八年级数学因式分解.ppt

教学目标：教学目标： 1.掌握提取公因式法，公式掌握提取公因式法，公式法等因式分解的方法，能把法等因式分解的方法，能把简单多项式分解因式。简单多项式分解因式。2.提高分解因式的基本技提高分解因式的基本技能。能。3.培养思维有序，分析问培养思维有序，分析问题，解决问题的良好思维题，解决问题的良好思维品质。品质。教学重难点：教学重难点：1.理解分解因式的意义。2.掌握分解因式的步骤。3.灵活运用分解因式的方法一。下列哪些式子的变形是分解因式？一。下列哪些式子的变形是分解因式？1. y2-1=(y+1)(y-1)2. 2(a+b)=2a+2b3. 4x2-y2=(2x+y)(2x-y)4. x2-y2-1=(x+y)(x-y)-15. x2-4xy+4y2=(x-2y)2因式分解的定义：因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的把一个多项式化成几个整式的积积的形式的形式叫做多项式的因式分解。叫做多项式的因式分解。你学过分解因式的哪些方法呢？你学过分解因式的哪些方法呢？a.提公因式法提公因式法（将多项式各项系数的（将多项式各项系数的最大公最大公约数约数，相同因式的，相同因式的最低次幂提出最低次幂提出）b.运用公式法：运用公式法：平方差公式：平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2典例剖析典例剖析一一.将下列多项式分解因式。将下列多项式分解因式。 1. 7x2-63解:原式 =7(x2-9) 提公因式 =7(x+3)(x-3) 2.平方差公式法 2. a4-8a2+16 解: 原式 =（a2-4)2 完全平方公式法 =(a+2) 2(a-2) 2 2.平方差公式法1.2.题完成了第一步已经将多项式分解成题完成了第一步已经将多项式分解成几个整式积的形式，为什么还要进行第几个整式积的形式，为什么还要进行第2步呢？分解因式的基本步骤到底是怎样？步呢？分解因式的基本步骤到底是怎样？（分组讨论）（分组讨论）因式分解的步骤：因式分解的步骤： 首先考虑是否有公因式提（首先考虑是否有公因式提（提取公因式提取公因式法法），然后考虑用），然后考虑用公式法公式法，两种方法反，两种方法反复试，结果必是连乘式。复试，结果必是连乘式。注意：注意：由由1.2例题可知：分解因式一定要分解到不例题可知：分解因式一定要分解到不能再分为止，而且相同因式要写成幂的形能再分为止，而且相同因式要写成幂的形式，如：（式，如：（a-b)(a-b)要写成（要写成（a-b)2 1，下列多项式中哪项能用提公因式法分解因式（ ）A.2x-y B.x2+2x C.x2+2y D.x2+xy+2yB现场练兵一一.将下列各式分解因式。将下列各式分解因式。 1. a2-9解:原式= （a+3)(a-3)2. 2y2-4y+2 解:原式 =2(y2-2y+1) =2(y-1)2 3. a2-ab+ac解:原式 =a(a-b+c) 4. a3+2a2+a 解:原式 =a(a2+2a+1)=a(a+1)2二二.分解因式与代数求值。分解因式与代数求值。1.已知已知a+b=7,ab=6,求求a2b+ab2的值的值解解 a2b+ab2 =ab(a+b) 分解因式分解因式 =67=42 代入已知代数式的值求值代入已知代数式的值求值 中考名题欣赏中考名题欣赏（我最棒！）我最棒！）1、（、（2008年，陕西年，陕西）：）：分解因式分解因式X2-4 2、（、（2007年，南京年，南京）：）：分解因式分解因式3X2-33、（、（2008年，青海年，青海）：）：分解因式分解因式x2y+4xy+4y3(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)Y(X+2)2开放题开放题4、（、（2008年，恩施年，恩施）：）：请从下列三个代数式中任请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式。选两个构成一个分式，并化简该分式。X2-4xy+4y2 x2-4y2 x-2y挑战自我 我能行！请同学们谈谈这节课你有什么请同学们谈谈这节课你有什么收获？学习分解因式这节内容收获？学习分解因式这节内容你还有哪些困惑？你还有哪些困惑？小结：小结：1.熟悉因式分解的两种基本方法，熟练掌握公式熟悉因式分解的两种基本方法，熟练掌握公式法的两个公式。法的两个公式。2.掌握分解因式的基本步骤，先考虑是否有公因掌握分解因式的基本步骤，先考虑是否有公因式提，再考虑是否可以用公式法，两种方法反复式提，再考虑是否可以用公式法，两种方法反复试，最后必是几个整式连乘。试，最后必是几个整式连乘。3.特别注意，分解因式要分解到不能分为止。特别注意，分解因式要分解到不能分为止。