等式中，使M，A，B，C共面的有_OMOAOBOC?=+-；111532OMOAOBOC?=+；MAMBMC?+=0；OMOAOBOC?+=05.已知a，b，c是空间向量的一个单位正交基底，a+b，a-b，c是空间的另一个基底，若向量p在基底a+b，a-b，c下的坐标为(32，12-，3)，则p在基底a，b，c下的坐标为_6.已知a=(x，4，1)，b=(-2，y，-1)，c=(3，-2，z)，ab，bc1x=_，y=_，z=_；2a+c与b+c所成角的余弦值为_7.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则EF?DC?=DCBAFEA14B14-C4D4-8.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则?AE?AF?的值为A2aB212aC214aD29.若n是平面的法向量，a是直线l的方向向量，则下列结论中正确的是A若l，则anB若l，则anC若an，则lD若a?n=0，则l10.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)三点，n=(1，1，1)，则以n为方向向量的直线l与平面ABC的关系是A垂直B不垂直C平行D以上都有可能11.若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是Aa=(1，0，0)，n=(-2，0，0)Ba=(1，3，5)，n=(1，0，1)Ca=(0，2，1)，n=(-1，0，-1)Da=(1，-1，3)，n=(0，3，1)12.已知平面，的法向量分别为a=(1，1，2)，b=(x，-2，3)，且，则x的值为A-2B-4C3D413.已知AB?=(2，2，1)，AC?=(4，5，3)，则平面ABC的单位法向量是_14.如图，在空间直角坐标系中，有直三棱柱111ABCABC-，CA=12CCCB=，则直线1BC与直线1AB夹角的余弦值为ABCD3515.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EFDA1B1D1C1A1DCBAEF16.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为A1B1，B1C1，C1D1的中点1求证：AG平面BEF；2在棱BB1上找一点M，使DM平面BEF，并证实你的结论GFEABCDA1C1D1B1回首与考虑_【参考答案】知识点睛一、21a=b；2不共线唯一p=xa+yb3p=xa+yb+zcx，y，z三、(a1+b1，a2+b2，a3+b3)(a1-b1，a2-b2，a3-b3) (a1，a2，a3)a1b1+a2b2+a3b3abab?a=ba1=b1，a2=b2，a3=b3a?b=0a1b1+a2b2+a3b3=0四、11非零向量；2垂直nanb?=?=?2a1=b1，a2=b2，a3=b3x1x2+y1y2+z1z2=0x1x2+y1y2+z1z2=0a1=b1，a2=b2，a3=b3a1=b1，a2=b2，a3=b3x1x2+y1y2+z1z2=0精讲精练1C212a+14b+14c3A45(1，2，3)612、-4、22219-7B8C9C10A11D12B13(13，23-，23)或(13-，23，23-)14A15略161略；2M为BB1的中点空间向量及其运算随堂测试1如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量OA?，OB?，OC?表示OP?和OQ?C【参考答案】1OP?=111633OAOBOC?+OQ?=111366OAOBOC?+2D36空间向量及其运算作业例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面A1B1C1D1的中心，若1AEAAxAByAD?=+，则x，y的值分别为Ax=1，y=1Bx=1，y=12B1D1C1A1ECx=12，y=12Dx=12，y=1【思路分析】11111111111()()221122AEAAAEAAABADAAABADAAABAD?=+=+=+=+，1AEAAxAByAD?=+，1122xy，=，故选C设AB?=a，AD?=b，1AA?=c，1AC?=AB?+BC?+1CC?=AB?+AD?+1AA?=a+b+c，1BD?=-AB?+AD?+1DD?=-a+b+c，11ACBD?=(a+b+c)?(-a+b+c)=-a2+b2+c2+2b?c=-4+1+4+2×1×2×12=3例3：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是A1B1，C1D1的一个四等分点，求BE与DF所成角的余弦值FECBADC1B1D1A11