13三角函数诱导公式(2).ppt
三角函数1.3 三角函数的诱导公式（2） 公式二公式二sin()sincos()costan()tan 公式四公式四 sin()sincos()cos tan()tan 公式三公式三 sin()sin cos()costan()tan （ 公公 式式 三三 ）解题一般步骤解题一般步骤2k （ 公公 式式 一一 ） （ 公公 式式 二二 ） （ 公公 式式 四四 ）正弦、余弦、正切1、同终边诱导公式Sin(2k+)=sin cos(2k+)=costan(2k+)=tan 2、负角诱导公式Sin(-)=- sin cos(-)=cos tan(-)= - tan 3、四象限诱导公式Sin(2-)=-sin cos(2-)=cos tan(2-)= - tan 4、二象限诱导公式Sin(-)=sin cos(-)= - costan(-)= - tan 5、三象限诱导公式Sin(+)=-sin cos(+)= - costan(+)= tan 视视为锐角，函数名不为锐角，函数名不变，符号看象限变，符号看象限练习练习225sin（1）；（2）；1求下列三角函数值：求下列三角函数值：1290cos (1)sin225 解：解：sin(18045 ) sin45 22 (2)cos( 1290 ) cos1290 cos(2103360 )cos210cos(18030 )cos30 32 练练 习习（1）；（2）413sin1665cos 2.求下列各三角函数求下列各三角函数：)180cos()180sin()360sin()180cos()180cos()180sin()360sin()180cos(解：3:化简化简:1)cos(sinsin)cos()180(cos)180(sinsincos)180cos()180sin(sincos公式五公式五 复习初中知识复习初中知识sin30 cos60 sincos(903)300即即sin45 cos45 sincos(904)455即即sin60 cos30 sincos(906060 )即sincos(90)cossin(90) 对形如对形如、的角的三角的角的三角函数可以转化为函数可以转化为角的三角函数，对形角的三角函数，对形如如 、 的角的三角函数与的角的三角函数与角角的三角函数，是否也存在着某种关系，的三角函数，是否也存在着某种关系，需要我们作进一步的探究需要我们作进一步的探究. .22思考思考1 1：sinsin（90906060）与）与sin60sin60的值相等吗？相反吗？的值相等吗？相反吗？思考思考2 2：sinsin（90906060) )与与cos60cos60，coscos（90906060）与）与sin60sin60的值分别的值分别有什么关系？据此，你有什么猜想？有什么关系？据此，你有什么猜想？2cos)2(sincos)2(sin知识探究（一）：知识探究（一）： 的诱导公式的诱导公式 2ins)2cos(a ab bc ccos)2(sin思考思考3 3：如果如果为锐角，你有什么办法证为锐角，你有什么办法证明明 ， ？ins)2cos(cains)2cos(cbcos)2(sin2思考思考5 5：点点P P1 1（x x，y y）关于直线）关于直线y=xy=x对称对称的点的点P P2 2的坐标如何？的坐标如何？思考思考4 4：若若为一个任意给定的角，那么为一个任意给定的角，那么 的终边与角的终边与角的终边有什么对称关的终边有什么对称关系？系？2的终边的终边Oxy的终边的终边2思考思考6 6：设角设角的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点为为P P1 1（x x，y y），则），则 的终边与单的终边与单位圆的交点为位圆的交点为P P2 2（y y，x x），根据三角函），根据三角函数的定义，你能获得哪些结论？数的定义，你能获得哪些结论？2的终边的终边P P1 1(x(x，y)y)Oxy的终边的终边2P P2 2(y(y，x)x) 公式五：公式五： sin)2cos(cos)2sin(思考思考1 1：sinsin（90906060）与）与cos60cos60，coscos（90906060）与）与sin60sin60的值分别的值分别有什么关系？据此，你有什么猜想？有什么关系？据此，你有什么猜想？知识探究（二）：知识探究（二）： 的诱导公式的诱导公式 2sin)2cos(cos)2sin(思考思考3 3：根据相关诱导公式推导，根据相关诱导公式推导， ， 分别等于什么？分别等于什么？)2sin()2cos( 公式六：公式六： sin)2cos(cos)2sin(思考思考2 2： 与与 有什么内在联系？