新人教版数学八年级上学期多媒体课件新人教版数学八年级上学期多媒体课件 15.5.2.1：利用平方差分解因式：利用平方差分解因式问题问题: : 什么叫多项式的因式分解什么叫多项式的因式分解?判断下列变形过程，哪个是因式分解？判断下列变形过程，哪个是因式分解？ (1) (x-2)(x-2)=x2- 4 (2) x2- 4+3x=(x+2)(x-2)+3x (3) 7m-7n-7=7(m-n-1) (4) 4x2- =(2x+ )(2x- )9y213y113y问题：问题：你学了什么方法进行分解你学了什么方法进行分解因式？因式？提公因式法提公因式法把下列各式因式分解：把下列各式因式分解：(1) ax - ay(2) 9a2 - 6ab+3a(3) 3a(a+b)-5(a+b)(4) ax2 - a3(5) 2xy2 - 50 x= a( x y )=3a(a-2b+1)=(a+b)(3a - 5)=a(x2-a2)=2x(y2-25)=a(x+a)(x-a)=2x(y+5)(y - 5)平方差公式：平方差公式：(a+b)(a-b) = a - ba - b = (a+b)(a-b)整式乘法整式乘法因式分解因式分解两个数的平两个数的平方差，等于方差，等于这两个数的这两个数的和与这两个和与这两个数的差的积数的差的积下列多项式能否用平方差公式来分下列多项式能否用平方差公式来分解因式？解因式？(1) x2 + y2(2) x2 - y2(3) -x2+y2(4) -x2 - y2(2)(3)能，能，(1)(4)不能不能2222222169)4(01.094)3()2(251)1(1anmzyxb：把下列各式分解因式例(1) 1-25b(1) 1-25b2 2=1=12 2-(5b)-(5b)2 2=(1+5b)(1-5b)=(1+5b)(1-5b)(2) x(2) x2 2y y2 2-z-z2 2=(xy)=(xy)2 2-z-z2 2=(xy+z)(xy-z=(xy+z)(xy-z) )2201. 094)3(nm 22)1 . 0(32nm）（)1 . 032)(1 . 032(nmnm(4) -9+16a(4) -9+16a2 2=16a=16a2 2-9-9 =(4a)=(4a)2 2-3-32 2=(4a+3)(4a-3)=(4a+3)(4a-3)因式分解：因式分解：、 a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2 4、 (a-b)n+2 - (a-b)n把下列各式分解因式把下列各式分解因式 x x2 2y y2 2 1 1m m2 2 a a2 2b b2 2 x x2 2y y2 2 9 916x16x2 2 x x2 29y9y2 2 4x 4x2 29y9y2 2 0.09a 0.09a2 24b4b2 2 0.36x 0.36x2 2y y2 2 x x4 4y y2 2 x x2 2y y2 2z z2 2 (12) x (12) x2 2(x(xy)y)2 2 (13) 9(x(13) 9(xy)y)2 2y y2 2 (14) (x (14) (x2y)2y)2 2(2x(2xy)y)2 2 (15) 16(a(15) 16(ab)b)2 29(a9(ab)b)2 2 (16) (a (16) (a2 2b b2 2) )2 2a a2 2b b2 23、设、设n为整数，用因式分解说明为整数，用因式分解说明(2n+1)2 - 25能被能被4整除。整除。4、若、若a、b、c是三角形的三边长且满足是三角形的三边长且满足(a+b)2-(a-c)2=0，则此三角形是（，则此三角形是（ ）A、等腰三角形、等腰三角形 B、等边三角形、等边三角形C、直角三角形、直角三角形 D、不能确定、不能确定 1、运用简便方法计算：、运用简便方法计算：1 、 20032 92、（、（1 - ）（）（1 - ）（）（1- ）（1- ）（）（1- ）122132142192 1 102 观察下列各式：观察下列各式：19 = - 8, 4-16= -12, 9-25=-16, 16-36= -20（1）把以上各式所含的规律用含）把以上各式所含的规律用含n(n为正整数）为正整数）的等式表示出来。的等式表示出来。（2）按照（）按照（1）中的规律，请写出第）中的规律，请写出第 10个等式。个等式。本节课你有什么收获？有何本节课你有什么收获？有何疑惑？你对老师又有何建议疑惑？你对老师又有何建议呢？呢？ 提公因式法提公因式法 学习学习回忆回忆运用前面所学的知识填空：运用前面所学的知识填空：把下列多项式写把下列多项式写 成乘积的形式成乘积的形式都是多项式化都是多项式化为几个整式的为几个整式的积的形式积的形式 (1) ma+mb+mc=( )( )(2) x2 -1 =( )( ) (3) a2 +2ab+b2 =( )2(1) m(a+b+c)= (2) (x+1)(x-1)=(3) (a+b)2 =ma+mb+mcx2 -1a2 +2ab+b2m a+b+cx+1 x-1a+b 探究探究 观察观察“回忆回忆”与与“探究探究”，你能，你能发现它们之间的发现它们之间的联系与区别吗？