二次函数与二次方程二次不等式的关系.docx
二次函数与二次方程二次不等式的关系二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、知识要点知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着特别严密的联络；当二次函数y=ax2+bx+c(a0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当y0时，就是二次不等式。知识点2、二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全一样的，这是数和形有机结合的重要体现。研究二次函数y=ax2bxc图象与x轴交点问题进而就转化为研究一元二次方程ax2bxc=0的根的问题，这样图像问题就能够转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。知识点3、二次函数与一元二次方程、二次不等式三者之间的内在联络如下表所示：二、典型例题例1、已知二次函数y=x2m3xm的图象是抛物线，如图1试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？2当m为何值时，方程x2m3xm=0的两个根均为负数？3设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时MPQ的面积变式训练：1、函数y=ax2bxc的图象过1，0，则bacacbcba+的值是_2、已知二次函数y=x2mxm2求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点3已知二次函数y=x22kxk2k21当实数k为何值时，图象经过原点？2当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？5已知抛物线y=mx232mxm2m0与x轴有两个不同的交点1求m的取值范围；2判定点P1，1能否在抛物线上；3当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P的坐标，并过P、Q、P三点，画出抛物线草图例2、(此题满分12分)二次函数26(0)yaxbxa=+的图像交y轴于C点，交x轴于A，B两点点A在点B的左侧，点A、点B的横坐标是一元二次方程24120xx-=的两个根.1求出点A、点B的坐标及该二次函数表达式.2如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上一个动点点Q不与点O、B重合，过点Q作QDAC交于BC点D，设Q点坐标m，0，当CDQ?面积S最大时，求m的值.3如图3，线段MN是直线y=x上的动线段点M在点N左侧，且2MN=，若M点的横坐标为n，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q.以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出n的值；若不能，请讲明理由变式训练：2021?资阳如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c0的解集是A1x5Bx5Cx1且x5Dx1或x5例3、已知关于x的一元二次方程2220xaxb+=，0,0>>ba.1若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；2若ab=23，且1222xx-=，求a，b的值；=b24ac0=00二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根无实数根一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的解集x1x或x2x1x2xx为全体实数一元二次不等ax2+bx+c0(a0)的解集1xx2x1x2x无解无解3在2的条件下，二次函数222yxaxb=+的图象与x轴的交点为A、C点A在点C的左侧，与y轴的交点为B，顶点为D.若点Px，y是四边形ABCD边上的点，试求3xy的最大值.变式训练：2021甘肃兰州10分设二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)利用根与系数关系定理能够得到A、B两个交点间的距离为：AB|x1x2|2b4ac=a-。参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然ABC为等腰三角形(1)当ABC为直角三角形时，求b24ac的值；(2)当ABC为等边三角形时，求b24ac的值例4、2021广东肇庆10分已知二次函数2ymxnxp=+图象的顶点横坐标是2，与x轴交于Ax1，0、Bx2，0，x10x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tantanCABO1OC-=1求证：n4m0+=；2求m、n的值；3当p0且二次函数图象与直线yx3=+仅有一个交点时，求二次函数的最大值变式训练：2021湖北荆门10分已知：y关于x的函数y=k1x22kx+k+2的图象与x轴有交点1求k的取值范围；2若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且知足k1x12+2kx2+k+2=4x1x2求k的值；当kxk+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值【家庭作业】1.2021天津市10分已知抛物线y=ax2+bx+c02ab的顶点为Px0，y0，点A1，yA、B0，yB、C1，yC在该抛物线上当a=1，b=4，c=10时，求顶点P的坐标；求ABCyyy-的值；当y00恒成立时，求ABCyyy-的最小值2.2021湖北黄石10分已知抛物线C1的函数解析式为2yaxbx3a(b0)=+-，请证实：1xx+2,并讲明x为何值时才会有1x2x+=.3若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设1A(m,y)，2B(n,y)是C2上的两个不同点，且知足：00AOB9=，m0>，n0
