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第第2章章 一元二次方程一元二次方程 一元二次方程第第2章章 一元二次方程的解法一元二次方程的解法本课内容一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.2.3因式分解法因式分解法返回返回问题问题1 1：因式分解的意义是什么？因式分解的：因式分解的意义是什么？因式分解的方法有哪些？方法有哪些？一、复习回顾：一、复习回顾：因式分解主要方法因式分解主要方法: (1)提取公因式法提取公因式法 (2)公式法公式法: 平方差公式平方差公式a2b2=(a + b) (ab) 完全平方公式完全平方公式 a22ab+b2=(ab)2 把一个多项式分解成几个整式乘积的形把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式式叫做分解因式. .问题问题2 2：请你试利用因式分解的方法解下列：请你试利用因式分解的方法解下列方程，并说明你的解法的依据是什么？方程，并说明你的解法的依据是什么？例例1 1 解方程：解方程： 230 xx动脑筋动脑筋例例1 1 解方程：解方程： 230 xx动脑筋动脑筋 上面这样的方程可以用什么方法来解呢？上面这样的方程可以用什么方法来解呢？ 这个方程可以用公式法来解，也可以这个方程可以用公式法来解，也可以用配方法来解。可是好像用配方法时，一用配方法来解。可是好像用配方法时，一次项系数的一半是个分数，计算比较麻烦。次项系数的一半是个分数，计算比较麻烦。公式法相对简单些，而且公式法相对简单些，而且c等于等于0。再想一。再想一想还有没有更简单的方法呢？想还有没有更简单的方法呢？ 像上面这样，像上面这样， 利用因式分解来解一元二次方程的方利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作法叫作因式分解法因式分解法.例例1 1 解方程：解方程： 230 xx 观察这个方程观察这个方程的左侧，发现可以的左侧，发现可以因式分解为因式分解为x(x-3)，所以原方程可化为：所以原方程可化为：x(x-3)=0 x(x-3)=0若若ab=0，则，则a=0或或b=0 x=0 或或 x-3=0即即 x1=0， x2=3. 利用因式分解法解一元二次方程的实质也是将一个一利用因式分解法解一元二次方程的实质也是将一个一元二次方程元二次方程“降次降次”，转化为两个一元一次方程，转化为两个一元一次方程.做一做做一做练习练习 用因式分解法解下列方程：用因式分解法解下列方程：（1） x (x 5 ) = 3x ； （2） 2x( 5x 1) = 3( 5x 1)；（3） (352x )2 900 = 0.解：把方程因式分解，解：把方程因式分解， 得得x （ x - 8 ） = 0， 由此得由此得 x = 0 或或 x - 8 = 0. 解得解得 x1 = 0 ， x2 = 8.（1） x (x 5 ) = 3x（2） 2x( 5x 1) = 3( 5x 1)解：原方程可化为解：原方程可化为2x (5x 1) 3( 5x 1) = 0， 把方程左边因式分解，把方程左边因式分解， 得得(5x 1)( 2x 3) = 0， 由此得由此得 5x - 1 = 0或或2x - 3 = 0. 解得解得 x1 = , x2 = 5123（3） (352x )2 900 = 0解解: 原方程可化为原方程可化为(35 - 2x )2 - 302 = 0.把方程左边因式分解，把方程左边因式分解， 得得(352x + 30)(35 - 2x 30) = 0.由此得由此得 65 - 2x = 0 或或 5 - 2x = 0.解得解得 x1 = 32.5， x2 = 2.5.例例8 用因式分解法解下列方程：用因式分解法解下列方程：x2 - 10 x + 24 = 0.解解 配方，配方， 得得x2 - 10 x + 52 - 52 + 24 = 0， 因而因而 (x - 5 )2 - 1 = 0， 把方程左边因式分解，把方程左边因式分解， 得得 (x - 5 + 1 )( x - 5 1) = 0， 即即 (x 4)(x 6) = 0， 由此得由此得 x - 4 = 0 或或 x - 6 = 0. 解得解得 x1 = 4， x2 = 6.