第7章-点的运动学ppt课件.ppt

第二篇第二篇 运运 动动 学学引引 言言 运动学是研究物体运动的几何性质的科学。运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就也就是是从几何学方面来研究物体的机械运动。从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内运动学的内容包括：容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。运动方程、轨迹、速度和加速度。 学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。 由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为物体称为参考体参考体，固结于参考体上的坐标系称为，固结于参考体上的坐标系称为参考参考坐标系。坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。 时间概念要明确：时间概念要明确：瞬时瞬时和和时间间隔时间间隔。 运动学所研究的力学模型为：运动学所研究的力学模型为：点点和和刚体刚体。第七章第七章 点的运动学点的运动学 点的运动的矢径法点的运动的矢径法 点的运动的直角坐标法点的运动的直角坐标法 点的运动的自然法点的运动的自然法第二篇第二篇 运运 动动 学学引引 言言 运动学是研究物体运动的几何性质的科学。运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就也就是是从几何学方面来研究物体的机械运动。从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内运动学的内容包括：容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。运动方程、轨迹、速度和加速度。 学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。 由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为物体称为参考体参考体，固结于参考体上的坐标系称为，固结于参考体上的坐标系称为参考参考坐标系。坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。 时间概念要明确：时间概念要明确：瞬时瞬时和和时间间隔时间间隔。 运动学所研究的力学模型为：运动学所研究的力学模型为：点点和和刚体刚体。第七章第七章 点的运动学点的运动学 本章将介绍研究点的运动的三种方法，即：本章将介绍研究点的运动的三种方法，即：矢径法、直角坐标法矢径法、直角坐标法和和自然法自然法。 点运动时，在空间所占的位置随时间连续点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹运动轨迹。点的。点的运动可按轨迹形状分为运动可按轨迹形状分为直线运动直线运动和和曲线运动曲线运动。当轨迹为圆时称为当轨迹为圆时称为圆周运动圆周运动。 表示点的位置随时间变化的规律的数学方表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的程称为点的运动方程运动方程。 本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。速度和加速度，以及它们之间的关系。8.1点的运动的矢径法一、点的运动方程一、点的运动方程 如图，动点如图，动点M沿其轨迹运沿其轨迹运动，在瞬时动，在瞬时t，M点在图示位置。点在图示位置。参考体OMr 由参考点由参考点O向动点向动点M作一矢作一矢量量 ，则称，则称 为动点为动点M相对原点相对原点O的位置矢量，简称的位置矢量，简称矢径矢径。OMr r8.1点的运动的矢径法一、点的运动方程一、点的运动方程 如图，动点如图，动点M在运动过程在运动过程中，由矢端描绘出的连续曲线，中，由矢端描绘出的连续曲线，称为称为矢端曲线矢端曲线。在瞬时。在瞬时t，M点点在图示位置。在图示位置。参考体OMr 于是动点矢径形式的运动方程为于是动点矢径形式的运动方程为)(trr显然，矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹。显然，矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹。 用矢径法描述点的运动有简洁、直观的用矢径法描述点的运动有简洁、直观的优点。优点。