高中数学知识点总结及典型例题.docx

高中数学知识点总结及典型例题一、函数1、函数概念与基本初等函数一、知识导学1.映射：一般地，设A、B两个集合，假如根据某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：AB.(包括集合A、B及A到B的对应法则)2.函数：设A，B都是非空的数集，假如按某种对应法则f，对于集合A中每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数，记作()yfx=.其中所有的输入值x组成的集合A称为函数()yfx=定义域.对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(xA)的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出来，得到x=f-1(y).若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f-1(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数叫做函数y=f(x)(xA)的反函数，记作x=f-1(y).我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们经常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x)反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.二、疑难知识导析1.对映射概念的认识(1)与是不同的，即与上有序的.或者讲：映射是有方向的，(2)输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者讲：允许集合B中有剩留元素；允很多对一，不允许一对多.(3)集合A，B能够是数集，可以以是点集或其它类型的集合.2.对函数概念的认识1对函数符号()fx的理解知道y=()fx与()fx的含义是一样的，它们都表示是的函数，其中是自变量，()fx是函数值，连接的纽带是法则.是单值对应.(2)注意定义中的集合A，B都是非空的数集,而不能是其他集合；3函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.3.对反函数概念的认识1函数y=()fx只要知足是从定义域到值域上逐一映射，才有反函数；2反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因而反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.3互为反函数的函数有一样的单调性，它们的图像关于y=x对称.三、经典例题导讲例1设Ma，b，c，N2,0,2,求1从M到N的映射种数；2从M到N的映射知足f(a)>f(b)f(c),试确定这样的映射f的种数.解：1由于Ma，b，c，N2,0,2，结合映射的概念，有一共有27个映射2符合条件的映射共有4个0222,2,2,0,0,2220aaaabbbbcccc?-?-?例2已知函数()fx的定义域为0，1，求函数(1)fx+的定义域正解：由于函数()fx的定义域为0，1，即01x(1)fx+知足011x+10x-，(1)fx+的定义域是1，0例3已知：*,xN5(6)()(2)(6)xxfxfxx-?=?+当前位置：文档视界高中数学知识点总结及典型例题高中数学知识点总结及典型例题分析：要求22yx+的最大值，由已知条件很快将22yx+变为一元二次函数,29)3(21)(2+-=xxf然后求极值点的x值，联络到02y，这一条件，既快又准地求出最大值.解由xyx62322=+得.20,0323,0.3232222+-+-=xxxyxxy又,29)3(2132322222+-=+-=+xxxxyx当2=x时，22yx+有最大值，最大值为.429)32(212=+-点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深入性.大部分学生的作法如下：由xyx62322=+得,32322xxy+-=,29)3(2132322222+-=+-=+xxxxyx当3=x时，22yx+取最大值，最大值为29这种解法由于忽略了02y这一条件，致使计算结果出现错误.因而，要注意审题，不仅能从外表形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题.2、函数的性质1.函数的单调性：1增函数：一般地，设函数()yfx=的定义域为I，假如定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时，都有f(x1)在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要遭到区间的限制.2.对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的本质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映.这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.3.用列表描点法总能作出函数的图像，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图像的特点，如二次函数图像是抛物线，假如不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的.三、经典例题导讲例1判定函数1()3xy-=的单调性.