2017年高考理科数学全国2卷-含答案.docx
1产 产 SK=K+1a= aS=S+aK产产产 产 aS=0,K=1产 产K6产 产20172017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学( (全国全国 2 2 卷卷) )一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。1.（）3 1i i A B C D12i1 2i2i2i2.设集合，若，则（）1,2,4A 240x xxm 1A A B C D1, 3 1,0 1,3 1,53.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（） A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图， 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A B C D906342365.设，满足约束条件，则的最小值是（）xy2330233030xyxyy 2zxyA B C D15919 6.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成， 则不同的安排方式共有（） A12 种 B18 种 C24 种 D36 种 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中 有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的 成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（） A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（）1a S A2 B3 C4 D59.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所C:22221xy ab0a 0b 2224xy截得的弦长为 2，则的离心率为（）CA2 B C D322 3 310.已知直三棱柱中，则111CCAA C120A2A 1CCC1异面直线与所成角的余弦值为（）1A1C2A B C D3 215 510 53 311.若是函数的极值点，则的极小值为（）2x 21( )(1)xf xxaxe( )f xA. B. C. D.1132e35e12.已知是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则的最小值是（）ABC()PAPBPC A. B. C. D.23 24 31二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二0.02100 等品件数，则D 14.函数（）的最大值是 23sin3cos4f xxx0,2x15.等差数列的前项和为，则 nannS33a 410S 11nkkS16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中FC:28yxCFyF点，则F 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 1721 题为必做题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。17.（12 分）的内角的对边分别为 ,已知ABC, ,A B C, ,a b c2sin()8sin2BAC(1)求 (2)若 , 面积为 2,求cosB6acABC. b 18.（12 分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网 箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：产 产 产 产0.0200.0320.0400.0340.0240.014 0.012产 产产 产产 产 产 /kg30354045505560657025O0.0080.0100.0460.0680.0440.0200.004产 产产 产产 产 产 /kg4045505560657035产 产 产 产O3（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖法的箱产量不低于 50kg”,估计 A 的概率；（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg箱产量50kg旧养殖法新养殖法（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）P（）2 0.0500.0100.001k3.8416.63510.8282 2() ()()()()n adbcKab cd ac bd19.（12 分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点.o1,90 ,2ABBCADBADABC （1）证明：直线平面PAB/ /CE（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角M-AB-D的余弦值o45EABDPCM420.（12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P2 212xy满足.2NPNM (1) 求点P的轨迹方程；(2) 设点Q在直线x=-3 上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.1OP PQ 21.（12 分）已知函数且.2( )ln ,f xaxaxxx( )0f x （1）求 a；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.( )f x0x22 0()2ef x（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。 22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为1Ccos4（1）M 为曲线上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足,求点 P 的轨迹的直角坐标1C| | 16OMOP2C方程；（2）设点 A 的极坐标为，点 B 在曲线上，求面积的最大值(2,)32COAB23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知，证明：330,0,2abab（1）；55()()4ab ab（2）2ab520172017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学()()试题答案试题答案一、选择题一、选择题1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B二、填空题13. 