8.1点的运动的矢径法二、点的速度二、点的速度ABOMM)(tr)(ttrrvv)()(trttrrMM则则trv表示动点在时间间隔表示动点在时间间隔 内运动的平内运动的平t均快慢和方向，称为点的均快慢和方向，称为点的平均速度平均速度。 当当 时，平均速度的极限矢量称为动时，平均速度的极限矢量称为动点在点在t瞬时的瞬时的速度速度。即。即0trdtrdtrvvtt00limlim即：即：点的速度等于它的矢径对时间的一阶导点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数数。方向沿。方向沿矢端曲线（矢端曲线（轨迹）的切线方向。轨迹）的切线方向。 如图，动点如图，动点M在时间间在时间间隔隔 内的位移为内的位移为t8.1点的运动的矢径法二、点的速度二、点的速度ABOMM( )v t vMva称为称为速度速度矢端曲线矢端曲线（也称（也称速度速度端端图），它描述了运动中点图），它描述了运动中点速度速度矢矢大小和方向的变化图像大小和方向的变化图像。 若在空间任取参考点参考点O，将动点将动点M在不同瞬时的速度在不同瞬时的速度矢都平行画在矢都平行画在O点，得矢量点，得矢量 等，等， 连接矢量端点连接矢量端点 ( )v t vvMMM等，得到的连续曲线等，得到的连续曲线 8.1点的运动的矢径法三、点的加速度三、点的加速度MMvvvvaa 如图，动点如图，动点M在时间间隔在时间间隔 内速度矢量的内速度矢量的改变量为改变量为tvvv则则tva表示动点的速度在时表示动点的速度在时 t内的平均变化率，称为内的平均变化率，称为间间隔间间隔平均加速度平均加速度。 当当 时，平均加速度的极限矢量称为时，平均加速度的极限矢量称为动点在动点在t瞬时的瞬时的加速度加速度。即。即0trvdtvdtvaatt 00limlim即：即：点的加速度等于它的速度对时间的一阶点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。8.2点的运动的直角坐标法一、点的运动方程一、点的运动方程OxyzijkrMxyz 如图，在参考体上建立直角如图，在参考体上建立直角坐标系。则坐标系。则)(1tfx )(2tfy )(3tfz 这就是这就是直角坐标形式的点的运直角坐标形式的点的运动方程动方程。 由运动方程消去时间由运动方程消去时间t可得两个柱面方程：可得两个柱面方程：0),(1yxF0),(2zyF这两个柱面方程的交线就是点的运动轨迹，这两个柱面方程的交线就是点的运动轨迹，上式称为动点的轨迹方程。上式称为动点的轨迹方程。8.2点的运动的直角坐标法二、点的速度在直角坐标轴上的投影二、点的速度在直角坐标轴上的投影OxyzijkrMxyz 由图可知，动点的矢径为由图可知，动点的矢径为kzj yi xr 将上式两边对时间求导，可得将上式两边对时间求导，可得kdtdzjdtdyidtdxdtrdv将动点的速度表示为解析形式，则有将动点的速度表示为解析形式，则有kvjvivvzyx 比较上述两式，可得速度在各坐标轴上的投影比较上述两式，可得速度在各坐标轴上的投影xdtdxvxydtdyvyzdtdzvz这就是这就是用直角坐标法表示的点的速度用直角坐标法表示的点的速度。即：。即：点的速点的速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时间的一阶导数间的一阶导数。8.2点的运动的直角坐标法二、点的速度在直角坐标轴上的投影二、点的速度在直角坐标轴上的投影 若已知速度的投影，则速度的大小为若已知速度的投影，则速度的大小为222zyxv其方向余弦为其方向余弦为vzkvvyjvvxiv),cos(),cos(),cos(8.2点的运动的直角坐标法三、点的加速度在直角坐标轴上的投影三、点的加速度在直角坐标轴上的投影 由于加速度是速度对时间的一阶导数，则由于加速度是速度对时间的一阶导数，则kdtdvjdtdvidtdvkdtzdjdtydidtxdazyx222222将动点的加速度表示为解析形式，则有将动点的加速度表示为解析形式，则有kajaiaazyx 比较上述两式，可得加速度在各坐标轴上的投影比较上述两式，可得加速度在各坐标轴上的投影xdtxddtdvaxx 22ydtyddtdvayy 22zdtzddtdvazz 22这就是这就是用直角坐标法表示的点的加速度用直角坐标法表示的点的加速度。即：。即：点的点的加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度在对应加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度在对应坐标轴上的投影对时间的一阶导数，也等于该点对坐标轴上的投影对时间的一阶导数，也等于该点对应的坐标对时间的二阶导数应的坐标对时间的二阶导数。