有什么内在联系？22)2(2思考思考4 4： 与与 有什么关系？有什么关系？)2tan(tantan()tan12paa+= -2思考思考5 5：根据相关诱导公式推导，根据相关诱导公式推导，分别等于什么？分别等于什么？)23cos(3si n(),2pa+233cos(),2pa-233si n(),2pa-23思考思考6 6：正弦函数与余弦函数互称为余函正弦函数与余弦函数互称为余函数，你能概括一下公式五、六的共同特数，你能概括一下公式五、六的共同特点和规律吗？点和规律吗？ 公式六：公式六： sin)2cos(cos)2sin( 公式五：公式五： sin)2cos(cos)2sin(公式五公式五sin()cos2cos()sin2 O)0 , 1(A),(yxPy 2 2) ), ,( (4 4xyp公式六公式六 用公式五证明下式成立用公式五证明下式成立sin()cos2cos()sin2 O)0 , 1(A),(yxPy 2 2) ), ,( (5 5xyp 例题讲解例题讲解例例1 1 证明：证明：（1 1）证明：左边）证明：左边sin)23cos(2cos)23sin(1）（）（3sin()2=-=)2(sin)2sin(cos右边sin)23cos(2）（证明：左边=)2(cos)2cos(sin右边练习：证明sin)23cos()2(cos)23sin(1）（例例2 2 : : 化简：化简：)29)sin(-)sin(-)sin(3-cos()-211)cos(2)cos()cos(-sin(2解：解：)2sin(sin )cos(cos)2cos(sin)211cos()2(6cos)2(cossin)29)sin(-)sin(-)sin(3-cos()-211)cos(2)cos()cos(-sin(2)cos()3sin()sin()29sin(cossinsincoscossinsin)cos()sin)(sin)(cos)(sin(原式tansin)23cos(cos)23sin(3sin()cos23cos()sin2 四组诱导公式四组诱导公式 公式二：公式二： tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk公式一：公式一： 公式三：公式三： tan)tan(cos)cos(sin)sin( 公式四：公式四： tan)tan(cos)cos(sin)sin(函数名不变，符号看象限函数名不变，符号看象限. . 公式六公式六sin()cos2cos()sin2tan()cot2 sin()cos2cos()sin2tan()co t2 公式五公式五新课新课3sin()cos23cos()sin23tan()cot2 3sin()cos23cos()sin23tan()t2co 公式八公式八公式七公式七思考思考 ：诱导公式可统一为诱导公式可统一为的三角函数与的三角函数与的三角函数之间的关系，的三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？你有什么办法记住这些公式？)Zk(2k奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限. .20设2xy0222323口诀：奇变偶不变，符号看象限口诀：奇变偶不变，符号看象限意义：意义：符号；值的看作锐角时原三角函数一个把面加上的异名三角函数值，前为奇数时，等于）当符号；值的看作锐角时原三角函数一个把面加上的同名三角函数值，前为偶数时，等于）当）的三角函数值（kkZkk212sin()sincos()costan()tan sin(2 )sincos(2 )costan(2 )tankkk sin()sincos()costan()tan sin()cos2cos()sin2 sin()cos2cos()sin2 3sin()cos23cos()sin2 3sin()cos23cos()sin2 sin()sincos()costan()tan 典例解析典例解析1.:3sin()cos()sin(4)sin()222tan(2)cot()cos(5)cos()2kkk例 证明cossintancot证明:左边sincoscossinsincoscossin右边sincoscossin左边左边 = 右边右边 等式成立等式成立22cos ()cos ()44例2.求的值.典例解析典例解析2222cos ()cos ()244sin ()cos ()144解:原式2222cos ()cos ()424cos ()sin ()144解:原式例例3:3:已知方程已知方程sin( 3 ) = 2cos( 4 )，求求的值的值. .