15三角形全等的判定(3).ppt

1.51.5三角形全等条件（三角形全等条件（3 3）ASA AAS有三边对应相等的两个三角形全等有三边对应相等的两个三角形全等(简写成简写成“边边边边边边”或或“SSS”)回顾与思考回顾与思考三角形全等的条件三角形全等的条件1： 有一个角有一个角和夹这个角的两边和夹这个角的两边对应相等的两个对应相等的两个三角形全等（简写成三角形全等（简写成“边角边边角边”或或“SAS”SAS”）这个角一定要是两条边的夹角这个角一定要是两条边的夹角三角形全等的条件三角形全等的条件2：回顾与思考回顾与思考 小明不小心将一块三角形模具打碎了，他是否可小明不小心将一块三角形模具打碎了，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？猜想：全等三角形还有什么判别方法？猜想：全等三角形还有什么判别方法？ 有有两个角和这两个角的夹边两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角对应相等的两个三角形一定全等吗？请用量角器和刻度尺画形一定全等吗？请用量角器和刻度尺画ABCABC，使，使BC=3BC=3， B=40B=400 0、 C=60C=600 0 将你画的三角形与其他将你画的三角形与其他同学画的三角形比较，你发现了什么？同学画的三角形比较，你发现了什么？CBA6004003cm与同伴进行比较，它们能否互相重合？与同伴进行比较，它们能否互相重合？合作学习：合作学习：有有两个角两个角和这两个角的和这两个角的夹边夹边对应对应相等的两个三角形全等。（简写相等的两个三角形全等。（简写成成“角边角角边角”或或“ASAASA”）ABCA A/ /B B/ /C C/ /ABC A B C （ASA）在在ABC和和A B C 中中 B=B BC= B C C=C 有有两个角两个角和这两个角的和这两个角的夹边夹边对应相等的两对应相等的两个三角形全等。（简写成个三角形全等。（简写成“角边角角边角”或或“ASAASA”）数学语言表示：数学语言表示： 小明不小心将一块三角形模具打碎了，他是否可小明不小心将一块三角形模具打碎了，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？小明应该带哪块碎片去配置三角小明应该带哪块碎片去配置三角形模具的理由吗？形模具的理由吗？做一做：做一做：如图，在如图，在ABCABC和和AA/ /B B/ /C C/ /中，已知中，已知AB=AAB=A/ /B B/ /，B=BB=B/ /、C=CC=C/ / ，那么，那么ABCABC与与AA/ /B B/ /C C/ /会全等吗？请说明理由。会全等吗？请说明理由。 结论：结论：两角和其中两角和其中一角的对边一角的对边对应相等的两个对应相等的两个三角形全等。（简写成三角形全等。（简写成“角角边角角边”或或“AASAAS”）ABCA A/ /B B/ /C C/ / 能不能把能不能把“AAS”AAS”、“ASA”ASA”简述为简述为“两角两角和一边对应相等的两个三角形全等和一边对应相等的两个三角形全等”？在在ADEADE和和ABCABC中中但但ABCABC和和ADEADE不全等不全等BCADBADEAA结论：说明两个三角形全等时说明两个三角形全等时, ,特别特别注意注意边和角边和角“位置上对应相等位置上对应相等” ” 。ABCDE例1 已知1=2 C=E，AC=AE，求证DACEB12证明 1=2 （已知） 1+BAE=2+BAE即BAC=DAE在在ABC与与ADE中，中，BAC=DAE（已证）AC=AE（已知）（已知）C=E（已知）（已知）ABC AD E（ASA）ABC AD E例2 已知A=D 求证求证 AE=DFABCDEF分析 要证明AE=DF，可以通过证明，ABE DCF来实来实现现证明 （已知） B=C（两直线平行，内错角相等）在ABE与与DCF中，中，A=D（已知）（已知）B=C（已证）ABE DC F（ASA） AE=DF（全等三角形的对应边相等）ABC在在ABCABC和和DEFDEF中中 A=DA=D _=_ _=_ B=E B=E ABCABCDEF(ASA)DEF(ASA)AB DEAB DEDEF填一填：填一填：1ABC在在ABCABC和和DEFDEF中中 _=_=_ AC=DF _=_ _=_ ABCABCDEF(ASA)DEF(ASA)DEFA DA DC FC F填一填：填一填：2ABC在在ABCABC和和DEFDEF中中 _=_=_ BC=EF BC=EF B=E B=E ABCABCDEF(ASA)DEF(ASA)DEFC FC F填一填：填一填：3（AASAAS）A=DA=DA=D B=E BC=EFABC在在ABCABC和和DEFDEF中中 A=D C=F _=_ _=_ ABCABCDEF(AAS)DEF(AAS)DEF填一填：填一填：4BC=EF或或AC=DF判定条件判定条件全等三角形的定义全等三角形的定义SSSSSSSASSASASAASA（AASAAS）边和角分别对应相等边和角分别对应相等,而不而不是分别相等。是分别相等。