8.2点的运动的直角坐标法 若已知加速度的投影，则加速度的大小为若已知加速度的投影，则加速度的大小为三、点的加速度在直角坐标轴上的投影三、点的加速度在直角坐标轴上的投影222222zyxaaaazyx 其方向余弦为其方向余弦为azkaayjaaxia ),cos(),cos(),cos(8.2点的运动的直角坐标法例例1ABMRO 杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知 （ 为常数）。求小环M的运动方程、速度和加速度。tABMOxy2 解：建立如图所示的直角坐标。则2cos2sinRyRx即为小环M的运动方程。tRytRx2cos2sin即tRxvx2cos2 tRyvy2sin2 8.2点的运动的直角坐标法例1故M点的速度大小为Rvvvyx222ABMOxy2vxvyv其方向余弦为2cos),cos(vvivx2sin),cos(vvjvy如图。xtRvaxx2242sin4 ytRvayy2242cos4 故M点的加速度大小为2224Raaayx且有rj yi xj yi xa22224)(444加速度的方向如图。a8.2点的运动的直角坐标法例2半径为R的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚动)。设轮子保持在同一竖直平面内运动，且轮心的速度为已知值u，试分析轮子边缘一点M的运动。MMRo8.2点的运动的直角坐标法取坐标系Axy如图所示，并设M点所在的一个最低位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为)sin(sinROMACx)cos1 (cosROMOCy这是旋轮线的参数方程。oRCAxyM例28.2点的运动的直角坐标法例2M点的速度为：jRiRj yi xv)sin()cos1 (其中 可由轮心速度求出：RdtRdxuO/ )(当M点与地面接触，即 时，M点速度等于零。k2oRCAxyM此时M点的加速度是否为零？为什么？8.3点的运动的自然法一、运动方程一、运动方程OMs)()( 设动点设动点M的运动轨迹如的运动轨迹如图。图。S 弧坐标弧坐标 当动点运动时，弧坐标随时间当动点运动时，弧坐标随时间t连续变连续变化，且为时间化，且为时间t的单值连续函数，即的单值连续函数，即)(tfs 这就是自然坐标形式的点的运动方程。这就是自然坐标形式的点的运动方程。8.3点的运动的自然法二、曲率和曲率半径二、曲率和曲率半径M)()(Ms 图示空间曲线，图示空间曲线， 表明曲线在弧表明曲线在弧长长 内弯曲的程度。内弯曲的程度。MMssk称为称为 的的平均曲率平均曲率。MMs 当当 点趋近于点趋近于M点时，平均曲率的极限值就是点时，平均曲率的极限值就是曲线在曲线在M点的点的曲率曲率，即，即Msks0lim M点曲率的倒数称为曲线在点曲率的倒数称为曲线在M点的曲率半径，点的曲率半径，即即sk0lim18.3点的运动的自然法三、自然轴系三、自然轴系M)()(Ms密切面法面切线主法线副法线Mnb 如图。由三个方向的单位矢量构成的坐如图。由三个方向的单位矢量构成的坐标系称为标系称为自然轴系自然轴系。且三个单位矢量满足右。且三个单位矢量满足右手法则，即手法则，即nb自然轴系不是固定的坐标系。自然轴系不是固定的坐标系。8.3点的运动的自然法四、用自然法表示点的速度四、用自然法表示点的速度 由点的速度的矢径法由点的速度的矢径法dsrddtdsdsdsdtrddtrdv由于由于dsrd所以所以vtsdtdst0limdtdsvv即：即：动点沿已知轨迹的速度的代数值等于弧动点沿已知轨迹的速度的代数值等于弧坐标坐标s对时间的一阶导数，速度的方向沿着对时间的一阶导数，速度的方向沿着轨迹的切线方向，当轨迹的切线方向，当 为正时指向与为正时指向与 相同，相同，反之，与反之，与 相反。相反。dtds8.3点的运动的自然法M)()(Msdtdvdtdvvdtddtvda)( 五、用自然法表示点的加速度五、用自然法表示点的加速度8.3点的运动的自然法limlimlimlimlim12sin2limlim11ttttt0000000dsdtttsstsdsdvddtddddddtn 五、用自然法表示点的加速度五、用自然法表示点的加速度8.3点的运动的自然法 五、用自然法表示点的加速度五、用自然法表示点的加速度 由点的加速度的矢径法由点的加速度的矢径法dtdvdtdvvdtddtvda)(由于nvdtd所以nvdtdva2上式表明加速度矢量上式表明加速度矢量 是由两个分矢量组成：分矢是由两个分矢量组成：分矢量量 的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量量 的方向永远沿主法线的方向，称为法向加的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。