2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形_.docx

2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形_2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形【易错点拨】1锐角三角函数值与边的长度无关，与边的比值和角的大小有关2记忆特殊三角函数值不准确，造成计算错误3解直角三角形，不会准确选用三角函数，或者三角函数的定义不准确，导致线段比错误4.在解直角三角形的应用时，要注意下面几点：(1)要弄清仰角、俯角、坡角、方向角等概念的意义；(2)分析题意，画图并找出要求解的直角三角形，有些图形假如不是直角三角形，能够通过适当作辅助线构造直角三角形；(3)选择适宜的边角关系，使运算尽可能简便，并且不容易出错；(4)按题目中已知数的准确度进行近似计算，并按题目要求确定答案，注明单位5解直角三角形应用的基本图形在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数或类似三角形的知识来解决问题常见的构造的基本图形有如下几种：1如图，不同地点看同一点：2如图同一地点看不同点：3如图利用反射构造类似：2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形6数形结合思想数形结合是重要的数学思想，解直角三角形的应用问题，需要充分运用数形结合思想此类题型是中考的热门考题【易错警示】易错点一：特殊三角函数值记忆模糊【例题1】(南昌中考)计算：sin30°cos30°·tan60°.【错解】原式3212×33233.【错因】特殊三角函数记忆不准确sin30°12，cos30°32，tan60°3.【正解】原式1232×312322.【案例跟踪】2016·山东潍坊·3分关于x的一元二次方程x2x+sin=0有两个相等的实数根，则锐角等于A15°B30°C45°D60°【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出sin=，再由为锐角，即可得出结论【解答】解：关于x的一元二次方程x2x+sin=0有两个相等的实数根，=4sin=24sin=0，2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形解得：sin=，为锐角，=30°故选B易错点二：坡比的概念模糊【例题2】(广安中考)如图3517，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是13，堤坝高BC50m，则迎水坡面AB的长度是()A100mB1003mC150mD503m【错解】根据题意可得BCAB13，把BC50m，代入即可算出AB的长，AB3BC503，故选择D.【错因】坡比是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比错解中把坡比的概念弄成为铅直高度h和斜坡长度的比正确的是：堤坝横断面迎水坡AB的坡比是13，BCAC33，BC50m，AC503m，ABAC2CB2100m，故选A.【正解】A【案例跟踪】2021?湖北十堰，第15题3分.如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来此时，测得小船C的俯角是FDC=30°，2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i=4：3，坡长AB=8米，点A、B、C、D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为85.5米结果保留根号【解析】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度CHAE=EH即为AC长度【解答：过点B作BEAC于点E，延长DG交CA于点H，得RtABE和矩形BEHGi=，AB=8米，BE=，AE=DG=1.6，BG=0.7，DH=DG+GH=1.6+=8，AH=AE+EH=+0.7=5.5在RtCDH中，C=FDC=30°，DH=8，tan30°=，CH=8又CH=CA+5.5，即8=CA+5.5，CA=85.5米答：CA的长约是85.5米2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形【点评】题考察了俯角与坡度的知识注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键【疑难解析】疑难类型之一：解直角三角形【例题】2021·襄阳如图3410，AD是ABC的中线，tanB13，cosC22，AC2.求：(1)BC的长；(2)sinADC的值【解析】(1)过点A作AEBC于点E，根据cosC22，求出C45°，求出AECE1，根据tanB13，求BE；(2)根据AD是ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长解：如答图，过点A作AEBC于点E，2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形cosC22，C45°，在RtACE中，CEAC·cosC1，AECE1，在RtABE中，tanB13，即AEBE13，BE3AE3，BCBECE4；(2)AD是ABC的中线，CD12BC2，DECDCE1，AEBC，DEAE，ADC45°，sinADC22.【点悟】(1)利用三角函数解直角三角形的常见问题：已知斜边和一个锐角；已知一条直角边和一个锐角；已知斜边和一条直角边；已知两条直角边(2)作三角形的高，将非直角三角形转化为直角三角形是常用的解题方法【真题链接】链接1：2016·湖北荆州·3分全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为58米参考数据：tan78°124.8【分析】直接利用锐角三角函数关系得出EC的长，进而得出AE的长，进而得出答案【解答】解：如下图：由题意可得：CEAB于点E，BE=DC，ECB=18°48，2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形EBC=78°12，则tan78°12=4.8，解得：EC=48m，AEC=45°，则AE=EC，且BE=DC=10m，此塑像的高AB约为：AE+EB=58米故答案为：58【点评】此题主要考察了解直角三角形的应用，根据题意得出EC的长是解题关键疑难类型之二：利用解直角三角形测量物体的高度(或宽度)【例题】2016·吉林·7分如图，某飞机于空中A处探测到目的C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角=43°，求飞机A与指挥台B的距离结果取整数参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】先利用平行线的性质得到B=43°，然后利用B的正弦计算AB的长【解答】解：如图，B=43°，在RtABC中，sinB=，AB=1765m答：飞机A与指挥台B的距离为1765m2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形【真题链接】链接2：2016·湖北随州·8分某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数，进行简单计算即可【解答】解：如图，过点E作EFAC，EGCD，在RtDEG中，DE=1620，D=30°，EG=DEsinD=1620×=810，BC=857.5，CF=EG，BF=BCCF=47.5，在RtBEF中，tanBEF=，EF=BF，在RtAEF中，AEF=60°，设AB=x，2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形tanAEF=，AF=EF×tanAEF，x+47.5=3×47.5，x=95，答：雕像AB的高度为95尺疑难类型之三：利用解直角三角形解决航海问题【例题】2016·四川内江(9分)如图8，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A，B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时恰好在C处将可疑船只拦截求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号) 考点三角函数、解决实际问题。