举举例例 从例从例8可以看出，可以看出， 我们能把方程我们能把方程x2 - 10 x + 24 = 0 的左边因式分解后，的左边因式分解后， 写成写成x2 - 10 x + 24 = (x - 4 )(x 6)= 0， 则则4和就是原方程的两个根和就是原方程的两个根. 一般地，一般地， 若我们能把方程若我们能把方程x2 + bx + c = 0的的左边进行因式分解后，左边进行因式分解后， 写成写成x2 + bx + c = (x - d )(x h)= 0，则则d和和h就是方程就是方程 x2 + bx + c = 0 的两个根的两个根. 反过来，如果反过来，如果d和和h是方程是方程 x2 + bx + c = 0 的两个根，则方程的左边可以分解成的两个根，则方程的左边可以分解成x2 + bx + c = (x - d )(x h)= 0， 我们已经学习了用配方法、公式法和因式我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，在具体的问题中，我分解法解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方程的特点，选择合适的方法来求解们要根据方程的特点，选择合适的方法来求解. .下列方程用哪种方法求解较简便下列方程用哪种方法求解较简便？ 说说你的理由说说你的理由.（1） xx240（ ）xx22 2430（3）xx26916议一议议一议议一议议一议议一议议一议选择合适的方法解下列方程：选择合适的方法解下列方程：xx230（1）（2）xx25410 xx2230（3）举举例例()30, ,x x把方程左边因式分解把方程左边因式分解得得解解 30, ,x由此得由此得 或或x 0 xx230（1）. 23x解得解得10, ,x所以所以 ， x436462 510因此，因此， 原方程的根为原方程的根为14 6110, ,x.24 61105x（2）xx 25410因而因而 ， ()()bac 22444 5136这里这里a = 5，b = - -4， c = - -1. .解解xx2230（3）由此得由此得 x + 1 = 2 或或x + 1 = - -2, ,解得解得11, ,x. 23x解解 原方程可化为原方程可化为 22140, ,xx即即().214x说一说说一说如何选择合适的方法来解一元二次方程呢如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？ 公式法适用于所有一元二次方程公式法适用于所有一元二次方程. . 因式分解法（有时需要先配方）适用因式分解法（有时需要先配方）适用 于所有一元二次方程于所有一元二次方程. 配方法是为了推导出求根配方法是为了推导出求根公式，以及先配方，然后用因公式，以及先配方，然后用因式分解法式分解法. 解一元二次方程的基本思路都是：将一解一元二次方程的基本思路都是：将一元二次方程转化为一元一次方程，即元二次方程转化为一元一次方程，即降次降次， 其本质是把其本质是把ax2 + bx + c = 0（ a0 ）的左端）的左端的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即即ax2 + bx + c =a（x-x1）（）（x-x2），）， 其中其中x1和和x2是方程是方程 ax2 + bx + c = 0的两个根的两个根.结论结论小结：小结：1.1.因式分解法是一种比较简单的解方程的方法，因式分解法是一种比较简单的解方程的方法，我们是如何通过因式分解把一元二次方程降次我们是如何通过因式分解把一元二次方程降次的呢？的呢？ 2. 利用因式分解法解一元二次方程的主要步骤利用因式分解法解一元二次方程的主要步骤有哪些？有哪些？ 中考中考 试题试题例例（南充（南充2012）方程）方程x(x-2)+x-2=0的解是（的解是（ ） （A）2 （B）-2,1 （C）1 （D）2,1 考点考点：解一元二次方程解一元二次方程-的解法因式分解法。的解法因式分解法。 分析分析：先利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方先利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可程，解方程即可 解答解答：解：解：x(x2)+(x-2)=0， (x-2)(x+1)=0， x-2=0，或，或x+1=0， x1=2，x2=-1D
