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第二章 薄板的振动问题2-1 薄板的自由振动等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为DtyxptwDmw,224m其中 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得0twDmw224（1）（2）0TTDmWW4 分离变量得常微分方程0TT2 和微分方程固有值问题0WDmW24（3）（4）其的通解为tBsintAcosT因此薄板的自由振动问题可化为微分方程的固有值问题，即求振形函数在齐次边界条件下的非零解。使自由振动问题有非零解的频率称为固有频率固有频率，相应非零解W称为固有函数固有函数。振形微分方程（4）以及齐次边界条件完全确定固有频率的数值，而与动载荷无关。0WDmW242-2 四边简支矩形薄板的自由振动设有四边简支四边简支的矩形薄板如图所示。OabxyACB取振形函数形式为bynaxmWsinsin代入振形方程（4）得2222242bnammD给定一组m,n的值，就可得到一个相应的固有频率，不妨用两个下标来表示某个固有频率，上式可写成2222242bnammDmn由此可写出挠度函数的形式解11sinsinmnmnmnmnmnbynaxmtsinBtcosAw将挠度的初始条件展成固有函数的级数其中待定系数由挠度函数的非齐次初始条件决定。 1111sinsinsinsinmnmn0tmnmn0tbynaxmDtwbynaxmCw解得mnmnmnmnmnDBCA其中 a0b00tmna0b00tmnyxbynaxmtwab4Dyxbynaxmwab4Cddsinsinddsinsin挠度表达式 11sinsinddsinsinddsinsinmnmna0b00tmnmna0b00tbynaxmtsinyxbynaxmtwab4tcosyxbynaxmwab4w讨论 运用分离变量法解偏微分方程，分离变量法解偏微分方程，必然导致固有值问题： 分离变量法要求分离变量后每个函数有非零解，因此要求固有固有值存在值存在；方程和定解条件要求固有函数固有函数具有正交性和完备性；2-3 瑞次法及其应用设薄板振形变形能为 yxyxWyWxW12WD21WU22222222dd（5）对于具有夹支或简支边的矩形薄板，可简化为 yxWD21WU22dd（6）（7）对于夹支圆形薄板，可简化为（8）对于圆形薄板轴对称问题，振形变形能为 rrWrW2rWr1rWrDWU222222ddddddddd rrWr1rWrDWU2222ddddd0WDmW24设薄板振形泛函为dxdyWmWU2221其中W为可能的振形函数。可以证明由泛函的驻值条件可以导出方程（4）。为了求固有频率或固有函数的近似解，设m1iiiWCW其中Wi为满足齐次位移边界条件且线性互不相关的基函数，Ci为待定系数。振形的变分是由系数变分实现的，基函数在变分中保持不变（9）m1iiiCWW将此式代入泛函的变分方程，得 0dxdyWmWUCi2221瑞次方程。瑞次方程是 m 个齐次齐次 线性方程，由 m个系数Ci的非零解条件，从而得出m个固有值的表达式。瑞次方程例 1 四边简支矩形板固有频率11sinsinmnmnbynaxmCW取振形函数为可以满足齐次位移边界条件。代入泛函表达式，得 11112221mn2mn2mn222222mn4C8abmbnamC8abDdxdyWmWU于是由瑞次方程，得02C8abmbnam2C8abDmn222222mn42222242bnammD由系数Cmn的非零解条件，得固有频率表达式与上一节中的精确答案相同。最低固有频率的近似计算若基函数只取一项W1，瑞次方程可简写成 0dxdyWmdxdyWU2221 若基函数W1为最低固有函数，则可以得到精确的最低固有频率； 若基函数W1的振形非常接近最低固有函数，则可以得到近似的最低固有频率近似的最低固有频率。例 2 四边夹支矩形板OabxyACB设有四边夹支四边夹支的矩形薄板如图所示。试用瑞次法计算薄板最低固有频率的近似值。解 222222b-ya-xW 取振形函数为可以满足位移边界条件（无内力边界条件） 。代入瑞次方程，得0ba753m2ba7b4aba753D2dxdyWmWU9922415552244221422221于是得对于正方形薄板与最低固有频率的精确答案mDa7b4aba126322244mDa00092.mDa99682.几乎相同。思考题对于方形薄板是简支的基频较高还是夹支的基频较高mDa9968mDa2222.例 3 夹支圆形板设有边界夹支边界夹支的圆形薄板如图所示。试用瑞次法计算薄板最低固有频率的近似值。a圆形薄板 夹支边界条件解222ar-1W取振形函数为可以满足位移边界条件（无内力边界条件） 。代入瑞次方程，得 0a10m3aD32rdrWmWUdxdyWmWU22a02222221于是得比最低固有频率的精确答案mDa10.33mD3a15822mDa22102.仅大出1%。2-4 四边简支薄板的受迫振动采用固有函数展开法求解薄板非齐次运动方程。举例，设四边简支矩形薄板受到动载荷的作用，试求解挠度的级数解，并讨论共振问题。tcosyxPp,简支矩形薄板的固有函数为bynaxmsinsin采用固有函数展开法固有函数展开法，可得：固有函数展开 11sinsinmnmnbynaxmtww11sinsinmnmntcosbynaxmCp a0b0mnyxbynaxmyxPab4Cddsinsin,其中w已经满足边界条件，wmn(t)为待定函数。将级数表达式代入方程（1）和齐次初始条件，可得mtyxptwwmD,224 11sinsinmnmnmnmn2222240bynaxmtcosmCtwtwmDbnam 1111sinsinsinsinmnmnmnmn0bynaxm0w0bynaxm0w由此可知 wmn 必满足二阶线性常微分方程的初值问题，方程的解等于齐次通解加特解 00w0w0tcosmCtwtwmnmnmnmnmn2mn tcosmCtsinBtcosAtw22mnmnmnmnmnmnmn由初值条件可确定通解中的两个系数，最后得 11sinsinmnmnbynaxmtww11sinsinmnmn22mnmnbynaxmtcos-tcosmCmnmnmnmnmn22mnmn22mnttcos-tcos1tcos-tcos1,2sin,t在挠度 w(x,y,t) 表达式中存在共振发散项共振现象思考题能否将薄板受迫振动化为初值问题处理？谢谢
