韦达定理法.docx

韦达定理法韦达定理法利用一元二次方程的韦达定理(即根与系数的关系)解题的方法叫做韦达定理法，它是处理解析几何问题的一个主要技巧(一)关于弦中点问题例1已知点M(2，2)是椭圆x24y2-2x-12y6=0内部一点，过M作直线l交此椭圆于两点A、B，使M为弦AB的中点，求直线l的方程【解法1】先考察过M点斜率不存在的直线x=2由于点M不再考察过M点斜率存在的直线设直线l的方程为y-2=k(x-2)，即y=kx-2k2，把它代入椭圆方程中，整理，得(1+4k2)x2-2(8k2-2k+1)x+2(8k2-4k-1)=0设A、B的横坐标分别为x1、x2，则由韦达定理，得又由中点坐标公式，得即x+2y-6=0把它代入椭圆的方程中，整理，得(cos2+4sin2)t2+2(cos+2sin)t-2=0M是弦AB的中点，由韦达定理，得即x2y-6=0【讲解】已知圆锥曲线内一点，求以该点为中点的弦所在的直线方程，用韦达定理法去解，一般有上述两种方法B1、B2，且A为B1B2的中点？这样的直线m假如存在，求出它的方程；假如m不存在，讲明理由【解】设所求的直线方程为y=k(x-1)+1，代入双曲线方程中，整理，可得(2-k2)x2+2(k2-k)x-(k2-2k+3)=0设B1(x1，y1)、B2(x2，y2)，则A为B1B2中点的充要条件为解，得k=2代入中，不合适