速度，它表明速度方向随时间的变化率。adtdva nvan28.3点的运动的自然法五、用自然法表示点的加速度五、用自然法表示点的加速度 加速度在三个自然轴上的投影为加速度在三个自然轴上的投影为sdtsddtdva 222van0ba 全加速度位于密切面内，其大小为全加速度位于密切面内，其大小为22222)()(vdtdvaaan方向余弦为方向余弦为aaa),cos(aanan),cos(8.3点的运动的自然法ABMRO 杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知 （ 为常数）。求小环M的运动方程、速度和加速度。t 解：建立如图所示的自然坐标。则点的自然坐标形式的运动方程为例例3ABM2OstRRs2)2(速度为Rdtdsv2v加速度为0dtdva2224)2(RRRvana例例4 一点作平面曲线运动，其速度在x轴上的投影始终为一常数C。试证明在此情形下，点的加速度的大小为 。其中v为点的速度的大小， 为轨迹的曲率半径。Cva3xvanaM 证明：设点沿图示曲线运动，速度和加速度如图。由已知条件得Cvcos（1） 由于速度在x轴上的投影始终为一常数，所以0 xa由于0sincosnxaaa所以tgaan例例4cos1222nnnatgaaaa于是可得因为2van所以cos2va 将（1）式代入上式得证毕。3va =c8.2点的运动的综合应用例5 铅直导杆以匀速v0向右运动，并带动销钉M沿着抛物线x = y 2/3的槽运动，如图（4a）所示，其中x,y以m计。试求y=2m处轨迹的曲率半径和销钉M在该位置的切向加速度。 解：根据题意，销钉沿x轴的运动方程为x =v0t；轨迹方程为OxyMx = y 2/3Oxyvaanaty 2=3x8.2点的运动的综合应用例5Oxyvaanaty 2=3x两式对时间求导2222223294000 xvxyyvxyvvy代入y =2m，得销钉在该处的速度为22291.254000vvvvy8.2点的运动的综合应用例5Oxyvaanat将两式 再对时间求导320 xvxyy得销钉在该处的加速度为2223940vaxyy =y2233924 00 x0v yvyyy因y值恒正，故加速度与y轴负向一致。8.2点的运动的直角坐标法例5Oxyvaanat设与x轴正向间的夹角为，则03arctanarctan22m 3arctan36.874dydxyy由图（b）得销钉在该处的切向与法向加速度大小为20223202239sinsin36.870.1688(m/s )49coscos36.870.225(m/s )40t00n0vavyvavyaa方向如图8.2点的运动的直角坐标法例5因此轨迹在y=2m处的曲率半径为：222(1.25)6.944m0.2250n0vvav8.2点的运动的直角坐标法例6 如图所示，点P沿螺旋线的运动方程为：cos() , sin() ,xrtyrtz = ct其中r,c均为常数。试求：1.点的速度、速度端图、切向加速度、法向加速度。2.轨迹的密切面和曲率半径。txyvrzOPa8.2点的运动的直角坐标法例6 解：1.将运动方程对时间求一阶导数、二阶导数，得点的速度和加速度分别为sin() +cos() + xyz-rtrtcvi +j +k=ijkvvxvyvzrcO速度端图222cos() sin() xyz-rt- rtai +j +k=ij8.2点的运动的直角坐标法例6其大小分别为：22222( )( )( )()+constvxyzrc+=2222( )( )( )axyzr+=速度端图见（2）8.2点的运动的直角坐标法例6 其中v沿轨迹的切线方向；a沿由点P向轴z所做垂线方向。(z轴上各点为对应点的曲率中心，又因为速度为常数，所以切向加速度为零）22222222const 0 tnnv =aarvrcc =rarr速度端图见（2）zvc速度端图为的圆，圆半径为Rr2.密切面由（v,a）组成，如原图。 例例5 已知点作平面曲线运动，其运动方程为)(txx )(tyy 求在任一瞬时该点的切向加速度、法向加速度及轨迹曲线的曲率半径。解：因为222yxv 222yxa 因此yyxxdtdvv 22222yxyyxxvyyxxdtdva 例例52222222222222222222)(1)()(1)(yxxyyxxyyxyxyyxxyxyxyxyxyyxxyxaaan xyyxyxxyyxyxyxavn 232222222)()( 例例5 还可用其它方法求出，例如：a（1）2222)(yxyyxxdtyxddtdva （2）22cosyxyyxxvavavvavvaavaaayyxx 15.6动力学普遍定理综合应用