变化率与导数.ppt

微积分主要与四类问题的处理相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。变化率问题变化率问题34( )3V rr问题问题1 1 气球膨胀率气球膨胀率33()4Vr V2( )4.96.510h ttt 问题问题2 2 高台跳水运动中，运动员相对高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度是于水面的高度是引导：引导：1这一现象中，哪些量在改变？这一现象中，哪些量在改变？2 变量的变化情况？变量的变化情况？3 引入气球平均膨胀率的概念引入气球平均膨胀率的概念3343( )( )34VV rrr V当空气容量从增加时，半径增加了当空气容量从增加时，半径增加了 r(1)r(1)r(0)= 0.62 r(0)= 0.62 当空气容量从加时，半径增加了当空气容量从加时，半径增加了 r(r() )r(r()= 0.)= 0. 探究活动探究活动 气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率出函数的平均变化率21212121()()()()r Vr VfxfxVVxx设某个变量设某个变量 f f 随随 x x 的变化而变化，的变化而变化，0limxfx 0()( )limxf xxf xx 从从 x x 经过经过 x x ， 量量 f f 的改变量为的改变量为()()ffxxfx 量量 f f 的平均变化率为的平均变化率为()( )ffxxfxxx 0 xfx 令， 则得到 在 的（瞬时）变化率：平均速度反映了汽车在前平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度，为了了秒内的快慢程度，为了了解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度瞬时速度瞬时速度2 瞬时速度瞬时速度 平均速度的概念平均速度的概念这段时间内汽车的平均速度为这段时间内汽车的平均速度为 )/(5410150hkmtsv 所有的时间所有的时间经过的路程经过的路程 已知物体作变速直线运动，其运动方程为已知物体作变速直线运动，其运动方程为ss(t)(表示位移，表示位移，t 表示时间表示时间)，求物体在，求物体在 t0 时刻的速度时刻的速度 如图设该物体在时刻如图设该物体在时刻t0的位置是的位置是(t0)OA0，在时刻，在时刻t0 + t 的位置是的位置是s(t0+ t) OA1，则从，则从 t0 到到 t0 + t 这段时间内，物体这段时间内，物体的的 位移是位移是 )()(0001tsttsOAOAs 在时间段在时间段( t0+ t) t0 = t 内，物体的平均速度为内，物体的平均速度为:tsttttsttsv 0000)()( 要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律是律是 s =s(t )，那么物体在时刻，那么物体在时刻t 的的瞬时速度瞬时速度v，就是，就是物体在物体在t 到到 t+ t 这段时间内，当这段时间内，当 t0 时平均速度时平均速度的极限即的极限即vttsttstsvt )()(lim0 要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律是律是 s =s(t )，那么物体在时刻，那么物体在时刻t 的的瞬时速度瞬时速度v，就是，就是物体在物体在t 到到 t+ t 这段时间内，当这段时间内，当 t0 时平均速度时平均速度的极限即的极限即vttsttstsvt )()(lim0 瞬时速度瞬时速度2( )4.96.510h ttt 高台跳水高台跳水v vtt-0.1-12.610.1-13.59-0.01-13.0510.01-13.149-0.001-13.09510.001-13.1049-0.0001-13.0099510.0001-13.10049-0.00001-13.0999510.00001 -13.1000492( )4.96.510h ttt 高台跳水高台跳水()( )hh tth tvtt 00(2)(2)(2)limlim (4.913.1)13.1tththvtt 导数的概念导数的概念00000()()()limlimxxf xxf xffxxx 一般地，函数一般地，函数 y y = =f f( (x x) ) 在点在点x x= =x x0 0处的瞬时变处的瞬时变化率是化率是0000()()limlimxxf xxf xfxx ox xy0()fx我们称它为函数我们称它为函数 y = f (x)在点在点x x= =x x0 0处的导数，处的导数，记为记为 或或，即，即导数导数的概念的概念也可记作也可记作ox xy 若这个若这个极极限不存在限不存在，则，则称在点称在点x x0 0 处处不不可导可导。 