联系与区别吗？ 把把一个一个多项式化为多项式化为几个几个整式整式的的乘积乘积的的形式形式, ,像这样的式子变形叫做把这个多像这样的式子变形叫做把这个多项式项式因式分解因式分解，也叫做把这个多项式，也叫做把这个多项式分解因式分解因式。定义定义 X2-1 (x+1)(x-1)因式分解因式分解整式乘法整式乘法X2-1 = (x+1)(x-1)等式的特征：左边是等式的特征：左边是多项式多项式，右边是右边是几个整式的乘积几个整式的乘积初步应用初步应用 巩固新知巩固新知144) 12(22xxx在下列等式中，从左到右的变形是因式分解在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（的有（ ） cbamcbmam)( xyxyx83242) 1)(1(12xxx )11 (22xxxx2 2 )32( 264zyxzyx 多项式中多项式中各项各项都含有的都含有的相同因式相同因式，叫做这个多项式的叫做这个多项式的公因式公因式。mcmbma相同因式相同因式m m这个多项式有什么特点？这个多项式有什么特点？例例: 找找 3 x 2 6 xy 的公因式的公因式。系数：最大系数：最大公约数。公约数。3字母：相同字母：相同的字母的字母x 所以，公因式是所以，公因式是3x。指数：相同指数：相同字母的最低字母的最低次幂次幂1正确找出多项式各项公因式公因式的关键关键是：1 1、定系数定系数：公因式的系数是多项式各项系公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。数的最大公约数。 2 2、定字母定字母： 字母取多项式各项中都含有的字母取多项式各项中都含有的相同的字母。相同的字母。 3 3、定指数定指数： 相同字母的指数取各项中最小相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂的一个，即字母最低次幂 你知道吗？你知道吗？找一找找一找: 下列各多项式的下列各多项式的公因式公因式是什么？是什么？ （3）（a）（a2）（2(m+n)）（3mn）（-2xy）(1) 3x+6y(2)ab-2ac(3) a 2 - a 3(4)4 (m+n) 2 +2(m+n)(5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2 如果一个多项式的各项含有公因式，那么如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做方法叫做提公因式法提公因式法。 ( a+b+c )ma+ mb +mcm=(1) 8a3b2 + 12ab3c例例1: 把下列各式分解因式把下列各式分解因式分析：提公因式法步骤（分两步）分析：提公因式法步骤（分两步） 第一步第一步: :找出公因式；找出公因式； 第二步第二步: :提取公因式提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。即将多项式化为两个因式的乘积。(2) 2a(b+c) - 3(b+c)注意：注意：公因式公因式既可以是一个既可以是一个单项式单项式的形式，的形式， 也可以是一个多项式的形式也可以是一个多项式的形式整体思想整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。是数学中一种重要而且常用的思想方法。把把12x2y+18xy2分解因式分解因式解：原式解：原式 =3xy(4x + 6y) 错误错误公因式没有提尽，公因式没有提尽，还可以提出公因式还可以提出公因式2 2注意：注意：公因式要提尽。公因式要提尽。诊断诊断正确解：正确解：原式原式=6xy(2x+3y)当多项式的某一项和公当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式因式相同时，提公因式后剩余的项是后剩余的项是1 1。错误错误注意：注意：某项提出莫漏某项提出莫漏1 1。解：原式解：原式 =x(3x-6y)把把3x2 - 6xy+x分解因式分解因式正确解：正确解：原式原式=3x.x-6y.x+1.x =x(3x-6y+1)提出负号时括号里的项提出负号时括号里的项没变号没变号错误错误诊断诊断把把 - x2+xy-xz分解因式分解因式解：原式解：原式= - x(x+y-z)注意：注意：首项有负常提负。首项有负常提负。