高中数学竞赛培优专题辅导-平面向量.docx
高中数学竞赛培优专题辅导-平面向量高中数学竞赛培优专题辅导-平面向量高中数学竞赛培优专题辅导-平面向量高中数学竞赛培优专题辅导-平面向量一、基础知识定义1既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a.|a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。定义2方向一样或相反的向量称为平行向量或共线向量，规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1向量的运算，加法知足平行四边形法规，减法知足三角形法则。加法和减法都知足交换律和结合律。定理2非零向量a,b共线的充要条件是存在实数0，使得a=.bf定理3平面向量的基本定理，若平面内的向量a,b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯逐一对实数x,y，使得c=xa+yb，其中a,b称为一组基底。定义3向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向一样的两个单位向量i,j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯逐一组实数x,y，使得c=xi+yi，则x,y叫做c坐标。定义4向量的数量积，若非零向量a,b的夹角为，则a,b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影注：投影可能为负值。定理4平面向量的坐标运算：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，1a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)，2a=(x1,y1),a·(b+c)=a·b+a·c，3a·b=x1x2+y1y2,cos(a,b)=222221212121yxyxyyxx+?+(a,b0),4.a/b?x1y2=x2y1,ab?x1x2+y1y2=0.定义5若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数，使21PPPP=，叫P分21PP所成的比，若O为平面内任意一点，则+=121OPOP。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1,y1),(x,y),(x2,高中数学竞赛培优专题辅导-平面向量高中数学竞赛培优专题辅导-平面向量y2)，则.1121212121yyyyxxxxyyyxxx-=-=?+=+=定义6设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点根据向量a=(h,k)的方向，平移|a|=22kh+个单位得到图形'F，这一经过叫做平移。设p(x,y)是F上任意一点，平移到'F上对应的点为)','('yxp，则?+=+=kyyhxx''称为平移公式。定理5对于任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),|a·b|a|·|b|，并且|a+b|a|+|b|.【证实】由于|a|2·|b|2-|a·b|2=)(22222121yxyx+-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)20，又|a·b|0,|a|·|b|0，所以|a|·|b|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1对n维向量，a=(x1,x2,xn)，b=(y1,y2,yn)，同样有|a·b|a|·|b|，化简即为柯西不等式：+)(2222122221nnyyyxxx(x1y1+x2y2+xnyn)20，又|a·b|0,|a|·|b|0，所以|a|·|b|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1对n维向量，a=(x1,x2,xn),b=(y1,y2,yn)，同样有|a·b|a|·|b|，化简即为柯西不等式：+)(2222122221nnyyyxxx(x1y1+x2y2+xnyn)2。2对于任意n个向量，a1,a2,an，有|a1,a2,an|a1|+|a2|+|an|。二、方向与例题1向量定义和运算法则的运用。例1设O是正n边形A1A2An的中心，求证：.21OAOAOAn=+【证实】记nOAOAOA+=21，若，则将正n边形绕中心O旋转n2后与原正n边形重合，所以不变，这不可能，所以.=高中数学竞赛培优专题辅导-平面向量高中数学竞赛培优专题辅导-平面向量例2给定ABC，求证：G是ABC重心的充要条件是.=+【证实】必要性。如下图，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则.2=又由于BC与GP相互平分，所以BPCG为平行四边形，所以BG/PC，所以.=所以.=+=+充分性。若=+，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则.=由于=+，则=，所以GB/CP，所以AG平分BC。同理BG平分CA。所以G为重心。例3在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。【证实】如下图，结结BQ，QD。由于=+=+,，所以2222)()(PQDPPQBPDQBQ+=+=BPPQDPBP22222+·?+2=.2)(22222222+=?+又由于,=+=+=+同理222222+=+，222222QDQCQADACD+=+，由，可得)(24222222QDBQQACDBCBA+=+2222224)22(2+=+=。得证。2证利用定理2证实共线。例4ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：2。高中数学竞赛培优专题辅导-平面向量高中数学竞赛培优专题辅导-平面向量【证实】首先AMOAAGOAOG32+=+=)2(31)(31+=+).(31+=其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE.BC又AHBC，所以AH/CE。又EAAB，CHAB，所以AHCE为平行四边形。所以,ECAH=所以OCOBOAOCEOOAECOAAHOAOH+=+=+=+=，所以OGOH3=，所以与共线，所以O，G，H共线。所以OG：GH=1：2。3利用数量积证实垂直。例5给定非零向量a,b.求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.【证明】|a+b|=|a-b|?(a+b)2=(a-b)2?a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2?a·b=0?ab.例6已知ABC内接于O，AB=AC，D为AB中点，E为ACD重心。求证：OECD。【证实】设cba=,，则)(21ba+=，.612131)(2131bacbaca+=?+=又cba-+=)(21，所以?-+?+=?cbabca2121613121cabacba?-?+-+=3131311214122231=a·(b-c).由于|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2又由于AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。高中数学竞赛培优专题辅导-平面向量高中数学竞赛培优专题辅导-平面向量所以a·(b-c)=0.所以OECD。4向量的坐标运算。例7已知四边形ABCD是正方形，BE/AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE。【证实】如下图，以CD所在的直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A，B坐标分别为-1，1和0，1，设E点的坐标为x,y，则=(x,y-1),)1,1(-=AC，由于ACBE/，所以-x-(y-1)=0.又由于|=，所以x2+y2=2.由，解得.231,231-=+=yx所以.324|,231,2332+=?-+=AEAE设)1,'(xF，则)1,'(x=。由和共线得.0231'231=+-x所以)32('+-=x，即F)1,32(-，所以2|AF=4+2|32AE=，所以AF=AE。三、基础训练题1下面命题中正确的是_.a=b的充要条件是|a|=|b|，且a/b；(a·b)·c=(a·c)·b；若a·b=a·c，则b=c；若a,b不共线，则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m,y=n；若bCDaAB=,，且a,b共线，则A，B，C，D共线；a=(8,1)在b=(-3,4)上的投影为-4。2已知正六边形ABCDEF，在下列表达式中：+；+2；EDFE+；FAED-2与AC，相等的有_.3已知a=y-x,b=2x-y,|a|=|b|=1,a·b=0，则|x|+|y|=_.4设s,t为非零实数，a,b为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a和b的夹角为_.5已知a,b不共线，=a+kb,=la+b，则“kl-1=0是“M，N，P共线的_条件.