正解：令tx=-，则该函数在R上是减函数，又1101,()33ty3x2,即x2+x6>0,解得x>2或x2解二次函数的问题如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根的范围等要充分利用好两种方法：配方、图像，很多二次函数都用数形结合的思想去解.2()(0)fxaxbxca=+，当240bac?=->时图像与x轴有两个交点.Mx1,0N(x2,0),|MN|=|x1-x2二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点处获得.2.指数函数xya=(0,1)aa>和对数函数logayx=(0,1)aa>的概念和性质.1有理指数幂的意义、幂的运算法则：mnmnaaa+?=；()mnmnaa=；()nnnabab=这时m,n是有理数对数的概念及其运算性质、换底公式.log()loglog;logloglogaaaaaaMMNMNMNN?=+=-1loglog;loglognaaaaMnMMn=；logloglogcacbba=2指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点.指数函数图像永远在x轴上方，当a1时，图像越接近y轴，底数a越大；当0对数函数的符号常遭到底数和真数的范围的制约，注意对底数a的讨论.当a>1时，图像越接近x轴，底数a越大;当01时，指数大的图像在上方.二、疑难知识导析1.二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像.二次函数的对称轴与区间的位置通常有三种情况：1定义域区间在对称轴的右侧；2定义域区间在对称轴的左侧；3对称轴的位置在定义域区间内2.幂的运算性质、对数的运算性质的运用，要注意公式正确使用.会用语言准确叙述这些运算性质防止出现下列错误：1a，2log()loglog;log()loglogaaaaaaMNMNMNMN+=+?=?3.利用指数函数的性质解题，一定要注意底数的取值.4.函数()fxya=的研究方法一般是先研究()fx的性质，再由a的情况讨论()fxya=的性质.5.对数函数logayx=(0,1)aa>与指数函数xya=(0,1)aa>互为反函数，会将指数式与对数式互相转化.6.幂函数yx=的性质，要注意的取值变化对函数性质的影响.1当奇奇=时，幂函数是奇函数；2当奇偶=时，幂函数是偶函数；3当偶奇=时，定义域不关于原点对称，幂函数为非奇非偶函数.三、经典例题导讲 例1已知18log9,185,ba=求36log45正解：185,b=18log5b=1818183621818181818log45log5log9log451818log36log4log92log()2log()99bababaaaa+=+-+例2分析方程2()0fxaxbxc=+=0a>的两个根都大于1的充要条件.正解：充要条件是2(1)01240fbabac>?->?=-?例3求函数361265xxy=-?-的单调区间.正解：令6xt=，则6xt=为增函数，361265xxy=-?-2125tt-?-2(6)41t-当t6,即x1时，y为关于t的增函数，当t6,即x1时，y为关于t的减函数函数361265xxy=-?-的单调递减区间是(,1-，单调递增区间为1,)+例4已知)2(logaxya-=在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是正解：)2(logaxya-=是由uyalog=，axu-=2复合而成，又a0axu-=2在0，1上是x的减函数，由复合函数关系知uyalog=应为增函数，a1又由于x在0，1上时)2(logaxya-=有意义，axu-=2又是减函数，x1时，axu-=2取最小值是au-=2min0即可，a2综上可知所求的取值范围是1a2例5已知函数()log(3)afxax=-.1当0,2x时()fx恒有意义，务实数a的取值范围.2能否存在这样的实数a使得函数()fx在区间1，2上为减函数，并且最大值为1，假如存在，试求出a的值；假如不存在，请讲明理由.分析：函数()fx为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质详细分析找到正确的解题思路，能否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证实.解：1由假设，ax-30，对一切0,2x恒成立，0,1aa>显然，函数g(x)=ax-3在0，2上为减函数，进而g(2)32a-0得到a32a的取值范围是0，11，32(2)假设存在这样的实数a，由题设知(1)1f=，即(1)log(3)afa=-1a32此时3()log(3)2afxx=-当2x=时，()fx没有意义，故这样的实数不存在.点评：此题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的互相转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，讲明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.4、函数与方程一、知识导学1.函数的零点与方程的根的关系：一般地，对于函数()yfx=xD我们称方程()0fx=的实数根x也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数()()yfxgx=-的零点.2.函数的图像与方程的根的关系：一般地，函数()yfx=xD的图像与x轴交点的横坐标就是()0fx=的根.综合方程f(x)=g(x)的根，就是求函数yf(x)与y=g(x)的图像的交点或交点个数，或求方程()()yfxgx=-的图像与x轴交点的横坐标.3.