两两个个三三角角形形全全等等特别注意：特别注意：关键：关键：找符合要求的条件找符合要求的条件 小结小结谈谈你的感受谈谈你的感受SSSSSSSASSASASAASAAASAAS解题时通常可以根据以下定义、性质解题时通常可以根据以下定义、性质说明两角相等：说明两角相等：（1）角平分线的定义；角平分线的定义；（2）垂线的意义；）垂线的意义；（3）对顶角相等；对顶角相等；（4）三角形内角和性质及外角性质；）三角形内角和性质及外角性质；（5）全等三角形的性质（全等三角形的对应角相等）全等三角形的性质（全等三角形的对应角相等）（6）同角（或等角）的余角（或补交）相等）同角（或等角）的余角（或补交）相等；（7）利用和、差关系说明角相等；利用和、差关系说明角相等； 等等。等等。例例3、如图，点如图，点P P是是BACBAC的平分线上的一点，的平分线上的一点，PBABPBAB，PCACPCAC。说明。说明PB=PCPB=PC的理由。的理由。角平分线上的角平分线上的点点到角两边的距离到角两边的距离相等相等。ABCP解解: :在在APBAPB和和 APC APC中中PAB=PAB=PACPACABP=ABP=ACPACPAP=APAP=AP(角平分线的意义角平分线的意义)(垂线的意义垂线的意义)(公共边公共边) APBAPBAPCAPC（AASAAS）PB=PC (根据什么根据什么?)数学语言表示：数学语言表示：AP是是BAC的角平分线，的角平分线， 且且PBABPBAB，PCACPCAC( (已知已知) )PB=PCPB=PC( (角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等) )。例4、已知：如图所示，ABCD，PB和PC分别平分ABC和和DCB，AD过点过点P，且与，且与AB垂直垂直.求证：求证：PA=PDP 是是ABC的平分线上的点，的平分线上的点， PEBC,PAAB，角平分线上的点到角两边的距离角平分线上的点到角两边的距离相等相等小试牛刀：小试牛刀：1、如图、如图ACB=DFEACB=DFE，BC=EFBC=EF，根据，根据ASAASA或或AASAAS，那么，那么应补充一个直接条件应补充一个直接条件 -，（写出一（写出一个即可），才能使个即可），才能使ABCABCDEFDEF2、如图，、如图，BE=CD，1=2，则，则AB=AC吗？为什么？吗？为什么？ABCDEFB=EB=E或或A=DA=DCAB12ED解：解： =1803 =1804而而3=4（已知）（已知）ABD=ABC在在 和和 中中 （ ） （公共边）（公共边） （ ） （ ） （全等三角形对应边相等（全等三角形对应边相等） 3 3、如图，、如图，1=21=2，3=43=4，说明：，说明：AC=ADAC=ADCADB1 12 23 34 4ABDABDABCABCABD ABCABD ABC1=2 1=2 已知已知AB=ABAB=ABABD=ABCABD=ABC 已知已知ABD ABCABD ABC ASAASAAC=ADAC=AD 1 1、如图，、如图，ABBCABBC，ADDCADDC，1=21=2。求证：求证：AB=ADAB=AD巩固练习：巩固练习：例例1、已知，点已知，点D D在在ABAB上，点上，点E E在在ACAC上，上，BEBE和和CDCD相相交于点交于点O O，AB=ACAB=AC，B=CB=C，试说明，试说明AD=AEAD=AE。解解 ：在：在ADCADC和和AEBAEB中中A=AA=A（公共角）（公共角）AC=ABAC=AB（已知）（已知）C=BC=B（已知）（已知）AD=AEAD=AE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）AECDBOACD ABE（ASA） 2 2、如图：要测量河两岸相对的两点、如图：要测量河两岸相对的两点A A，B B的距离，的距离，可以在可以在ABAB的垂线的垂线BFBF上取两点上取两点C C，D D，使，使BC=CDBC=CD，再定出，再定出BFBF的垂线的垂线DEDE，使，使A A，C C，E E在一条直线上，这时测得在一条直线上，这时测得DEDE的长就是的长就是ABAB的长，为什么？的长，为什么？巩固练习：巩固练习：E EA AB BC CD DF F1 1、已知：、已知：ACCD,BDCD,MACCD,BDCD,M是是ABAB的中点的中点, ,连连CMCM并延长交并延长交BDBD于于F,F,请说明请说明:M:M是是CFCF的中点的中点. .ACMDFBK拓展练习：拓展练习：2 2、如图，、如图， ABCABC的两条高的两条高AD,BEAD,BE相交于相交于H,H,且且AD=BD,AD=BD,试说明试说明 BDH BDH ADCADCABDCEH拓展练习：拓展练习：ABCA/B/C/在ABC和ABC中B=B(已知)BC= BC (已知)C=C (已知)几何语言：ABC ABC（ASA）如图，在 ABC和 A/ B/ C/ 中，已知AB= A/ B/ ，B= B /、 C= C / ，请说出 ABC A/ B/ C/ 的理由。两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角角边”或“AAS”）ABCA/B/C/共同探索：1.如图，ABC ，AD、 分别是ABC和 的高 试说明：111CBA11DA111CBA11DAAD 解 ABC AD、 分别是ABC、 的高ADB= =90(垂直的意义)111CBA)(11全等三角形对应边相等BAAB )(1全等三角形对应角相等BB11DA111CBA111BDA在ABD与 中111CBA111111BBADBAD BABAB ABD)(111AASDBA)(11全等三角形对应边相等DAAD 2. 