判别式与韦达定理(竞赛辅导)_1.docx

判别式与韦达定理(竞赛辅导)判别式与韦达定理根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，可以以将一些外表上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.1判别式的应用例1已知实数a、b、c、R、P知足条件PR1，Pc+2b+Ra=0.求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实根.证实:=2b2-4ac.若一元二次方程有实根，必须证0.由已知条件有2b=-Pc+Ra，代入，得=Pc+Ra2-4ac=Pc2+2PcRa+Ra2-4ac=Pc-Ra2+4acPR-1.Pc-Ra20，又PR1，a0，1当ac0时，有0；2当ac0时，有=2b2-4ac0.1、2证实了0，故方程ax2+2bx+c=0必有实数根.例2k是实数，O是数轴的原点，A是数轴上的点，它的坐标是正数a.P是数轴上另一点,坐标是x,xa，且OP2=k·PA·OA.1k为何值时，x有两个解x1，x2设x1x2；2若k1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“连接.解1由已知可得x2=k·a-x·a，即x2+kax-ka2=0，当判别式0时有两解，这时=k2a2+4ka2=a2kk+40.a0，kk+40，故k-4或k0.2x10x2a.例3证实不可能分解为两个一次因式之积.分析若视原式为关于x的二次三项式，则可利用判别式求解.证实:将此式看作关于x的二次三项式，则判别式=显然不是一个完全平方式，故原式不能分解为两个一次因式之积.例3已知x，y，z是实数，且x+y+z=ax2+y2+z2=12a求证：0x23a,0y23a,0z23a.分析:将代入可消去一个字母，如消去z，然后整理成关于y的二次方程讨论.证实:由得z=a-x-y，代入整理得此式可看作关于y的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有