1.96 14. 1 15. 16. 62n 1n三、解答题17.解：（1）由题设及，故2sin8sin2ABCB得sin4-cosBB （1）上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0解得 15cosB=cosB171（舍去），=（2）由，故158cosBsinB1717=得14a sin217ABCScBac又17=22ABCSac，则由余弦定理及得a6c2222b2cosa2(1 cosB)1715362(1)217 4acacBac （+c）所以 b=218.解：（1）记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于” 50kgC50kg由题意知 P AP BCP B P C旧养殖法的箱产量低于的频率为50kg0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62（）故的估计值为 0.62 P B6新养殖法的箱产量不低于的频率为50kg0.0680.0460.0100.0085=0.66（）故的估计值为 0.66 P C因此，事件 A 的概率估计值为0.620.660.4092 （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量50kg箱产量50kg旧养殖法6238新养殖法3466222006266343815.705100 10096 104K由于15.7056.635故有的把握认为箱产量与养殖方法有关99%（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为50kg，0.0040.0200.04450.340.5箱产量低于的直方图面积为55kg0.0040.0200.044+0.06850.680.5故新养殖法箱产量的中位数的估计值为0.5-0.3450+2.35 kg0.068（）519.解：（1）取中点，连结，PAFEFBF因为为的中点，所以,由得，又EPDEFADA1 2EFAD=90BADABC BCAD1 2BCAD所以四边形为平行四边形，EFBCBCEFCEBF又，故BFPAB 平面CEPAB 平面CEPAB平面 （2）7由已知得,以 A 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间BAADAB AB 直角坐标系 A-xyz,则则，(000)A，(100)B，(1 10)C，(013)P，,则(103)PC ，(10 0)AB ，(x 1),(x13)BMyz PMyz ，因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45°，而是底面 ABCD 的法向量，所以(0 0)n，1，0cos,sin45BMn222z2 2(x 1)yz 即（x-1）²+y²-z²=0又 M 在棱 PC 上，设,PMPC 则x,1,33yz由，得xxyy 22=1+=1-22 =1(舍去)，=166zz22所以 M，从而261-,1 ，22261-,1 ，22 AM 设是平面 ABM 的法向量，则000,xyzm =00002-22600即 00xyzAMABx A Amm8所以可取 m=（0，-，2）.于是6cos10 5Am nm, nm n因此二面角 M-AB-D 的余弦值为10 520.解（1）设 P（x,y）,M（x0,y0）,设 N（x0,0）, 00,0,NPxxyNMy 由得2NPNM 002= ,2xx yy因为 M（x0,y0）在 C 上，所以22 122xy因此点 P 的轨迹方程为222xy（2）由题意知 F（-1,0）.设 Q（-3，t）,P(m,n),则，3,1,33tOQ, PFmnOQ PFmtn A,3,OPm,nPQm,tn 由得，又由（1）知，故1OP PQ A22-31mmtnn22+=2mn3+3m-tn=0所以，即又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过0OQ PF AOQPF C 的左焦点 F.21.解：（1）的定义域为 fx0，+ 设，则等价于 g x= ax - a - lnx fx= xg x , fx0 0g x因为 11 =0，0, 故1 =0, 而,1 =1, 得1gg xg'g' xag'aax若 a=1，则.当 0x1 时，单调递减；当 x1 时，0，单调 11 g' x=x 0,g' xg x g' x g x递增.所以 x=1 是的极小值点，故 g x 1 =0g xg综上，a=1（2）由（1）知 2l n,' ( )22l nfxxxxx fxxx设 122l n, 则' ( )2h xxxhxx9当时，；当时，所以在单调递减，在10,2x '0hx1, +2x '0hx h x10,2单调递增1, +2又，所以在有唯一零点 x0，在有唯一零点 1，且当 210,0,102h ehh h x10,21, +2时，；当时，当时，.00,xx 0h x0,1xx 0h x1, +x 0h x因为，所以 x=x0是 f(x)的唯一极大值点 'fxh x由 000000'0得l n2 (1), 故= (1)fxxxfxxx由得00,1x 01'4fx因为 x=x0是 f(x)在（0,1）的最大值点，由得 110,1 ,'0efe 12 0fxfee所以 2-2 02efx22.解：（1）设 P 的极坐标为，M 的极坐标为，由题设知，011，0cos14= ，=OPOM =由得的极坐标方程16OMOP =A2Ccos=40因此的直角坐标方程为2C22240xyx（2）设点 B 的极坐标为,由题设知，0BB,于是OAB 面积cos=2，=4BOA1=si n24cossi n332 si n 23223BSO AAO BAAA当时，S 取得最大值=-122+ 310所以OAB 面积的最大值为2+ 323.解：（1） 5565562333344222244ababaaba bbaba bab abab ab（2）因为 33223233323+3+3+2+244abaa babbab a ba ba ba b所以，因此 a+b2.3+8a b