如图，已知AB=AC，D、E两点分别在AB、AC上，且AD=AE，试说明：BDF CEF解:在ABE与ACD中ABACAAADAE (已知）（公共角）（已知） ABE ACD（SAS），B=C（全等三角形对应角相等），AB=AC，AD=AE，BD=CE在BDF与CEF中BCDFBEFCBDCE （已证）（对顶角）（已证） BDF CEF（AAS） 3.如图，BD、CE交于O，OA平分BOC，ABD的面积和ACE的面积相等，试说明BD=CE 解:过A作AFBD，AGCE，垂足分别为F、GOA平分BOCAF=AG（角平分线上的点到这个角的两边距离相等） SABD=SACE CEAGBDAF2121 BD=CE分析: 有了角平分线性质定理，使证明线段相等又多了一种方法同时利用图形的面积关系转化成线段之间的长度关系，也是几何证明题中常用的方法理解提升： 1下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（ ） AAAS BSSA CSAS DSSS 2在ABC和DEF中，下列条件中，能根据它判定ABC DEF的是（ ）AAB=DE，BC=EF，A=D BA=D，C=F，AC=EFCAB=DE，BC=EF，ABC的周长=DEF的周长 DA=D，B=E，C=F 3如图，AD平分BAC，AB=AC，连接BD、CD，并延长交AC、AB于F、E，则图形中全等三角形有（ ）A2对 B3对 C4对 D5对BCC 4在ABC中，A的平分线交BC于D，则（ ）AD是BC的中点 BD在AB的中垂线上CD在AC的中垂线上 DD到AB和AC的距离相等5如图，BCAC，BDAD，垂足分别是C和D，若要根据AAS定理，使ABC ABD（AAS），应补上条件_或_6如图，已知1=2，3=4，说明AD=BC的理由解：_，_（已知）1+3=_即_=_在_和_中 _( ) _( ), _( ) _ _（ ）AD=BC（ ）DCAB=BAD CBA=DBA 1=2 3=42+4 DAB CBA BCA ADB 1=2 已知AB=BC 公共边 CBA=DAB 已证 BCA ADB ASA 全等三角形对应边相等 7如果点P是三角形三条角平分线的交点，则点P到三角形_的距离相等8如图，AD、AD分别是锐角ABC和ABC的高线，且AB=A B，AD=AD，B=B，若使ABC ABC，请你补充条件_（ 只需要填写一个你认为适当的条件）三边 CD=CD 或DAC=DAC或BAC=BAC或C=C 9如图，已知M是AB的中点，1=2，C=D说出下列判断正确的理由：（1）AMC BMD；（2）AC=BD解（1）M为AB的中点（已知） AM= BM （中点的性质）又1=2（已知） C=D（已知） ACM BDM（AAS） （2） ACM BDM（已证） AC=BD （全等三角形对应边相等） 10如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作AE 的垂线CF，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于点D（1）试说明：AE=CD； （2）AC=12cm，求BD的长解：（1） ACB=90（已知）AFDC（已知），AFC=900（垂直的意义）又DCB+DCA= EAC+ACF=90 EAC=DCB（同角的余角相等），DBBC（已知）DBC=ACB=900DCB EAC（ASA） AE=CD（全等三角形对应边相等）在ACB和CBD中DBC=ACB（已证）EAC=DCB（已证）AC=BC（已知）（2）由DCB EAC得 CE=DB E为BC的中点 cmBCACDB6212111如图，在ABD和ACE中，有下列4个诊断：AB=AC，B=C， BAC=EAD，AD=AE请以其中三个诊断作条件，余下一个诊断作为结论（用序号 的形式）写出一个由三个条件能推出结论成立的式子，并说明原因解： BAC=EAD BAD=CAE 又B=C AB=AC BAD CAE （ASA） AD= AE （全等三角形对应边相等） 12如图，在ABC中，C=90，AC=BC，BD平分CBA，DEAB于E，试说明：AD+DE=BE只要证BCD BED，得BC=BE，DC=DE AD+DE=AD+DC=AC=BC=BE 13如图，在五边形ABCDE中，B=E，C=D，AMCD于M，BC=DE，试说明M为CD的中点解：延长AB、AE交CD的延长线于H、F ABC=AED BCD=EDC HBC=FED BCH=EDF 又BC=DF BCH EDF（AAS） CH=DF 在AMH与AMF中，H=F AMH= AMF AM=AM AMH AMF（AAS） HM=FH CM=DM 14如图，ABC两条角平分线BD、CE相交于点O，A=60，求证：CD+ BE=BC解：在BC上取一点F，使BF=BE，连结OF，则EBO FBO EOB=FOB 又2+4=60 COB=120 EOB=DOC=60 OFC ODC CD=CF BC=BF+CF=BE+CD这种方法是我们解决这一类问题的统常方法。