解析几何中计算方法与技巧.docx

解析几何中计算方法与技巧解析几何中计算方法与技巧高考中解析几何综合题要求具有较强的计算能力,常规的解题方法必须熟练把握,在此基础上积累计算经历，把握计算技巧，则解析几何定可得到高分。一、巧用韦达定理简化运算1、过二次曲线C上一点Px0，y0作直线l，求l与C另一交点。例1：求直线y=kx+22k与椭圆22x+y2=1的交点坐标。2、合二为一的整体运算例2：过点P-1，2作圆C：x-12+y2=1的两条切线，求两条切线的斜率和。例3：过点Px0，-41作抛物线y=x2的两条切线，求证：切点弦过定点。例4：抛物线y2=2x上动点P，过点P作C：x-12+y2=1的切线PM，PN分别交y轴于M，N两点，求PMN面积的最小值。例5：过抛物线x2=2y的焦点作斜率分别为k1、k2的两条直线l1和l2，若l1交抛物线于A、B两点，l2交抛物线于C、D两点。以线段AB为直径作圆C1，以CD为直径作圆C2。若k1+k2=2，求两圆C1与C2的公共弦所在直线方程。二、利用计算的对称性避免重复运算引例：过原点O作抛物线y2=2px的两条相互垂直的弦OA与OB，求证：AB直线过定点。例1：设椭圆E：22x+y2=1上一点A1，22，过A作两条关于平行y轴的直线对称的两条直线AC，AD交椭圆E于另两点C和D。求证：CD直线的方向确定。例2：设曲线C1：42x+y2=1与曲线C2：y=x2-1。C2的顶点为M，过原点O的直线l与C2相交于A、B两点，直线MA、MB分别与C1相交于D、E。1证实：MDME；2若MAB，MDE的面积分别为S1、S2，问能否存在直线l使得21SS=3217？例3：设椭圆42x+42y=1的左焦点F，点A、B是椭圆上的两点，知足2，求A、B两点距离。例4：一条斜率为1的直线l与离心率为3的双曲线E：22ax-22by=1a>0,b>0交于P、Q两点，直线l与y轴交于R，且2=-3，=31求双曲线方程；2若F是双曲线的右焦点，M与N是E上的两点，且=，务实数的取值范围。例5：设A、B是椭圆22ax+22by=1a>b>0上两点，O为原点，且OAOB，求AOB面积的最大值与最小值。例6：若椭圆22ax+22by=1a>b>0上任两点A、B，O为原点，求AOB面积S的最大值。三、活用图形的几何性质，则计算变得更为轻巧我们知道解析几何的基本任务之一是用代数的方法讨论图形的几何性质，也就是讲曲线的几何性质不明显时必须用计算的办法加以讨论，反之几何性质明显时可大大简化计算。引例1：若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆52x+my2=1总有公共点，求m范围。引例2：双曲线22ax-22by=1a>0，b>0的两焦点为E、F，MEF为等边三角形。若线段ME的中点N在双曲线上，求双曲线的离心率。例1：设圆C与两圆(x+5)2+y2=4，(x-5)2+y2=4中的一个内切，另一个外切1求圆心C的轨迹L的方程；2已知点M553，554，F5，0，若点P是L上的动点，求|MP|-|FP|的最大值及此P点坐标。例2：设椭圆22ax+22by=1a>b>0的右顶点为A，若椭圆上存在一点P使OPA=90°O为原点，求椭圆离心率的取值范围。例3：抛物线y2=4x与圆(x-a)2+y2=a2有唯一公共点，求a的取值范围。例4：已知抛物线C：y2=4x的焦点F，过点K-1，0的直线l与C相交于A、B两点，若点A关于x轴的对称点为D1证实：点F在直线BD上；2设2=98，求BDK的内切圆方程。例5：设F1、F2分别是椭圆E：22ax+22by=1a>b>0的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l交E于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列1求E的离心率；2设P0，-1知足|PA|=|PB|，求E的方程。例6：曲线C1上的点均在圆C2：(x-5)2+y2=9外，且对C1上任一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点距离的最小值。1求曲线C1的方程；2设Px0，y0y0±3为C2外任一点，过P点作C2的两条切线，分别与C1相交于A、B和C、D，当P在直线x=-4上运动时，求证：四点A、B、C、D的纵坐标之积为定值。例7：长为2的木棍的两端在抛物线y2=X的上滑动，设棍子的中点为P1求P点轨迹方程；2求棍子的中点P到y轴距离的最小值。