高中数学方法篇之待定系数法.docx

高中数学方法篇之待定系数法高中数学方法篇之待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论根据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是根据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判定一个问题能否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题能否具有某种确定的数学表达式，假如具有，就能够用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都能够用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，进而使问题得到解决。怎样列出一组含待定系数的方程，主要从下面几方面着手分析：利用对应系数相等列方程；由恒等的概念用数值代入法列方程；利用定义本身的属性列方程；利用几何条件列方程。比方在求圆锥曲线的方程时，我们能够用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。一、再现性题组：1.设f(x)x2m，f(x)的反函数f-1(x)nx5，那么m、n的值依次为_。A.52,2B.52，2C.52,2D.52，22.二次不等式ax2bx2>0的解集是(12,13)，则ab的值是_。A.10B.10C.14D.143.在(1x3)1x10的展开式中，x5的系数是_。A.297B.252C.297D.2074.函数yabcos3x(b【简解】1小题：由f(x)x2m求出f-1(x)2x2m，比拟系数易求，选C；2小题：由不等式解集(12,13)，可知12、13是方程ax2bx20的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得ab，选D；3小题：分析x5的系数由C105与(1)C102两项组成，相加后得x5的系数，选D；4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案23；5小题：设直线L方程2x3yc0，点A(1,-4)代入求得C10，即得2x3y100；6小题：设双曲线方程x2y24，点(2,2)代入求得3，即得方程x23y2121。二、示性题组：例1.已知函数ymxxnx22431+的最大值为7，最小值为1，求此函数式。【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法。【解】函数式变形为：(ym)x243x(yn)0，xR,由已知得ym0(43)24(ym)(yn)0即：y2(mn)y(mn12)0不等式的解集为(-1,7)，则1、7是方程y2(mn)y(mn12)0的两根，代入两根得：1120497120+-=-+-=?()()mnmnmnmn解得：mn=?51或mn=?15y5431122xxx+或者yxxx224351+此题可以由解集(-1,7)而设(y1)(y7)0,即y26y70，然后与不等式比拟系数而得：mnmn+=-=-?6127，解出m、n而求得函数式y。【注】在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法能够求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比拟含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。此题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用0,建立了关于参数y的不等式，解出y的围就是值域，使用“判别式法的关键能否能够将函数化成一个一元二次方程。例2.设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线相互垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是105，求椭圆的方程。【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了。设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为ac的值后列出第二个方程。【解】设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF|aabcaabac2222222105=+=-=-?()解得：ab=?105所求椭圆方程是：x210y251可以有垂直关系推证出等腰RtBBF后，由其性质推证出等腰RtBOF，再进行如下列式：bcacabc=-=-=+?105222，更容易求出a、b的值。【注】圆锥曲线中，参数a、b、c、e、p确实定，是待定系数法的生动体现；怎样确定，要捉住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据a、b、c、e不变，此题就利用了这一特征，列出关于ac的等式。一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程或几何数据几何条件转换成方程求解已知系数代入。例3.能否存在常数a、b、c，使得等式1·222·32n(n1)2nn()+112(an2bnc)对一切自然数n都成立？并证实你的结论。89年全国高考题【分析】能否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证实等式对所有自然数n都成立。【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n1，得416(abc)；n2，得2212(4a2bc)；n3，得709a3bc。整理得：yBFabcabcabC+=+=+=?2442449370,解得abc=?31110，于是对n1、2、3，等式1·222·32n(n1)2nn()+112(3n211n10)成立，下面用数学归纳法证实对任意自然数n，该等式都成立：假设对nk时等式成立，即1·222·32k(k1)2kk()+112(3k211k10)；当nk1时，1·222·32k(k1)2(k1)(k2)2kk()+112(3k211k10)(k1)(k2)2kk()+112(k2)3k5(k1)(k2)2()()kk+12123k25k12k24()()kk+12123(k1)211(k1)10，也就是讲，等式对nk1也成立。综上所述，当a8、b11、c10时，题设的等式对一切自然数n都成立。【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。对于能否存在性问题待定系数时，能够根据先试值、再猜测、最后归纳证实的步骤进行。此题假如记得两个特殊数列1323n3、1222n2求和的公式，可以以捉住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n1)2n32n2n得Sn1·222·32n(n1)2(1323n3)2(1222n2)(12n)nn2214()+2×nnn()()+1216nn()+12nn()+112(3n211n10)，综上所述，当a8、b11、c10时，题设的等式对一切自然数n都成立。例4.有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取适宜的变量建立目的函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。【解】依题意，矩形盒子底边边长为(302x)cm，底边宽为(142x)cm，高为xcm。盒子容积V(302x)(142x)x4(15x)(7x)x，显然:15x>0，7x>0，x>0。设V4ab(15aax)(7bbx)x(a>0,b>0要使用均值不等式，则-+=-=-=?abaaxbbxx10157解得：a14，b34，x3。进而V643(154x4)(21434x)x643(1542143)3643×27576。所以当x3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm3。【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不知足时要凑配系数，能够用“待定系数法求。此题解答中可以以令V4ab(15aax)(7x)bx或4ab(15x)(7aax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，此题也体现了“凑配法和“函数思想。三、稳固性题组：1.函数ylogax的x2,+)上恒有|y|>1，则a的取值围是_。A.2>a>12且a1B.0010.设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线y2x7和抛物线截得的线段长是410,求抛物线的方程。