解：如图，过点C作CHAB于H，则BCH是等腰直角三角形设CHx，则BHx，AHCH÷tanxAB200，x200x1)BCx)两船行驶4小时相遇，可疑船只航行的平均速度)÷4)答：可疑船只航行的平均速度是每小时)海里【真题链接】链接3：2016·浙江省绍兴市·8分如图1，某社会实践活动小组实地测量两岸相互平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B图8答案图2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图21求CBA的度数2求出这段河的宽结果准确到1m，备用数据1.41，1.73【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】1根据三角形的外角的性质、结合题意计算即可；2作BDCA交CA的延长线于D，设BD=xm，根据正切的定义用x表示出CD、AD，根据题意列出方程，解方程即可【解答】解：1由题意得，BAD=45°，BCA=30°，CBA=BADBCA=15°；2作BDCA交CA的延长线于D，设BD=xm，BCA=30°，CD=x，BAD=45°，AD=BD=x，则xx=60，解得x=82，答：这段河的宽约为82m疑难类型之四：利用直角三角形解决坡度问题2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形【例题】2016·湖北黄石·8分如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角BAF=30°，CBE=45°1求AB段山坡的高度EF；2求山峰的高度CF1.414，CF结果准确到米【分析】1作BHAF于H，如图，在RtABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，进而得到EF的长；2先在RtCBE中利用CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可【解答】解：1作BHAF于H，如图，在RtABF中，sinBAH=，BH=800?sin30°=400，EF=BH=400m；2在RtCBE中，sinCBE=，CE=200?sin45°=100141.4，CF=CE+EF=141.4+400541m答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米【点评】此题考察了解直角三角形的应用坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式把坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡度i与坡角之间的关系为：itan2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形【真题链接】链接4：2016·湖北荆门·6分如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距8001+米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】过点C作CDAB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，根据直角三角形的性质用x表示出AC与BC的长，再根据小明与小军同时到达山顶C处即可得出结论【解答】解：过点C作CDAB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，A=45°，CDAB，AD=CD=x米，AC=x在RtBCD中，B=30°，BC=2x，小军的行走速度为米/秒若小明与小军同时到达山顶C处，=，解得a=1米/秒答：小明的行走速度是1米/秒2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形疑难类型之五：以平行四边形为背景的计算与证实【例题】如图，四边形ABCD中，ADBC，AEAD交BD于点E，CFBC交BD于点F，且AECF.求证：四边形ABCD是平行四边形证实：ADBC，ADBCBD.AEAD，CFBC，EADFCB90°.又AECF，EADFCB(AAS)，ADCB.又ADBC，四边形ABCD是平行四边形【真题链接】链接4：2021·扬州如图，将?ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D处，折痕l交CD边于点E，连结BE.(1)求证：四边形BCED是平行四边形；(2)若BE平分ABC，求证：AB2AE2BE2.【解析】(1)利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出DAEEADDEADEA，进而利用平行四边形的断定方法得出四边形DADE是平行四边形，进而求出四边形BCED是平行四边形；(2)利用平行线的性质结合勾股定理得出答案证实：(1)将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D处，2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形DAEDAE，DEADEA，DADE，DEAD，DEAEAD，DAEEADDEADEA，DADDED，四边形DADE是平行四边形，DEAD，四边形ABCD是平行四边形，AB/DC，CE/DB，四边形BCED是平行四边形；(2)BE平分ABC，CBEEBA，ADBC，DABCBA180°，DAEBAE，EABEBA90°，AEB90°，AB2AE2BE2.疑难类型之六：以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证实【例题】2016·山东省菏泽市·3分如图，在正方形ABCD外作等腰直角CDE，DE=CE，连接BE，则tanEBC=【考点】正方形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形【专题】计算题【分析】作EFBC于F，如图，设DE=CE=a，根据等腰直角三角形的性质得CD=CE=a，DCE=45°，再利用正方形的性质得CB=CD=a，BCD=90°，2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形接着判定CEF为等腰直角三角形得到CF=EF=CE=a，然后在RtBEF中根据正切的定义求解【解答】解：作EFBC于F，如图，设DE=CE=a，CDE为等腰直角三角形，CD=CE=a，DCE=45°，四边形ABCD为正方形，CB=CD=a，BCD=90°，ECF=45°，CEF为等腰直角三角形，CF=EF=CE=a，在RtBEF中，tanEBF=，即EBC=故答案为【点评】此题考察了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，相互垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质也考察了等腰直角三角形的性质【真题链接】链接4：2016·黑龙江龙东·3分如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将BCF沿BF对折，得到BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是AE=BF；AEBF；sinBQP=；S四边形ECFG=2SBGE2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形2018年中考数学专题温习易错疑难解析第十一章解直角三角形A4B3C2D1【考点】四边形综合题【分析】首先证实ABEBCF，再利用角的关系求得BGE=90°，即可得到AE=BF；AEBF；BCF沿BF对折，得到BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；根据AA可证BGE与BCF类似，进一步得到类似比，再根据类似三角形的性质即可求解【解答】解：E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，CF=BE，在ABE和BCF中，RtABERtBCFSAS，BAE=CBF，AE=BF，故正确；又BAE+BEA=90°，CBF+BEA=90°，BGE=90°，AEBF，故正确；根据题意得，FP=FC，PFB=BFC，FPB=90°CDAB，CFB=ABF，ABF=PFB，QF=QB，令PF=kk0，则PB=2k在RtBPQ中，设QB=x，x2=xk2+4k2，