典例解析典例解析略解略解:由已知得由已知得 sin = 2cos 43cos4cos3cos2cos2cos5cos2sincos2cos5sin原式典例解析典例解析4.(1)f cosxcos17x,:f(sinx)=sin17x(2)n, f(sinx)=sinf cosxcosnx?nx,例已知求证对于怎样的整数才能由推出1化简：化简：)180sin()180cos()1080cos()1440sin(解：原式解：原式= )180sin()180cos(cossinsincos( cos) sin=1.巩固提高巩固提高)180cos()180sin()360sin()180cos()180cos()180sin()360sin()180cos(解：2:化简化简:1)cos(sinsin)cos()180(cos)180(sinsincos)180cos()180sin(sincos巩固提高巩固提高2已知已知cos(+)= ， 2，则，则sin(2)的值是（的值是（ ） (A)(B) (C)(D) 212323232321A巩固提高巩固提高2cosm(m1),sin633.已知求的值2:()362解2()3262sinsincosm32664：._195tan165sin则，若a解：)165360tan(195tan)165360cos()165360sin(165cos165sin，a165sin165cos，21a21195tanaa165sin12.1122aaa巩固提高巩固提高巩固提高巩固提高1cos(75),3cos(105)sin(105 )5.已知为三象限角，求180)105()75(分析：)75(180cos)105cos(解：31)75cos(kk360270360180kk360165105360750)105sin(31)105cos()105cos(又322)105(cos1)105sin(23122原式6：13cos()cos().22 已知， 求的值，21cos)cos(解：21cos，0.是第一、四象限的角则，是第一象限的角若) 1 (3cos()sin2 2cos1；23则，是第四象限的角若)2(3cos()sin2 2cos1.23巩固提高巩固提高总结总结 本节课完成了教材中诱导公式的学习，本节课完成了教材中诱导公式的学习，为求任意角的三角函数值为求任意角的三角函数值“铺平了道路铺平了道路”. 所有的诱导公式可用一句话来记忆所有的诱导公式可用一句话来记忆,利用这些公式利用这些公式,可把可把任意角的三角函数转化任意角的三角函数转化为锐角三角函数为锐角三角函数,为求值带来很大方便为求值带来很大方便,这种这种转化思想是经常用的策略转化思想是经常用的策略,要细心体会把握要细心体会把握. 我们要多多练习在应用中达到我们要多多练习在应用中达到熟练掌握熟练掌握的程度的程度.,:.)(90(2:符符号号看看象象限限奇奇变变偶偶不不变变记记忆忆口口诀诀各各三三角角函函数数值值两两套套诱诱导导公公式式可可概概括括为为Zkkk tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkksin)2cos(cos)2sin(sin)2cos(cos)2sin(3sin()cos23cos()sin2 3sin()cos23cos()sin2 作业：作业：P29B 组组1、2 P69A组组8、10 sin2cossincos2cos2sin1 23cos25sin4cos3sin2cos2sin233例1.化简下列各式. sin()sin()()sin()cos()nnnZnn例2.化简例3.的值求已知)sin1)(tan(cossin2)2(sin, 3cossincossin22 02000170cos1350cos100cos100sin213求值 的值求0202020289sin88sin2sin1sin4(2) (1)已知： ,求值2cos()3sin()4cos()sin(2)tan3的值求23sintancos例4.已知sin(+ ）= ，54（ 为第四象限角），22.2sin 3cos,2sin3sincoscos例5已知求的值1cos(75)318090 cos(15)例6已知 ，且求 的值tan 例7、已知A、B、C是 ABC的三个内角，求证:A+B3 +C(1)cos(2A+B+C)=-cosA (2)tan442cos2sin)2( ;cossin).1 (,232cossin. 133求已知sin()sin(2)sin(3)sin()k2化简 57sin(5)sin()22333sin ()cos ()223已知 ， 求的值；作业：Nk