设函数设函数 y y = = f f( (x x) ) 在点在点 x x= =x x0 0 的附近有定义，当自变量的附近有定义，当自变量 x x 在在 x x0 0 处取得增量处取得增量 x x ( ( 点点 x x0 0 + +x x 仍在该定义内）时，仍在该定义内）时， 相相应地函数应地函数 y y 取得增量取得增量 y y = = f f ( (x x0 0 + +x x) )- f - f ( (x x0 0 ) )，若，若y y与与x x之比当之比当 x x00的极限存在，则称函数的极限存在，则称函数 y y = = f f( (x x) )在点在点 x x0 0 处处可导可导 ，并称这个并称这个极限极限为函数为函数 y y = = f f( (x x) )在点在点 x x0 0 处的处的导数导数， 记为记为 。0()fx00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 即即00( )( ),V tS t0()Kfx切说明：说明：)(xf0 x0 xxyxy0 x（1）函数）函数在点在点处可导，是指处可导，是指时，时，有极限如果有极限如果不存在极限，就说函数在不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数处不可导，或说无导数点点x是自变量是自变量x在在0 x处的改变量，处的改变量，0 x，而，而y是函数值的改变量，可以是零是函数值的改变量，可以是零 （2）)(xfy 0 x由导数的定义可知，求函数由导数的定义可知，求函数在在处的处的导数的步骤导数的步骤:00()()ff xxf x （1）求函数的增量）求函数的增量:；00()()f xxf xfxx（2）求平均变化率）求平均变化率:；00()limxffxx （3）取极限，得导数）取极限，得导数:00( )( ),V tS t0()Kfx切例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，原油的温度（单位：时，原油的温度（单位：）为）为xh2( )715(08).fxxxx计算第计算第2 h和第和第6 h，原油温度的瞬时变化率，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。并说明它们的意义。例例:高台跳水运动中，高台跳水运动中， 秒秒 时运动员相时运动员相对于水面的高度是对于水面的高度是 （单位：（单位： ），求运动员在），求运动员在 时的瞬时时的瞬时速度，并解释此时的运动状态速度，并解释此时的运动状态;在在 呢呢? t)(s105 . 69 . 4)(2ttthst1mst5 . 06 . 1) 5 . 0(/hst1ththth) 1 ()1 (ttt1015 . 619 . 410) 1(5 . 6) 1(9 . 4223 . 39 . 4t3 . 3同理，同理， thh1/运动员在时的瞬时速度为运动员在时的瞬时速度为 ，3 . 3) 1 (/hst1sm/3 . 3st5 . 0smh/6 . 1)5 . 0(/sm/6 . 1上升上升下落下落这说明运动员在附近，正以大约这说明运动员在附近，正以大约 的速率的速率 。3 . 39 . 4t0limt)(lim0t 3 . 31/hst5 . 0sm/)(xfxxfxxf)(00你能借助函数的图象说说平均变化率你能借助函数的图象说说平均变化率表示什么吗？请在函数表示什么吗？请在函数图象中画出来图象中画出来0 x割线割线AB的的变化情况的的变化情况在在的过程中，的过程中，请在函数图象中画出来请在函数图象中画出来你能描述一下吗？你能描述一下吗？3.1.1 3.1.1 导数的几何意义导数的几何意义00()( )nnnf xf xkxxPxy00 x( )yf xTnxPxyo0 x( )yf xT0000( )()( )(,()yf xxfxyf xM xf x函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率。0000()()lim()xf xxf xkxfx 00( )(,()yf xM xf x曲线在点处000()()yyfxxx的切线方程为的切线方程为0tan()PTkfx即即 圆的切线定义并不适圆的切线定义并不适用于一般的曲线。用于一般的曲线。 通过通过逼近逼近的方法，将的方法，将割线趋于的确定位置的割线趋于的确定位置的直线直线定义为切线定义为切线（交点（交点可能不惟一）可能不惟一）适用于各适用于各种曲线。所以，这种定种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的义才真正反映了切线的直观本质。