判定一个函数能否有零点的方法：假如函数()yfx=在区间a,b上图像是连续不断的曲线，并且有()()0fafb?>?4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是1取一个区间,ab使()()0fafb?即a4时，()ga(2)f7a0，得a7，又a4故7a4综上，得7a2例2已知210mxx+=有且只要一根在区间0,1内，求m的取值范围.解：设2()1fxmxx=+，1当m0时方程的根为1，不知足条件.2当m0210mxx+=有且只要一根在区间0,1内又(0)f10有两种可能情形(1)0f?=+->?-?故方程必有一根在区间x1，x2内.由于抛物线yFx在x轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x轴相交于两个不同的交点，即方程有两个不等的实根，进而方程有两个不等的实根，且必有一根属于区间x1，x2.点评：此题由于方程是()fx121()()2fxfx+，其中由于有()fx表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联络，误以为证实()fx的图像与x轴相交于两个不同的点，进而证题中着眼于证1()fx2()fx0，使此题没法解决.此题中将问题转化为Fx()fx121()()2fxfx+的图像与x轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.函数的综合运用(因今年高考对此不作要求，故略二、三角函数1任意角三角函数一、知识导学1角：角能够看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所构成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角能够任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角.2弧度制：任一已知角的弧度数的绝对值rl=，其中l是以作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度做单位来度量角的制度叫做弧度制.3弧度与角度的换算：rad2360=；rad1745.01801=；130.57180?=rad.用弧度为单位表示角的大小时，弧度rad能够省略不写.度()不可省略.4弧长公式、扇形面积公式：,rl=2|2121rlrS=扇形,其中l为弧长，r为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当2=时的情形.5任意角的三角函数定义：设是一个任意大小的角，角终边上任意一点P的坐标是()yx,，它与原点的距离是)0(>rr，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是yrxryxxyrxry=csc,sec,cot,tan,cos,sin.这六个函数统称为三角函数.xysin=Rxycos=Rxytan=?+Zkkxx,2xycot=Zkkxx,xysec=?+Zkkxx,2xycsc=Zkkxx,示各象限注明的函数为正，其余为负值能够简记为“一全、二正、三切、四余为正.二、疑难知识导析1在直角坐标系内讨论角1角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角或讲这个角属于第几象限.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为x轴的非负半轴.否则不能如此判定某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就讲这个角不属于任何象限.2与角终边一样的角的集合表示.Zkk+?=,360，其中为任意角.终边一样的角不一定相等，相等的角终边一定一样，终边一样的角有无数多个，它们相差360整数倍.2值得注意的几种范围角的表示法“090间的角指900>法2考虑特殊情形，A为锐角，C为钝角，故排除B、C、D，所以选A.例2已知,角的终边关于y轴对称，则与的关系为.正解：,角的终边关于y轴对称)(,22Zkk+=+即)(,2zkk+=+讲明：1若,角的终边关于x轴对称，则与的关系为)(,2Zkk=+2若,角的终边关于原点轴对称，则与的关系为)(,)12(Zkk+=3若,角的终边在同一条直线上，则与的关系为)(,Zkk+= 例3已知542cos,532sin-=，试确定的象限.正解：0542cos,0532sin=，2是第二象限角，又由43sin22532sin=a，则ar5=，且角在第二象限3434cot,4343tan,5454cos,5353sin-=-=-=-=-=-=aaaaaaaa若03434cot,4343tan,5454cos,5353sin-=-=-=-=-=-=-=aaaaaaaa讲明：1给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解；2此题由于所给字母a的符号不确定，故要对a的正负进行讨论.例5一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的半径为rcm，则扇形的弧长cmrl)220(-=扇形的面积25)5()220(212+-=?-=rrrS所以当cmr5=时，即2,10=rlcml时2max25cmS=.点评：涉及到最大小值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值.例6已知是第三象限角，化简sin1sin1sin1sin1+-+。解：原式2222sin1)sin1(sin1)sin1(-+cossin2cossin1sin1=+-+又是第三象限角，0cos