正确解：正确解：原式原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z)看你能否过关看你能否过关？把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：(1)8 m2n+2mn(2)12xyz-9x2y2(3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 ) (4) -x3y3-x2y2-xy 例例2 2 把把 12b(a-b)2 18(b-a)3 分解因式分解因式解：解： 12b(a-b)2 18(b-a)3 =12b(a-b)2 + 18(a-b)3 =6(a-b)2 2b+3(a-b) =6(a-b)2 (2b+3a-3b) =6(a-b)2(3a-b)练习：练习：(x-y)2+y(y-x)(1) 13.80.125+86.21/8(2)已知已知a+b=5,ab=3,求求a2b+ab2的值的值. 解：原式解：原式=13.80.125+86.20.125 =0.125(13.8+86.2) =0.125100 =12.5 解解: a2b+ab2 =ab(a+b)=3 5=15巧妙计算巧妙计算）（解：原式19999 99 99 + 99 ）（解：原式1575131259）（解：原式1575131259=259=259 =9900157259512593125915725951259312591572595125931259（1）99299（2）= 99 (99+1)2 2、确定公因式的方法、确定公因式的方法：小结小结3 3、提公因式法分解因式步骤、提公因式法分解因式步骤( (分两步分两步) )：1 1、什么叫因式分解？、什么叫因式分解？(1)(1)定系数定系数 (2)(2)定字母定字母 (3)(3)定指数定指数第一步，找出公因式；第一步，找出公因式；第二步，提取公因式第二步，提取公因式.4 4、提公因式法分解因式应注意的问题：、提公因式法分解因式应注意的问题：（1 1）公因式要提尽；）公因式要提尽； （2 2）小心漏掉）小心漏掉1;1;（3 3）提出负号时）提出负号时, ,要注意变号要注意变号. . 记住哟！记住哟！1 1、计算（、计算（-2-2）101101+ +（-2-2）1001002 2、已知、已知, , , , 求代数式求代数式 的值。的值。42 yx3xy222xyyx讨讨 论论问题问题1：630能被哪些数整除？说说你是能被哪些数整除？说说你是怎样想的？怎样想的？问题问题2：a=101,b=99时，求时，求a2 b2 的值。的值。知识结构知识结构分解因式分解因式分解因式与整式分解因式与整式乘法的关系乘法的关系分解因式的分解因式的两种方法两种方法分解因式的分解因式的应用应用提公因式法提公因式法公式法公式法 回回 顾顾 与与 思思 考考 1 1、举例说明什么是分解因式。、举例说明什么是分解因式。 2 2、分解因式与整式乘法有什么关系？、分解因式与整式乘法有什么关系？ 3 3、分解因式常用的方法有哪些？、分解因式常用的方法有哪些？ 把一个多项式化为几个整式乘把一个多项式化为几个整式乘积的形式叫做多项式的因式分解。积的形式叫做多项式的因式分解。 多项式的乘法与多项式的因式分解多项式的乘法与多项式的因式分解是互逆运算，都是多项式的重要变形，是互逆运算，都是多项式的重要变形，这两种变形都有着广泛的应用。这两种变形都有着广泛的应用。（1）提取公因式法；）提取公因式法；（2）运用公式法；）运用公式法；正确理解因式分解的要求，会判断一个变正确理解因式分解的要求，会判断一个变形是不是因式分解，会判断分解得的因式是形是不是因式分解，会判断分解得的因式是否能继续再分解，从而得到因式分解的正确否能继续再分解，从而得到因式分解的正确结果。结果。会正确判定多项式的公因式，会用提取公会正确判定多项式的公因式，会用提取公因式的方法分解的公式。因式的方法分解的公式。熟记乘法公式，理解乘法公式的逆向应用熟记乘法公式，理解乘法公式的逆向应用就是因式分解的公式。就是因式分解的公式。 4、灵活运用某些重要的数字思想方法（如，、灵活运用某些重要的数字思想方法（如，换元法）。提高观察问题、分析问题、解决换元法）。提高观察问题、分析问题、解决问题的能力。问题的能力。 基基 础础 训训 练练 一、填空： 1 mcmbma ( )( ) 2 224129baba（3a-2b ）2 3 229yx（）（ ） 二、二、 判断正误。判断正误。 1. 36123243222mxmxmxmx xx() 2. 0 410 210 212.( .)( .)aaa 3. ()()()()()()ab mba mabm 2321 4. ()() 22-21mm -ma+b+cx+3y x-3y V课课 堂堂 测测 试试 1. 