直观本质。 2l1lxyABCPPP 根据导数的几何意义，在点根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以附近，曲线可以用在点用在点P处的切线近似代替处的切线近似代替 。 大多数大多数函数曲线函数曲线就就一小范围一小范围来看，大致可来看，大致可看作看作直线，直线，所以，所以，某点附近的曲线可以用过此某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即点的切线近似代替，即“以直代曲以直代曲” （以简（以简单的对象刻画复杂的对象）单的对象刻画复杂的对象） 1.在函数在函数 的的图像上，图像上，(1)用图形来体现导数用图形来体现导数 ， 的几何意义的几何意义. 105 . 69 . 4)(2ttth3 . 3) 1 (/h6 . 1)5 . 0(/hh0 . 15 . 0Ot (2)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4thtO3t4t0t1t2t (2)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4t增（减增（减):增（减）增（减）快慢：快慢：=切线的斜率切线的斜率附近：附近：瞬时瞬时变化率变化率（正或负）（正或负）即：瞬时变化率（导数）即：瞬时变化率（导数）（数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）画切线画切线即：导数即：导数 的绝多值的大小的绝多值的大小=切线斜率的绝对值的切线斜率的绝对值的 大小大小切线的倾斜程度切线的倾斜程度（陡峭程度）（陡峭程度）以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象(2) 曲线在曲线在 时，切线平行于时，切线平行于x轴，曲线在轴，曲线在 附近比较平坦，几乎没有升降附近比较平坦，几乎没有升降 0t曲线在曲线在 处切线处切线 的斜率的斜率 0 在在 附近，曲线附近，曲线 ，函数在，函数在 附近单调附近单调0t,1t,1t2t如图，切线如图，切线 的倾斜程度大于切线的的倾斜程度大于切线的倾斜程度，倾斜程度， 2t1t,3t4t大于大于上升上升递增递增2l1l3l4l3t4t上升上升这说明曲线在这说明曲线在 附近比在附近附近比在附近 得迅速得迅速2t,1l2l,3l4l0)(),(2/1/thth0)(),(4/3/thth,1t2t,3t4t递减递减下降下降小于小于下降下降,3t4t 2如图表示人体血管中的药物浓度如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：（单位：mg/ml）随时间）随时间t（单位：（单位：min） 变化的函数图像，根据图像，估计变化的函数图像，根据图像，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。的形式列出。(精确到精确到0.1) 血管中药物浓度的血管中药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率, 就是药物浓度就是药物浓度从图象上看从图象上看,它表示它表示曲线在该点处的曲线在该点处的切线的斜率切线的斜率.函数函数f(t)在此时刻的在此时刻的导数导数,（数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象)(0/xf)(/xf 抽象概括抽象概括：是确定的数是确定的数是的函数是的函数x 导函数的概念：导函数的概念：)(/xfxxfxxfxfx)(lim0000/ xxfxxfxfx)(lim0/t 0.2 0.4 0.60.8药物浓度的药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率 3 . 004 . 15 . 0小结：小结：.函数函数 在在 处的导数处的导数 的的几何意义，几何意义，就是函数就是函数 的图像在点的图像在点 处的切线处的切线AD的斜率的斜率（数形结合）（数形结合） )(xf0 xx 0/xf)(xf)(,00 xfxAxxfxxfxfx)()(lim)(0000/切线切线 AD的斜率的斜率3.导函数导函数(简称导数简称导数) xxfxxfxfx)()(lim)(0/ 2.利用利用导数的几何意义导数的几何意义解释实际生活问题，解释实际生活问题，体会体会“数形结合数形结合”，“以直代曲以直代曲”的数学的数学思想方法。思想方法。 以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象