11变化率问题及其导数应用.ppt

1.11.1变化率问题及其导数概念变化率问题及其导数概念导数及其应用导数及其应用研究某个变量相对于另一个变量研究某个变量相对于另一个变量变化变化的快慢程度的快慢程度导数研究研究的问题 变化率问题变化率问题微积分主要与四类问题的处理相关微积分主要与四类问题的处理相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函一、已知物体运动的路程作为时间的函数数,求物体在任意时刻的速度与加速度等求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。问题最一般、最有效的工具。1.1.1变化率问题 问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积气球的体积V(单位单位:L)与半径与半径r(单位单位:dm)之间的之间的 函数关系是函数关系是34( )3V rr 如果将半径如果将半径r表示为体积表示为体积V的函数的函数,那么那么33( )4Vr V我们来分析一下我们来分析一下: 当当V从从0增加到增加到1时时,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为 当当V从从1增加到增加到2时时,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)(/ )1 00.62rrdm L(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/ )2 10.16rrdm L显然显然0.620.16 问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程气球的过程,可以发现可以发现,随着气球随着气球内空气容量的增加内空气容量的增加,气球的半径增气球的半径增加加越来越慢越来越慢.从数学角度从数学角度,如何描如何描述这种现象呢述这种现象呢?33( )4Vr V思考：思考：一般地：当空气容量从一般地：当空气容量从V1增加到增加到V2时时,气球的平均膨胀率是多少气球的平均膨胀率是多少?2121()()r Vr VVV问题2 高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水面运动员相对于水面的高度的高度h(h(单位：米单位：米) )与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单（单位：秒）存在函数关系位：秒）存在函数关系 h(th(t)=-4.9t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10. 如何用运动员在某些时如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态地描述其运动状态? ?请计算请计算00.52:ttv和1时的平均速度hto请计算：请计算：htoh(t)=-4.9t2+6.5t+1000.52:ttv 和 1时 的 平 均 速 度平均变化率定义平均变化率定义: 若设若设x=x2-x1, y=f(x2)-f(x1) 则则平均变化率平均变化率为为121)()f xxx2f(x这里这里x看作是对于看作是对于x1的一个的一个“增量增量”可用可用x1+x代替代替x2同样同样y=f(x2)-f(x1)l上述问题中的变化率可用式子上述问题中的变化率可用式子 表示表示称为函数称为函数f(x)从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率121)()f xyxxx2f(x平均变化率的平均变化率的几何意义几何意义: 观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率表示什么表示什么?121)( )f xyxxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直线直线AB的斜率的斜率练习练习: 1.甲用甲用5年时间挣到年时间挣到10万元万元, 乙用乙用5个月时间挣到个月时间挣到2万万元元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果如何比较和评价甲、乙两人的经营成果? 2.已知函数已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = 2 x, 分别计算在分别计算在下列区间上下列区间上 f (x) 及及 g (x) 的平均变化率的平均变化率.(1) 3 , 1 ; (2) 0 , 5 .做两个题吧做两个题吧!3 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( ) A 3 B 3x-(x)2 C 3-(x)2 D 3-x D4、求、求y=x2在在x=x0附近的平均速度。附近的平均速度。 2x0+x 小结：小结： 1.函数的平均变化率函数的平均变化率121)()f xyxxx2f(x 2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量y=f(x2)-f(x1);(2)计算计算平均变化率平均变化率121)()f xyxxx2f(x再看再看问题问题2 高台跳水高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水运动员相对于水面的高度面的高度h(h(单位：米单位：米) )与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：秒）存在函数关系（单位：秒）存在函数关系 h(th(t)=-4.9t)=-4.9t2 2+6.5t+10+6.5t+10. . hto6549t 计计 算算 运运 动动 员员 在在 0 0这这 段段 时时 间间 里里 的的 平平 均均 速速 度度 ，65()(0)1049hh0hvt 思思考考下下面面问问题题；1 1）运运动动员员在在这这段段时时间间里里是是静静止止的的吗吗？2 2）你你认认为为用用平平均均速速度度描描述述运运动动员员的的状状态态有有什什么么问问题题吗吗？瞬时速度瞬时速度. 在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度不能准确反平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态映他在这段时间里运动状态.又如何求瞬时速度呢瞬时速度呢?我们把物体在某一时刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度.如何求（比如，如何求（比如， t t=2=2时的）瞬时速度？时的）瞬时速度？通过列表看出平均速度的变化趋势通过列表看出平均速度的变化趋势 ：当当t趋近于趋近于0时时,平均平均速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势?h(t)=-4.9t2+6.5t+10.瞬时速度瞬时速度 我们用我们用 表示表示 “当当t=2, t趋近于趋近于0时时,平均速度趋于确平均速度趋于确定值定值-13.1”.0limt(2)(2)13.1htht 那么那么,运动员在某一时刻运动员在某一时刻t0的瞬时速度的瞬时速度?0lim t00()( )htthtt 局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。的精确值。定义定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xfxxfxxfxx lim )()(lim 0000称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作. )()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或或 , 即即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(. 1xxxf 的具体取值无关。与 xxf)(. 20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同. 3练习：练习：问题问题: 求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.分析：先求分析：先求再求再求再求再求6fxx0lim6xyx y=f(x)-f() =6x+(x)2由导数的定义可知由导数的定义可知, 求函数求函数 y = f (x)的导数的一般方法的导数的一般方法:1. 求函数的改变量求函数的改变量2. 求平均变化率求平均变化率3. 求值求值);()(00 xfxxff.lim)(00 xfxfx;)()(00 xxfxxfxf一差、二化、三极限一差、二化、三极限导数的几何几何意义: 我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ如果有一个极限位置如果有一个极限位置PT.则我则我们把直线们把直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线切线.PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那那么当么当x0时时,割线割线PQ的斜的斜率率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切切线的斜率线的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切线这个概念这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数. 要注意要注意:曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断和求解要根据割线是否有极限位置来判断和求解.如有极限如有极限,则在此点有切线则在此点有切线,且切线是唯一的且切线是唯一的;如不存在如不存在,则在此点则在此点处无切线处无切线;3)曲线的切线曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交并不一定与曲线只有一个交点点,可以有多个可以有多个,甚至可以无穷多个甚至可以无穷多个.PQoxyy=f(x)割割线线切切线线T例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出求出P点的坐标点的坐标;利用切线斜率的定义求出切线的斜率利用切线斜率的定义求出切线的斜率;利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.练习练习:如图已知曲线如图已知曲线 ,求求:(1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程.)38, 2(313Pxy上上一一点点 yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致发生混淆时，在不致发生混淆时，导函数导函数也简称也简称导数导数000( )()( )()( ).yf xxfxf xfxx 函数在点处的导数等于函数的导 函 数在点处的函数值函数导函数函数导函数由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到,当当时时,f(x0) 是一个确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变化时变化时,便是便是x的一个函数的一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的导函数的导函数.即即:（3）函数）函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值，即处的函数值，即 。这也是。这也是 求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf 小结:（2）函数的导数，是指某一区间内任意点）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的而言的, 就是函数就是函数f(x)的导函数的导函数 。)(xf （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。常数，不是变数。c.弄清弄清“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数”、“导函数导函数”、“导数导数” 之间的区别与联系。之间的区别与联系。（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy d.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：小结小结: 无限逼近的极限思想是建立导数无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求概念、用导数定义求 函数的导数的函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解基本思想，丢掉极限思想就无法理解导导 数概念。数概念。如何求函数如何求函数y=f(x)的导的导(函函)数数?(1)()( );yf xxf x 求函数的增量(2):()( );yf xxf xxx 求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求极限，得导函数