1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是 A.A. B. B. C. C. D. D. ()()xxxx1222xxxxx2)2)(2(242222a bcabac()(22nmnmnm2 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 151235422x yxyzxyzxy()xxyyxy222242()xxy xx xy2 ()xxxx23414 ()()BD3、多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ） A、222yxyx B、222yxyx C、2241yxyx D、22yxyx 4.4. 是完全平方式，是完全平方式，则则 m m 的值为（的值为（ ） A. -1 B. 7A. -1 B. 7 C. 1 C. 1D. 7D. 7或或-1-1xmx22316()511CD5. 把多项式442xx分解因式， 结果正确的是（ ） A. xx()44 B. 422xxx()() C. ()x22 D. ()x22 6、(x-1)(x-3) +1 能分解因式吗？C强强 化化 练练 习习一把下列多项式因式分解一把下列多项式因式分解291x224)32(xyx20022004)(16)(nmnm42242nnmm)2(222yzzyx二、利用分解因式解决问题二、利用分解因式解决问题. b-ab)-(ab-ab-a2222、当、当a=3a=3,b=2,b=2时，求时，求 的值的值 1.两个连续整数的平方是奇数吗？为什么？两个连续整数的平方是奇数吗？为什么？3、利用分解因式说明：、利用分解因式说明： 能被那些数整除。能被那些数整除。1275254、已知312 yx，2xy， 求43342yxyx的值. 5.计算：)411)(311)(211 (222因式分解 提取公因式法提取公因式法如何简便计算956. 19156. 1把一个多项式化为几个整式的把一个多项式化为几个整式的乘积乘积形式，就叫做把这个多项式形式，就叫做把这个多项式因式分解因式分解特征:1、等号左边是一个多项式；2、等号右边是几个整式积的形式下列从左边到右边的变形中，是下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是因式分解的是: ( )(1)(x+2)(x-2)=x2-4;(2) x2-4= (x+2)(x-2);(3) ma+mb+c=m(a+b)+c;(4)x2-9+x=(x+3)(x-3)+x;(5)2ax+4bx=2x(a+2b)因式分解与整式的乘法是什么关系？因式分解与整式的乘法相反想一想()()()()()试一试吧(2) (5)多项式多项式)(cbammcmbmamcmbma中的每一项都含有一个相同的因式中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为，我们称之为公因式公因式把公因式提出来，多项式把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就就可以分解成两个因式可以分解成两个因式m和（和（a+b+c）的乘的乘积了。像这种因式分解的方法，叫做积了。像这种因式分解的方法，叫做提公提公因式法。因式法。下列各式中各项的公因式是什么？mcmbmacdbdad(3)2232xx (4)xyxy5mdx2xyxxyx632(5)(1)(2)224393yxyx(6)x3x2y2试一试，你行试一试，你行公因式如何确定？1.如果公因式是一个单项式，它的系数是如果公因式是一个单项式，它的系数是各项系数的各项系数的最大公约数最大公约数，它的字母要取，它的字母要取各各项项都有的都有的相同的相同的字母，而字母的指数是取字母，而字母的指数是取各项中较小各项中较小的。的。2.指出下列各多项式中的公因式：指出下列各多项式中的公因式： 22644323932123223223xxxnmnnmyxxybabaa2b23xyn(x2)（5）2a(yx）(xy)(yx)或或(xy)例例1 对下列多项式进行因式分解：对下列多项式进行因式分解：cabba323128)1()(3)(2)3(63)2(26352cbcbaacbaba“提公因式法提公因式法”要注意：要注意：1 公因式要公因式要提尽提尽；2 小心漏掉小心漏掉“1”；小结：小结：1、什么是因式分解？3、如何找多项式的公因式？2、因式分解与整式的乘法是什么关系？ 132264455152532381223273122222baaabammmnmbaabbaxaxx作业：作业：、填空：2.2.用提公因式法分解因式：用提公因式法分解因式： yxbyxaxaxxaxaaxaxxyxanam2356824481243276213223222 yxyx2662